单元练3 (范围7.1～7.3)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

单元练3　(范围7.1~7.3) 1.随机变量X的分布列如表格所示,其中2b=a+c,则b等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X -1 0 1 P a b c A 解析:由题知,得3b=1,即b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.从某班8名班干部(其中5名女生,3名男生)中随机选取3人参加学校优秀班干部评选,事件A表示“女生甲被选中”,事件B表示“有两名男生被选中”,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 解析:由题意可知P(A)==,女生甲被选中且有两名男生被选中的概率 P(AB)==,则P(B|A)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　　) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 解析:由题意知X服从两点分布,故D(X)=m(1-m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 4.盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球,随机地从中取出1个,观察其颜色后放回,并加上同色球2个,再从盒中取出1个球,则取出的是黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 解析:设事件A表示第一次抽取的是黑球,则P(A)=,P()=, 事件B表示第二次抽取的是黑球,可知P(B)=,P(B)=, 所以P(B)=P(A)P(B)+P()P(B)=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.随机变量X的分布列如表,则E(2X+3)的值为(　　) A.4.4 B.7.4 C.21.2 D.22.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 B 解析:由0.2+A+0.4=1得A=0.4,所以E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2, 所以E(2X+3)=2E(X)+3=2×2.2+3=7.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.若X的分布列为 其中p∈(0,1),则(　　) A.D(X)=p3 B.D(X)=p2 C.D(X)=p-p2 D.D(X)=pq2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 0 1 P q p C 解析:由随机变量X的分布列,可得q+p=1,所以q=1-p,所以E(X)=0×q+1×p=p, 所以D(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2(1-p)+(1-p)2p=(1-p)p=p-p2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.设随机变量X的分布列如表(其中0<p<1),D(X)表示X的方差,则当p从0增大到1时(　　) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 0 1 2 P D 解析:由分布列可得E(X)=0×+1×+2×=+p, 则D(X)=++=-p2+p+=-+, 因为0<p<1,所以D(X)先增后减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论错误的是(　　) A.P(0<X<3.5)= B.E(3X+1)=7 C.D(X)=2 D.D(3X+1)=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 解析:∵P(X=k)=(k=1,2,5),∴P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=5)=, 则++=1,解得a=1,∴P(0<X<3.5)=P(X=1)+P(X=2)=+=,故A正确. 又E(X)=1×+2×+5×=2,∴E(3X+1)=3E(X)+1=3×2+1=7,故B正确. 由D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(5-2)2=2,故C正确. 又D(3X+1)=32D(X)=9×2=18,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.(多选)已知X的分布列为 则(　 　) A.P(X=1)= B.E(X)=- C.D(X)= D.P(X2=1)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X -1 0 1 P m ABD 解析:对于A,由分布列的性质可得++m=1,解得m=,则P(X=1)=,A正确; 对于B,E(X)=-1×+0×+1×=-,B正确; 对于C,D(X)=×+×+×=,C错误; 对于D,当X=-1或X=1时,X2=1, 所以,P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=+=,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(多选)甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则(　 　) A.P(A1)= B.P(B)= C.P(B)= D.P(A2)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ABD 解析:依题意可得P(A1)=,P(A2)=,P(B)==,P(B)==, 所以P(B)=P(A1)P(B)+P(A2)P(B)=×+×=,故A正确,B正确,C错误; P(A2)====,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选)在某班中,男生占40%,女生占60%,在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%,在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%,从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是(　　) A.抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C.若抽到的学生喜欢体育锻炼,则该学生是男生的概率为 D.若抽到的学生喜欢体育锻炼,则该学生是女生的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 AB 解析:A选项,用A1,A2分别表示抽到的学生是男生、女生,用B表示抽到的学生喜欢体育锻炼. 由题意得P(A1)=40%,P(A2)=60%,P(A1)=80%,P(A2)=60%, 则P(A1B)=P(A1)P(A1)=32%=, 故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为,A正确; B选项,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(A1)+P(A2)P(A2)=68%=,B正确. C选项,由B选项可得P(B)==,C错误; D选项,由C选项可得P(B)=1-P(B)=,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.某一射手射击所得的环数X的分布列如表: 记“函数f(x)=x2-13x+1在区间[X,+∞)上单调递增”为事件A,则事件A的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 0.88 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为函数f(x)=x2-13x+1在区间[X,+∞)上单调递增,所以X≥=6.5, 结合X的分布列,可得P(A)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88. 13 14 15 16 17 13.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课,每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6∶3∶1,考核优秀率分别为20%,16%和12%,现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名,其成绩是优秀的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 0.18 解析:设事件B=“任取一名同学,成绩为优秀”,Ai=“抽取的选修第i门选修课的同学”(i=1,2,3), 则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,依题意,P(A1)=0.6,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1, P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.16,P(B|A3)=0.12, 所以成绩是优秀的概率为P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3) =0.2×0.6+0.16×0.3+0.12×0.1=0.18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.小青准备用9万元投资A,B两种股票,已知两种股票收益相互独立,且这两种股票的买入都是每股1万元,每股收益的分布列如表所示,若投资A种股票a万元,则小青两种股票的收益期望和为　　　　万元.  股票A的每股收益分布列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 收益X/万元 -1 0 3 概率 0.3 0.2 0.5 股票B的每股收益分布列 收益Y/万元 -3 4 概率 0.4 0.6 10.8 解析:由题中两种股票每股收益的分布列可知: E(X)=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2,E(Y)=-3×0.4+4×0.6=1.2, 所以两种股票的收益期望和为aE(X)+(9-a)E(Y)=1.2a+ (9-a)×1.2=1.2×9=10.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,不放回地从中取产品,每次取1个,取两次.求: (1)两次都取得一等品的概率; (2)第二次取得一等品的概率; (3)已知在第二次取得一等品的条件下,第一次取得二等品的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:记Ai为第i次取到一等品,其中i=1,2. (1)两次都取得一等品的概率P(A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)=×=. (2)若第二次取得一等品,则第一次可能取到一等品,也可能取到二等品, 则P(A2)=P(A2)+P(A1A2)=P()P(A2)+P(A1)P(A2)=×+×=. (3)已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率为P(|A2)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名运动员进行选拔测试,比赛得分为两个相互独立的随机变量X与Y,且X,Y的分布列为: (1)求a,b的值; (2)计算X,Y的期望与方差,并以此分析甲、乙的技术状况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 1 2 3 P a 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 解:(1)由离散型随机变量的分布的性质可知a+0.1+0.6=1,∴a=0.3. 同理0.3+b+0.3=1,∴b=0.4. (2)E(X)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(Y)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, D(X)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81, D(Y)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6. 由于E(X)>E(Y),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(X)>D(Y),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒,每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球,其中甲盒中有8个黑球和2个白球,乙盒中有3个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球,可从这两个盒子中随机选择一个盒子,再从选中的盒子中随机摸出一个球,若摸出黑球,则结束摸球,得300元购物券;若摸出的是白球,则将摸出的白球放回原来盒子中,再进行第二次摸球.第二次摸球有如下两种方案:方案一,从原来盒子中随机摸出一个球;方案二,从另外一个盒子中随机摸出一个球.若第二次摸出黑球,则结束摸球,得200元购物券;若摸出的是白球,也结束摸球,得100元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (1)在第一次摸出白球的条件下,求选中的盒子为甲盒的概率. (2)①在第一次摸出白球的条件下,通过计算,说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大; ②依据以上分析,求随机变量X的数学期望的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)设试验一次,“取到甲盒”为事件A1,“取到乙盒”为事件A2, “第一次摸出黑球”为事件B1,“第一次摸出白球”为事件B2, P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=, 所以P(A1|B2)====, 所以选中的盒子为甲盒的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)①P(A2|B2)=1-P(A1|B2)=1-=, 所以方案一中取到黑球的概率为P1=P(B2)P(A1)+P(B2)P(A2)=×+×=. 方案二中取到黑球的概率为P2=P(B2)P(A1)+P(B2)P(A2)=×+×==, 因为>,所以方案二中取到黑球的概率更大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ②随机变量X的值为300,200,100, 依据以上分析,若采用方案一: P(X=300)=P(B1)=1-P(B2)=, P(X=200)=P(B2)P1=×=, P(X=100)=1--=, E(X)=300×+200×+100×=228.5; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 若采用方案二: P(X=300)=P(B1)=1-P(B2)=, P(X=200)=P(B2)P2=×=, P(X=100)=1--=, E(X)=300×+200×+100×=241, 所以随机变量X的数学期望的最大值为241. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$