7.3.2 第1课时 离散型随机变量的方差-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.2　离散型随机变量的方差 第1课时　离散型随机变量的方差 第七章　随机变量及其分布 学习单元3 [学习目标]　1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.　2.掌握离散型随机变量的方差的性质.　3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题. 知识点1　离散型随机变量的方差 内容索引 知识点2　离散型随机变量的方差的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　方差的简单应用 课堂达标·素养提升 微点突破4　方差性质的扩充 3 知识点1　离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 称D(X)=　　　 　　　　　　　　　　　　　= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的　　　　,记为σ(X).  X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn 标准差 [例1]　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差. [分析]　先列出随机变量X的分布列,再用定义求出方差即可. [解]　由题意,X的可能取值为0,1,2, P(X=k)=,k=0,1,2.X的分布列为 所以X的均值为E(X)=0×+1×+2×=1,所以X的方差为D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. X 0 1 2 P 求离散型随机变量方差的步骤 1.理解随机变量X的意义,写出X的所有取值. 2.求出X取每个值的概率. 3.写出X的分布列. 4.计算E(X). 5.计算D(X). 思维提升 1.已知某随机变量X的分布列如表,则随机变量X的方差D(X)=(　　) A.120　　　　　　　　　 B.160 C.200 D.260 跟踪训练 X 0 20 40 P m 2m m C 解析:由题可知m+2m+m=1,解得m=,则E(X)=0×m+40m+40m=80m=20, 故D(X)=(0-20)2+(20-20)2+(40-20)2=100+0+100=200. 2.已知随机变量X满足P(X=x)=ax+b(x=-1,0,1),其中a,b∈R.若E(X)=,则D(X)=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B 解析:P(X=-1)=-a+b,P(X=0)=b,P(X=1)=a+b,则E(X)=-1×(-a+b) +0×b+1×(a+b)=,所以a=. 又(-a+b)+b+(a+b)=1,所以b=. 故X的分布列为 所以D(X)=×+×+×=. X -1 0 1 P 知识点2　离散型随机变量的方差的性质 设a,b为常数,X为离散型随机变量,则 (1)D(X+b)=　　　　.  (2)D(aX+b)=　　　 　.  (3)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). D(X) a2D(X) [例2]　(1)若随机变量X的分布列如表所示,则D(1-3X)=(　　) A.　　　　　　　　　　 B.2 C. D. X -1 0 1 P a a2 (2)随机变量X服从两点分布,若P(X=0)=,则下列结论正确的是(　　) A.P(X=1)= B.D(X)= C.E(2X+1)= D.D(2X+1)= [分析]　(1)由分布列的性质求a,根据期望的定义求E(X),再由方差的定义求D(X),结合方差性质求D(1-3X). (2)根据分布列的性质求得P(X=1)的值,利用公式求得E(X),D(X),结合期望和方差的性质,即可求解. [答案]　(1)D　(2)A [解析]　(1)由已知可得a++a2=1,0≤a≤1,0≤a2≤1,所以a=, 所以E(X)=-1×+0×+1×=, 所以D(X)=×+×+×=, 所以D(1-3X)=9D(X)=. (2)由随机变量X服从两点分布,若P(X=0)=, 根据分布列的性质,可得P(X=1)=1-P(X=0)=,所以A正确; 又由E(X)=0×+1×=,D(X)=×+×=,所以B错误; 由E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=,所以C错误; 由D(2X+1)=22·D(X)=4×=,所以D错误. 求随机变量Y=aX+b方差的方法 求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解,从而简化了计算过程. 思维提升 3.已知随机变量X,Y满足Y=2X+1,且随机变量X的分布列如表: 则随机变量Y的方差D(Y)等于　　　　.  跟踪训练 X 0 1 2 P a 解析:因为++a=1,所以a=, E(X)=×0+×1+×2=,D(X)=×+×+×=, 所以D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=4×=. 知识点3　方差的简单应用 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的　　　　程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越　　　　;方差或标准差越大,随机变量的取值越　　　　.  离散 集中 分散 [例3]　以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为 欲从甲、乙两运动员中选一人参加比赛,你认为选派哪位运动员参加较好? [分析]　可以先比较两运动员的平均得分(即均值),再比较两运动员的稳定性,即方差,由此决定派谁. X1(甲得分) 0 1 2 P(X1=xi) 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P(X2=xi) 0.3 0.3 0.4 [解]　由题意,E(X1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1, E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,所以E(X1)=E(X2). D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49, D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,所以D(X1)<D(X2), 所以甲比乙得分稳定,应选派甲参加. 1.均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们的取值的离散程度,即通过比较方差,才能准确地得出更恰当的判断. 2.离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系,利用题目中所给出的条件,合理地列出方程或方程组求解,同时也应注意合理选择公式,简化问题的解答过程. 思维提升 4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和数量也大致相同,两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲野生动物保护区的分布列 乙野生动物保护区的分布列 跟踪训练 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3, D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41. 因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定,相对而言,乙保护区的管理更好一些. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知离散型随机变量X的分布列为 则其方差D(X)等于(　　) A.1　　　　　　　　　 B.0.6 C.2.44 D.2.4 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 C 解析:由离散型随机变量的分布列的性质, 得0.5+m+0.2=1,解得m=0.3, 所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4, 所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 2.已知某随机变量X, D(X)=1, 则D(2X+1)=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为D(X)=1,所以D(2X+1)=4D(X)=4. D 3.若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)=(　　) A.0 B. C. D.1 解析:因为随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,所以 E(X)=c×1=c,所以D(X)=(c-c)2×1=0. A 4.若随机变量X的分布列为 则a=　　　　,D(X)为随机变量X的方差,则D(X)=　　　　.(用数字作答)  X 0 1 2 P a 解析:由题意得++a=1,得a=.E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 微点突破4　方差性质的扩充 　已知随机变量X的概率分布表如表所示: 其中,pi≥0,i=1,2,…,n,pi=1,记随机变量X的数学期望和方差分别为E(X),D(X).则D(X)=pi-(E(X))2=E(X2)-(E(X))2.下面给出证明. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 证明:D(X)=p1+p2+…+pn =[-2x1E(X)+(E(X))2]p1+[-2x2E(X)+(E(X))2]p2+…+[-2xnE(X)+(E(X))2]pn=(p1+p2+…+pn)-[2E(X)x1p1+2E(X)x2p2+…+2E(X)xnpn]+(E(X))2(p1+p2+…+pn) =pi-2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn)+(E(X))2 =pi-2(E(X))2+(E(X))2=pi-(E(X))2 =E(X2)-(E(X))2. [例]　(1)篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,设其罚球一次的得分为X,则(　　) A.E(X)=0.5,D(X)=0.20 B.E(X)=0.5,D(X)=0.25 C.E(X)=0.8,D(X)=0.12 D.E(X)=0.8,D(X)=0.16 (2)某高二学生在参加物理、历史反向学考中,成绩是否取得A等级相互独立,记X为“该学生取得A等级的学考科目数”,其分布列如表所示,则D(X)的最大值是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. X 0 1 2 P a b [分析]　(1)根据给定条件,列出分布列,再利用期望、方差定义计算作答. (2)利用方差的期望表示可得出D(X)=-b2+b+,设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为p1,p2,则有p1p2=,利用基本不等式可求得b的取值范围,再结合二次函数的基本性质可求得D(X)的最大值. [答案]　(1)D　(2)B [解析]　(1)依题意,X的分布列为 因此E(X)=0.8,D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.8-0.82=0.16. X 0 1 P 0.2 0.8 (2)由题意可得X2,X的分布列如表所示: 由分布列的性质可得a+b=1-=,所以a=-b, 所以E(X)=0+b+2×=b+,E(X2)=0+b+4×=b+, 所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=b+-=-b2+b+, X 0 1 2 X2 0 1 4 P a b 设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为p1,p2,则有p1p2=, 则b=p1(1-p2)+p2(1-p1)=p1+p2-2p1p2=p1+p2-≥2-=, 当且仅当p1=p2=时取等号,所以≤b<, 因为函数f(b)=-b2+b+在上单调递减, 所以D(X)=-b2+b+≤-+×+=. 1.设X,Y为随机变量,且E(X)=2,E(X2)=6,Y=2X-1,则D(Y)等于(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 解析:由题意,D(X)=E(X2)-(E(X))2=6-4=2,故D(Y)=D(2X-1)=22D(X)=8. 跟踪训练 B 2.(多选)随机变量X的分布列如表, 则下列选项正确的是(　　) A.2a+b=1 B.E(X)=2b C.D(X)=4a-b2 D.D(X)的最大值为 X -1 0 1 2 P 2a a 2a b BD 解析:由题意得,2a+a+2a+b=1,得a=(1-b),故A错误; E(X)=-1×2a+0+1×2a+2b=2b,故B正确; 所以D(X)=0×a+1×4a+4×b-(2b)2=4(a+b-b2),故C错误; 因为a=(1-b),所以D(X)=4(a+b-b2)=-4=-4+, 当且仅当b=时,D(X)取得最大值,故D正确. X2 0 1 4 P a 4a b 3.(多选)已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1,2,3,4,正六面体骰子的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,抛掷一枚正四面体骰子,记向下的数字为X,抛掷一枚正六面体骰子,记向上的数字为Y,则(　　) A.P(X=2)= B.P(Y<3)= C.E(X)>E(Y) D.D(X)<D(Y) BD 解析:对于选项A,正四面体骰子,记向下的数字为X,当X=2时,对应的概率为P(X=2)=,错误; 对于选项B,正六面体骰子,记向上的数字为Y,其中Y<3时,即Y=1,Y=2,则P(Y<3)=P(Y=1)+P(Y=2)=+=,正确; 对于选项C,D,X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则E(X)=1×+2×+3×+4×=,且D(X)=E(X2)-(E(X))2=12×+22×+32×+42×-=; Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 P 则E(Y)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=,且D(Y)=E(Y2) -(E(Y))2=12×+22×+32×+42×+52×+62×-=, 所以E(X)<E(Y),C错误;D(X)<D(Y),D正确. 4.随机变量X有3个不同的取值,且其分布列如表: 则D(X2)的值为　　　　.  X -1 0 1 P 解析:依题意,X2的取值为0,1,且P(X2=0)=,P(X2=1)=, 则X2的期望E(X2)=0×+1×=, 所以X2的方差D(X2)=E(X4)-(E(X2))2=0×+1×-=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是(　　 ) A.E(X)是反映随机变量的平均取值 B.D(X)越小,说明X越集中于E(X) C.E(aX+b)=aE(X)+b D.D(aX+b)=a2D(X)+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确; 由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知随机变量X的分布列为 则D(X)=(　　) A.7　　　　　　　　　 B.5 C.4.8 D.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 4 8 10 P 0.3 0.6 0.1 D 解析:因为E(X)=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7, 所以D(X)=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知随机变量X的分布列如表所示,随机变量Y=-3X+1,则下列选项正确的为(　　) A.E(X)=0.5 B.E(Y)=1.4 C.D(X)=0.52 D.D(Y)=1.44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 P 0.2 0.8 D 解析:由题意可得随机变量X服从两点分布,其中P(X=1)=0.8, 所以E(X)=0.8,D(X)=0.8(1-0.8)=0.16, 又因为Y=-3X+1,所以E(Y)=-3E(X)+1=-1.4,D(Y)=9D(X)=1.44, 故A,B,C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　.  解析:P(X=0)=,则P(X=1)+P(X=2)=, E(X)=P(X=1)+2P(X=2)=1, 故P(X=1)=,P(X=2)=, 所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知盒子中装有n(n>1)个一等品和2个二等品,从中任取2个产品(取到每个产品都是等可能的),用随机变量X表示取到一等品的个数,X的分布 列如表所示,则D(X)=　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P a b 解析:由分布列可得a+b= ,P(X=1)==,所以n=2, 又P(X=0)===a,所以b=,进而可得E(X)=+2b=1, 故D(X)=(0-1)2a+(1-1)2×+(2-1)2b=a+b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行检验,结果分别如表一、表二所示: 表一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 表二 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:由表中的数据得,E(X甲) =28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30, E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30. D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+ (32-30)2×0.1=1.1, D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+ (32-30)2×0.13=1.38. 由上面的计算知,尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等,但D (X甲)=1.1<D(X乙)=1.38,即甲品种棉花的纤维长度比乙品种棉花的纤维长度更均匀一些,从这个意义上说,甲品种棉花的质量好于乙品种棉花的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用. (1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的分布列. (2)在第(1)题的条件下求随机变量X的期望与方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)X的可能取值为0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 故分布列如表: (2)E(X)=0×+1×+2×=1, D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P [B组　关键能力练] 8.(多选)投资甲,乙两种股票,每股收益的分布列分别如表1和表2所示. 表1　股票甲收益的分布列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 收益X(元) -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2　股票乙收益的分布列 收益Y(元) 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票,下列结论正确的是(　 　) A.E(2X+1)=3.2 B.D(2Y+1)=2.2 C.投资股票甲的期望收益较大 D.投资股票甲比投资股票乙风险高 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析:E(X)=-0.1+1.2=1.1,E(Y)=0.4+0.6=1,E(X)>E(Y). D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29, D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,D(X)>D(Y). 则投资股票甲的期望收益较大,投资股票甲比投资股票乙风险高. E(2X+1)=2E(X)+1=3.2,D(2Y+1)=4D(Y)=2.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)设0≤p≤1,随机变量X的分布列如表所示,则下列说法正确的有(　　) A.E(X)恒为1 B.E(X)随p增大而增大 C.D(X)恒为 D.D(X)最小值为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P AC 解析:因为++=1,解得p=0,所以随机变量X的分布列如表, 因为E(X)=0×+1×+2×=1,E(X)恒为1,故A正确,B错误; D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=+=,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P 10.已知随机变量X1和X2的分布列分别是: 能说明D(X1)≤D(X2)不成立的一组p1,p2的值可以是p1=　　　　;p2=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X1 0 1 p 1-p1 p1 X2 0 1 p 1-p2 p2 0.3 0.2(答案不唯一) 解析:依题意,随机变量X1和X2的期望分别为E(X1)=p1,E(X2)=p2, 则D(X1)=E()-(E(X1))2=p1-,同理D(X2)=p2-, 由D(X1)≤D(X2),得p1-≤p2-,整理得(p1-p2)[1-(p1+p2)]≤0, 因此p1≥p2且p1+p2≥1或者p1≤p2且p1+p2≤1, 所以D(X1)≤D(X2)不成立的一组p1,p2的值可以为p1=0.3,p2=0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知a,b,c,d,e为互不相等的正实数,随机变量X和Y的分布列如表,则D(Y)　　　　D(X).(填“>”“<”或“=”)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X a b c d e Y P < 解析:E(X)=(a+b+c+d+e),E(Y)==(a+b+c+d+e)= E(X), 所以D(X)=[(a-E(X))2+(b-E(X))2+…+(e-E(X))2]=(a2+b2+…+e2)-(E(X))2, D(Y)==-(E(X))2,因为a,b,c,d,e为互不相等的正实数, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以D(Y)-D(X)=-(a2+b2+…+e2) =-<0, 即D(Y)<D(X). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.不透明袋中装有质地,大小相同的4个红球,m个白球,若从中不放回地取出2个球,在第一个取出的球是红球的前提下,第二个取出的球是白球的概率为. (1)求白球的个数m; (2)若有放回地取出两个球,记取出的红球个数为X,求X的分布列、数学期望和方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为第一个取出的球是红球的前提下,袋中还有3个红球,m个白球,则第二个取出的球是白球的概率为=,解得m=5. (2)由(1)可知,袋中有4个红球,5个白球, 若有放回地取出两个球,记取出的红球个数为X,则X的可能取值有0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)=2××=,P(X=2)==, 所以随机变量X的分布列如表所示: 13 X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以E(X)=0×+1×+2×=, D(X)=×+×+×=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某公司计划在年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择. 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和; 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,. 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设投资项目一、二获利分别为X,Y万元, 则X的可能取值有30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=, Y的可能取值有50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=, 所以E(X)=30×+(-15)×=20,E(Y)=50×+(-30)×+0×=20, 所以E(X)=E(Y), D(X)=(30-20)2×+(-15-20)2×=350, D(Y)=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1 400, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则D(X)<D(Y), 这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等,但项目一更稳妥,因此,选择项目一较好. 13 $$