6.2.2 第1课时 排列数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

6.2.2 排列数 排列数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式. 2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 排列数 公式 乘积式 =_____________________________ 阶乘式 =____________ 备注 n，m∈N*，并且m≤n 不同排列 n（n-1）（n-2）…（n-m+1） 2.全排列 （1）把n个不同的元素_________的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. （2）正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用_____表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定：0!=_____. 全部取出 n! 1 |微|点|助|解| （1）乘积是m个连续正整数的乘积； （2）第一个数最大，是A的下标n； （3）第m个数最小，是n-m+1. 3.排列数的计算与化简技巧 （1）n!=n（n-1）!；（2）=n； （3）n·n!=（n+1）!-n!；（4）=-. 1.-的值是（　　） A.480 B.520 C.600 D.1 320 √ 基础落实训练 解析：=12×11×10=1 320，=10×9×8=720， 故-=1 320-720=600. 2.若=，则m=（　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析：由=，得m（m-1）=m（m-1）·（m-2），m≥3，解得m=3. √ 3.对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×…×n= （　　） A. B. C. D. √ 解析：易得4×5×…×n=. 4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有 （　　） A.4种 B.12种 C.18种 D.24种 √ 解析：由题意可得不同的采访顺序有=24种. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　排列数的计算 [例1]　（1）（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）（n-2 026）（n∈N，n>2 026）可表示为 （　　） A. B. C. D. √ 解析：（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）·（n-2 026）中总共有（n-1 998）-（n-2 026）+1=29个数连乘， 故（n-1 998）（n-1 999）…（n-2 025）·（n-2 026）=. （2）计算：. 解： = = ==. 　　|思|维|建|模| （1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行. （2）=n（n-1）…（n-m+1）是m个连续自然数之积，其中n是最大的数，n-m+1是最小的数，要会根据排列数公式的特征逆用. 针对训练 1.若=12，则n=（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：由排列数公式可得=n（n-1）=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*，故n=4. 2.计算：=________.  - 解析：= ==-=-. 题型（二）　排列数公式的应用 [例2]　（1）化简+++…+（n≥2且n∈N*）； 解：∵=-， ∴+++…+ =+++…+ =1-. （2）解方程：=140； 解：因为所以x≥3，x∈N*. 由=140得（2x+1）2x（2x-1）（2x-2） =140x（x-1）·（x-2）. 化简得4x2-35x+69=0，解得x1=3，x2=（舍去）. 所以原方程的解为x=3. （3）解不等式：<6. 解：原不等式可转化为<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12. 因为即3≤x≤8，且x∈N*， 所以x=8. 　　|思|维|建|模| 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 针对训练 3.不等式3≤2+6的解集为（　　） A.{3，4，5} B.{3，4，5，6} C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6} √ 解析：易知x≥3，x∈N.因为=x（x-1）·（x-2），=（x+1）x，=x（x-1），所以原不等式可化为3x（x-1）（x-2）≤2x（x+1）+6x（x-1），所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}. 4.求证：（1）-=n2； 证明：左边=-=n（n+1）-n =（n2+n-n）=n2=右边， ∴结论成立，即-=n2. （2）-=（k≤n）. 证明：当k≤n时，左边=- =-===右边， ∴结论成立，即-=（k≤n）. 题型（三）　排列数的简单应用 [例3]　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号? 解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种；第2类，用2面旗表示的信号有种；第3类，用3面旗表示的信号有种，由分类加法计数原理知，所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15，即一共可以表示15种不同的信号. 　　|思|维|建|模| 　　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.若情况较多，可以分类后进行计算. 针对训练 5.已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 （　　） A.种　 B.种 C.种　 D.2种 √ 解析：司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法. 6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 ______种.（用数字作答）  36 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12（种）方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36（种）选法. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.×3!=（　　） A.30 B.60 C.90 D.120 √ 解析：×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为 （　　） A.120 B.86 C.72 D.60 √ 解析：依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为=60. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.-55-6=（　　） A.0 B.56 C.1 D.42 √ 解析：由题意得-55-6=8×7×6-55×6-6=0×=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （　　） A.36 B.72 C.144 D.240 √ 解析：分步完成：甲不担任四辩，共有3种选择，又因为乙也不担任四辩，共有2种选择，从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有=12种，所以一共有3×2×12=72种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]下列等式正确的是 （　　） A.（n+1）= B.=（n-2）! C.= D.= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，（n+1）=n+1）·===， 故A正确； 对于B，==（n-2）!，故B正确； 对于C，=m!，=，显然≠，故C错误； 对于D，=·==，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （　　） A.120个 B.80个 C.40个 D.20个 √ 解析：由题意知，可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有个；第二类，十位数字取6，有个；第三类，十位数字取5，有个；第四类，十位数字取4，有个.所以“伞数”的个数为+++=40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 （　　） A. B. C. D. √ 解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24（种）排法.丙不在排头，甲或乙在排尾，则丙在中间两个位置中选一个，有2种选法，甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法，余下2人全排列，有=2（种） 排法，故共有2×2×2=8（种）排法，所以所求概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）.比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名.”对乙说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为 （　　） A.450 B.480 C.504 D.618 √ 解析：由题意，若甲是最后一名，有=120种不同的方法；若甲不是第一名也不是最后一名，则有=384种不同的方法，所以6人的名次排列的不同方法的种数为120+384=504. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界 有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色 方法有 （　　） A.384种 B.168种 C.108种 D.192种 √ 解析：先给2，5染色，有种方法，若1和5同色，则4有2种涂法； 若1和5不同色，则1，4有2×1=2种涂法.因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有×（2+2）2=192种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）不等式3+12≤11，其中x∈N*的解集为________.  {2，3} 解析：由题知，x≥2，且x∈N*， 又3+12≤11⇔3（x+2）（x+1）+12x（x-1）≤11（x+1）x， 即2x2-7x+3≤0， 解得≤x≤3，故x=2或x=3， 所以原不等式的解集为{2，3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m（m>1）个车站，客运车票增加了58种，则n=_________，m=________.  14 2 解析：由题意可得-=（n+m）（n+m-1）-n（n-1）= m（2n+m-1）=58， 因为m，n均为正整数，所以2n+m-1也为正整数， 且2n+m-1>m>1，所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（5分）甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙 牵手的概率是__________.（用数字作答） 解析：以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况，其中乙在甲左边或右边，即甲与乙能牵手有2种情况，所以所求概率为P===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画五件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案?（5分） 解：若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则从其余四件艺术作品中选一件排在第一个展出，剩下的四件全排列，则共有=96种不同的安排方案. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案?（5分） 解：若要求油画和插画的展出顺序相邻，则将这两件艺术作品捆绑在一起，看作一件作品，再与其余三件艺术作品全排列，故有=48种不同的安排方案（注意捆绑的组内还需全排列）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）（1）化简：1!+2·2!+3·3!+…+n·n!.（5分） 解：原式=1+（3-1）·2!+（4-1）·3!+…+（n+1-1）·n! =（2!-1）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+[（n+1）!-n!] =（n+1）!-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：证明：因为= =，所以左边 ===<=，故原不等式成立. （2）设n∈N*，且n≥3，证明：+++…+<.（5分） 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $