5.3.2 第2课时 函数的最值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“函数的最值（第2课时）”，核心内容为利用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最值，课前通过自主学习落实定义、步骤及极值与最值的区别联系，为课堂梯度进阶学习搭建基础支架。 其亮点是以梯度进阶式教学为主线，通过微点助解和思维建模培养数学思维，如题型（三）由最值求参数，结合导数分析单调性和极值点，列方程解决问题，提升逻辑推理和运算能力。学生能循序渐进掌握，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

函数的最值 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 函数的最大(小)值 1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值 (1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线. (2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在___________或__________取得. 连续不断 极值点 区间端点 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的______. (2)将函数y=f(x)的_______与端点处的函数值_________进行比较,其中最大的一个是_______,最小的一个是_______. 极值 各极值 f(a),f(b) 最大值 最小值 |微|点|助|解|　　函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个. (2)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值. (1)闭区间上的连续函数一定有最值. (　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值. (　　) (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. (　　) (4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. (　　) 基础落实训练 √ √ √ × 2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 (　　) A.无最值 B.有极值 C.有最大值 　D.有最小值 √ 解析: f'(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值. 3.函数y=在[0,2]上的最大值为_______.  解析:令y=f(x),∵y'==,令y'=0, 得x=1∈[0,2].∴f(1)=,f(0)=0,f(2)=,∴f(x)max=f(1)=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　函数最值的辨析 [例1]　已知函数y=f(x)定义域为(-1,2),且在该区间上连续,在(-1,2)上函数y=f(x)有唯一的极大值f(1),则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)有最大值f(1) B.函数f(x)有最大值,但不一定是f(1) C.函数f(x)的最小值也可能是f(1) D.函数f(x)不一定有最大值 √ 解析:函数y=f(x)定义域为(-1,2),是开区间,则当x趋近于-1或2时,若f(x)趋于正无穷大,此时函数f(x)没有最大值,故A、B错误,D正确;因为函数y=f(x)有唯一的极大值f(1),所以在x=1附近,函数值小于f(1),所以函数f(x)的最小值不可能是f(1),故C错误.故选D. |思|维|建|模| (1)正确理解极值与最值的关系是解题关键. (2)一般情况下,唯一的极值应该也是最值,在(a,b)内,若f(x0)为极小值,则其为最小值;若f(x0)为极大值,则其为最大值. 针对训练 1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 (　　) A.f(b)>f(a)>f(c) B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值 C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值 D.函数f(x)的最小值为f(d) √ 解析:由题图可知,当x≤c时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增,又a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),故A不正确;因为f'(c)=0,f'(e)=0,且当x<c时,f'(x)>0;当c<x<e时,f'(x)<0;当x>e时,f'(x)>0.所以函数f(x)在x=c处取得极大值,但不一定取得最大值,在x=e处取得极小值,不一定是最小值,故B不正确,C正确;由题图可知,当d≤x≤e时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[d,e]内单调递减,从而f(d)>f(e),故D不正确. 题型(二)　求函数的最值 [例2]　 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R. (1)求f(x)的单调区间; 解:f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). (2)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值. 解:由(1)知x∈[-,3]时,f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f(1)=-2, 又f(-)=0,f(3)=18.所以f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2. |思|维|建|模| 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 针对训练 2.求下列函数的最值:(1) f(x)=; 解:因为函数f(x)=的定义域为R,f'(x)==, 当f'(x)=0时,x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以f(x)无最小值,且当x=2时,f(x)max=f(2)=. (2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3]. 解:因为f'(x)=2x-1-==,又因为x∈[1,3], 所以f'(x)≥0在[1,3]上恒成立. 所以f(x)在[1,3]内单调递增, 所以当x=1时,f(x)min=f(1)=0; 当x=3时,f(x)max=f(3)=6-ln 3. 题型(三)　由函数最值求参数的值或范围 [例3]　(1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a=(　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 √ 解析:当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b=-2, f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞).又因为f(x)在x=1处取得最大值,所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f'(x)=,则f'(1)==0,所以a=-2. (2)函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) √ 解析:由f'(x)=x2-2x=0得x1=0,x2=2,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值,故最小值为f(2), 又f(-1)=f(2),故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1,2). |思|维|建|模| 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 针对训练 3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1,∴h'(x)=3x2+6x-9, 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1,当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28,由h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.故k的取值范围是(-∞,-3]. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.关于函数f(x)=x3+x,下列说法正确的是 (　　) A.没有最小值,有最大值 B.有最小值,没有最大值 C.有最小值,有最大值 D.没有最小值,也没有最大值 √ 解析:依题意f'(x)=3x2+1>0,所以f(x)在R上单调递增,没有最小值也没有最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是(　　) A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 √ 解析:因为y'=1-cos x,当x∈时,y'>0,则函数在区间内单调递增,所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为 (　　) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) √ 解析:令F(x)=f(x)-g(x),∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,即F'(x)<0,∴F(x)在[a,b]内单调递减,∴F(x)max=f(a)-g(a). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析:由题知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),令g(x)=f'(x),则g'(x)=2-cos(x+1)>0,所以f'(x)单调递增.又f'(-1)=0,所以当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0.故x=-1为f(x)的最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知函数f(x)=ax4-4ax3+b,x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b的值可能为 (　　) A.- B.- C. D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意可得f'(x)=4ax2(x-3),1≤x≤4,当a=0时,则f(x)=b,显然不合题意,舍去;当a>0时,令f'(x)>0,而1≤x≤4,则3<x≤4,故f(x)在[1,3]内单调递减,在(3,4]内单调递增,且f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,即f(1)<f(4),故解得则a+b=;当a<0时,令f'(x)>0,而1≤x≤4,则1≤x<3,故f(x)在[3,4]内单调递减,在[1,3)内单调递增,且f(3)=b-27a,f(1)= b-3a,f(4)=b,即f(1)>f(4),故解得则a+b=-.综上所述,a+b=或-.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.函数f(x)=(3x2-6x+a+3)ex,若存在x0∈R,使得对任意x∈R,都有f(x)≥f(x0),则a的取值范围是 (　　) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(3,+∞) D.(-∞,3) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由f'(x)=(3x2+a-3)ex,又ex>0,因为任意x∈R,都有f(x)≥f(x0),所以f(x0)是函数f(x)的最小值,也是极小值,故f'(x0)=0有两实根,即3+a-3=0有两实根,则a<3.记二次函数g(x)=3x2+a-3的零点为x1,x0,且x1<x0,则f(x)在(-∞,x1),(x0,+∞)上单调递增,在(x1,x0)上单调递减,当x→-∞时,f(x)→0+,因为f(x0)是最小值,所以f(x0)≤0,即f(x0)=(3-6x0+a+3) =(6-6x0)≤0,解得x0≥1,故a=3-3≤0.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当MN达到最小值时t的值为 (　　) A.1 B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为f(x)的图象始终在g(x)的上方,所以MN=f(x)-g(x)=x2-ln x.设h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x-=(x>0).令h'(x)==0,得x=,所以h(x)在内单调递减,在上单调递增,所以当x=时,MN取最小值,此时t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)函数f(x)=的最小值是______.  -e 解析:由题设,f'(x)==-,所以在(-∞,-1)上f'(x)<0,f(x)单调递减;在(-1,2)内f'(x)>0,f(x)单调递增;在(2,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减.f(x)在(-∞,-1)上值域为(-∞,-e),在(-1,2)上值域为,在(2,+∞)上值域为,故f(x)在R上的值域为(-∞,-e),即最小值是-e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么m=_____.  3 解析:由函数f(x)=2x3-6x2+m,可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2]时,f'(x)≤0,f(x)单调递减.所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(0)=m,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3,所以m=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值为2,则f(k)=_______.  ln 3 解析:因为f(x)=ln x-x+k,所以f'(x)=-1=,又x∈[1,e],所以f'(x)≤0在x∈[1,e]上恒成立,即f(x)在区间[1,e]内单调递减,所以f(1)=ln 1-1+k =2,解得k=3,故f(x)=ln x-x+3,所以f(k)=f(3)=ln 3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是__________.  [0,+∞) 解析:因为函数f(x)=xex,则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,函数f(x) =xex单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)=xex单调递减.所以函数f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,又因为函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,结合图象可知a≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=2x+1-4ln x. (1)证明:f(x)≥-2x+5;(5分) 解:证明:要证f(x)≥-2x+5,即证2x+1-4ln x≥-2x+5, 即证x-1-ln x≥0,令g(x)= x-1-ln x,则g'(x)=(x>0), 当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,从而f(x)≥-2x+5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值.(5分) 解:因为f(x)=2x+1-4ln x,x∈[1,3],所以f'(x)=2-=,x∈[1,3], 令f'(x)>0,则2<x≤3;令f'(x)<0,则1≤x<2, 所以f(x)在[1,2)内单调递减,在(2,3]内单调递增, 所以f(x)min=f(2)=5-4ln 2, 又f(1)=3,f(3)=7-4ln 3,f(1)-f(3)=4(ln 3-1)>0,所以f(x)max=3, 所以f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=ax+ln x. (1)讨论函数f(x)的单调区间;(6分) 解:由题意得f'(x)=a+,x>0,当a≥0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,若0<x<-,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 若x>-,则f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当a=-1时,函数g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值为0,求实数m的值.(4分) 解:由题意g(x)=-x+excos x-m,x∈,g'(x)=-1+ex(cos x-sin x), 令h(x)=g'(x)=-1+ex(cos x-sin x),h'(x)=-2exsin x. 当x∈时,h'(x)=-2exsin x≤0,h(x)单调递减, 则h(x)≤h(0)=0,则g'(x)≤0,则g(x)在内单调递减, 故g(x)在上的最大值为g(0)=1-m=0,所以m=1.故实数m的值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知函数f(x)=x3-x2-2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间;(5分) 解:由f(x)=x3-x2-2x+1,x∈R,得f'(x)= x2-x-2, 令f'(x)= x2-x-2>0,得x<-1或x>2,令f'(x)= x2-x-2<0,得-1<x<2, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),单调递减区间为(-1,2). (2)求函数f(x)的极值;(4分) 解:由(1)可知f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.(6分) 解:函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,故f(a)≥f(2)=-,由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解,故(x-2)2(2x+5)=0,解得x=-或x=2,由于f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞), 单调递减区间为(-1,2),故要使得函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,只需-≤a≤2,即实数a的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $