10.2 事件的相互独立性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性”，课前通过自主学习定义、性质及与互斥事件的对比搭建基础支架，课堂以梯度题型（判断、计算、综合应用）进阶，衔接古典概型，形成完整知识脉络。 其亮点是梯度进阶式教学，通过定义法与公式法判断独立事件培养数学思维，结合保险购买、信号传输等实例用数学语言描述现实问题提升应用意识。学生能系统构建知识体系，教师可利用分层训练实施差异化教学，提高教学效率。

10.2 事件的相互独立性 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,会利用事件的独立性计算概率. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=___________成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 2.相互独立事件的性质 当事件A,B相互独立时,事件___与事件___相互独立,事件___与事件___相互独立,事件____与事件____相互独立. 3.推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N*)个事件的相互独立性,即若事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2·…·An)=________________________. A B P(A)P(B) P(A1)P(A2)·…·P(An) 4.相互独立事件与互斥事件的关系 A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立 至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1-[P(A) +P(B)] P()P() 恰有一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) 至多一个发生 P(B+A+ ) 1 1-P(A)P(B) 基础落实训练 1.掷两枚质地均匀的骰子,设A=“第一枚出现的点数大于2”, B=“第二枚出现的点数小于6”,则A与B的关系为 (　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.相等 解析:对于该试验,第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响,而且事件A,B可以同时发生,所以A,B相互独立,但不互斥,也不对立,更不相等. √ 2.已知事件A,B相互独立,且P(A)=,P(AB)=,则P(B)=_____________. 解析:由题设P(AB)=P(A)P(B)=P(B)=,则P(B)=. 3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人都获得一等奖的概率为_____________.  解析:因为甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,且两人是否获得一等奖相互独立,所以这两个人都获得一等奖的概率为×=. 4.已知甲、乙两个气象站同时作气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为_____________. 0.38 解析:由题意,得在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件: (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; 解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个, 取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解:“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件. 两种方法判断两事件是否具有独立性 |思|维|建|模| 定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响 公式法 检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立 针对训练 1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件. (1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”; 事件N:“出现的点数为偶数”. 解:∵二者不可能同时发生, ∴M与N是互斥事件. (2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”. 解:样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6}, ∴P(A)==,P(B)==, P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B). 故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件. 题型(二)　相互独立事件概率的计算 [例2]　根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; 解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6. 记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”, 则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 解:记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”, 则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3. 　　[变式拓展] 　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少? 解:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”, 法一:则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件, 所以P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+ 0.5×0.6=0.8. 法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件, 所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8. 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤: (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生. |思|维|建|模| 针对训练 2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5. (1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率; 解:分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1, 设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格, 则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2. (2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率. 解:分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则 P(A)=0.5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2, 所以P(F)=P(A)+P(B)+P( C)=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3× 0.8+0.7×0.7×0.2=0.434. [例3]　某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:在三门课程中,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c(a,b,c∈(0,1)),且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 题型(三)　相互独立事件概率的综合应用 (1)分别求应聘者用方案一和方案二时,考试通过的概率; 解:记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a, P(B)=b,P(C)=c. 三门课程的考试,至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC,应聘者用方案一考试通过的概率 P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc= ab+bc+ac-2abc. 应聘者用方案二考试通过的概率 P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ac). (2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. 解:因为a,b,c∈(0,1), 所以P1-P2=(ab+bc+ac)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)]>0, 故P1>P2,即采用方案一,该应聘者考试通过的概率大. 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. |思|维|建|模| 3.在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为p1(0<p1<1),收到0的概率为1-p1;发送1时,收到0的概率为p2(0<p2<1),收到1的概率为1-p2.现有两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码(例如,若收到1,则译码为1,若收到0,则译码为0);三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1,若依次收到1,1,1,则译码为1). 针对训练 (1)已知p1=,p2=. ①若采用单次传输方案,重复发送信号0两次,求至少收到一次0的概率; ②若采用单次传输方案,依次发送0,0,1,试判断事件“第三次收到的信号为1” 与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立,并给出理由; 解:①记事件A为“至少收到一次0”,则P(A)=2××+×=. ②不相互独立,理由如下:记事件B为“第三次收到的信号为1”,则P(B)=1-=. 记事件C为“三次收到的数字之和为2”, 则P(C)=××+××+××=. 因为P(BC)=××+××=≠P(B)P(C)=×=, 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立. (2)若发送1,采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率,求p2的取值范围. 解:记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”,则P(M)=3(1-p2)+. 记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”,则P(N)=p2.根据题意可得P(M)>P(N),即3(1-p2)+>p2.因为0<p2<1,所以3p2(1-p2)+>1,即2-3p2+1<0,解得<p2<1,故p2的取值范围为. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 解析:因为P()=,所以P(A)=.又P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 (　　) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 解析:设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,且P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛,比赛采取三场两胜制 (当一个班获得两场胜利时,该班获胜,比赛结束),假设每场比赛甲班获胜的概率为,每场比赛结果互不影响,则甲班最终获胜的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:甲班最终获胜有三种情况:①甲班前两场获胜;②甲班第1场和第3场获胜,第2场输;③甲班第1场输,第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为+××+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)已知A,B是一个随机试验中的两个随机事件,若P(AB)=,P(A)=, P(B)=,则(　　) A.事件A与B互为对立 B.事件A与B相互独立 C.P(A∪B)= D.P()= 解析:因为P(AB)=≠0,所以事件A与B不互斥,所以事件A与B不互为对立, A错误;因为P(A)P(B)=×=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立, B正确;P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,C正确;P()=1-P(AB)=1-=, D错误. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. 解析:由题意知,P()·P()=,P()·P(B)=P(A)·P().设P(A)=x,P(B)=y, 则即 ∴x2-2x+1=.∴x-1=-,或x-1=(舍去).∴x=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为 (　　) A.0.25 B.0.30 C.0.31 D.0.35 解析:设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.6, P(B)=P(C)=0.5,P(D)=0.4,恰好3人使用设备的概率P1=P(BCD∪ ACD∪ABD∪ABC)=(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1-0.5)× 0.5×0.4+0.6×0.5×(1-0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25, 4人使用设备的概率P2=P(ABCD)=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06,故所求概率P=P1+P2=0.25+0.06=0.31.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(多选)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.P(丙)= B.P(丁)= C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:依题意样本点总数为6×6=36个,“第一次取出的球的数字是1”的样本点有1×6=6个,“第二次取出的球的数字是2”的样本点有1×6=6个, “两次取出的球的数字之和为8”的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2), 共5个,“两次取出的球的数字之和为7”的样本点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2),(6,1),共6个,所以P(丙)=,P(丁)==,P(甲)=P(乙)=,故A正确,B错误;又同时满足事件甲、丁的样本点有(1, 6),共1个,同时满足事件乙、丙的样本点有(6, 2),共1个,所以P(乙丙)=≠P(乙)×P(丙),所以乙与丙不相互独立,故C错误;所以P(甲丁)==P(甲)×P(丁),所以甲与丁相互独立,故D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为_____________. 0.009 解析:3人向目标各发1枪,由相互独立事件的概率计算公式,得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为_________. 解析:加工出来的零件的正品率是××=, 因此加工出来的零件的次品率为1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是_____________,三人中至少有一人达标的概率是_____________. 0.24 0.96 解析:由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24;三人中至少有一人达标,概率为P'=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求: (1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;(4分) 解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5; 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6; 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”; 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”; 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”. 易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3分) 解:易知D=(A)∪(B),则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)= 0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.(3分) 解:易知= ,则P()=P( )=P()P()=0.5×0.4=0.2. 故P(E)=1-P()=0.8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作,提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平,某地区面向该区青少年举办了“C++算法设计”科普公益大赛. (1)若A,B,C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人,现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试,求这两人来自同一个赛区的概率;(5分) 解:记来自A赛区的同学为A1,来自B赛区的同学为B1,B2,来自C赛区的同学为C1,C2,C3.设M=“从6人中随机选择2人”,N=“选择的两人来自同一个赛区”, 则M={(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A1,C2),(A1,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3), (B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},有15种可能的结果, N={(B1,B2),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},有4种可能的结果.所以P(N)=,所以这两人来自同一个赛区的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)某个算法编程题,若甲同学能解决的概率为0.8,乙同学能解决的概率为0.9,且甲、乙能否解决问题相互独立,求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率;(5分) 解:设D=“甲能解决该题”,E=“乙能解决该题”,=“甲不能解决该题”, =“乙不能解决该题”,“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题” =D∪E, 显然P(D)=0.8,P()=0.2,P(E)=0.9,P()=0.1. 因为事件D,E互斥,事件D,E相互独立, 所以P(D∪E)=P(D)+P(E)=P(D)P()+P(E)P()=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26, 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试,若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题,每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9,且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响,每一轮的结果也互相不影响,求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率.(5分) 解:设F1=“两轮测试中甲解决一道题”,F2=“两轮测试中甲解决两道题”, G1=“两轮测试中乙解决一道题”,G2=“两轮测试中乙解决两道题”, H=“两轮测试中甲、乙共解决三道题”. P(F1)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32,P(F2)=0.8×0.8=0.64, P(G1)=0.9×0.1+0.1×0.9=0.18,P(G2)=0.9×0.9=0.81. 因为F1G2,F2G1互斥,事件F1与G2,F2与G1相互独立, 所以P(H)=P(F1G2∪F2G1)=P(F1)P(G2)+P(F2)P(G1)=0.32×0.81+0.64×0.18 =0.374 4, 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.374 4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $