10.3 频率与概率 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概率 §10.1 随机事件与概率 §10.2 事件的相互独立性 §10.3 频率与概率 索引 必修 第二册 1 10.3.1 频率的稳定性 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小。在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率。那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 【引例1】考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍。得到数据填入（其中nH表示正面H发生的频数，fn(H)表示正面H发生的频率） 根据古典概型我们可知，抛掷一枚硬币正面和反面的概率都是0.5。 索引 §10.3 频率与概率 索引 §10.3 频率与概率 3 这种试验历史上也有人做过，得到下表的数据。 从上述数据可以看出：抛硬币次数n较小时，频率fn(H)在0与1之间随机波动，其幅度较大，但随着n增大，频率fn(H)呈现出稳定性。即当n逐渐增大时fn(H)总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5。 索引 §10.3 频率与概率 4 【引例2】重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较。 根据古典概型我们可知，把硬币正面朝上记为 1，反面朝上记为0，这个试验的样本空间Ω={ (1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0) }，A ={ (1，0)，(0，1) } 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系。 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表中。 索引 §10.3 频率与概率 5 索引 §10.3 频率与概率 6 （1）试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性。 试验结论： （2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)。 索引 §10.3 频率与概率 7 统计概率实验的一般规律： 总体 随机抽样 简单随机抽样 分层随机抽样 样本 调查所探究事件的频率 估计 当试验次数n无穷大时，样本频率近似等于该事件的概率。 索引 §10.3 频率与概率 8 【例1】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51。 （1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）； （2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 解：（1）2014年男婴出生的频率为 2015年男婴出生的频率为 （2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度。因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论。 索引 §10.3 频率与概率 9 【例2】（综合应用：概率统计）2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空，某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，这m人按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人。 （1）求b及m的值； （2）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年 龄和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20人，担任“党章党史”的宣传使者，若有甲 （年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传 使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中， 再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率。 索引 §10.3 频率与概率 10 解：（1）根据频率分布直方图的性质 已知第一组有10人，即 （2）根据平均数公式 前三组的面积为 前四组的面积为 所以80%分位数在区间[35，40)之间，设为x 综上，平均年龄为32.25，第80百分位数为37.5 索引 §10.3 频率与概率 11 （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者，若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率。 （3）在各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，则在第四组中抽取出0.2×20=4人，在第五组中抽取出0.1×20=2人。 第四组中抽取出的人记为1、2、3、甲，在第五组中抽取出的人记为4、乙。 根据题意得，从第四组和第五组中抽取2名作为组长的样本空间Ω={ (1，2)，(1，3)，(1，甲)，(1，4)，(1，乙)，(2，3)，(2，甲)，(2，4)，(2，乙)，(3，甲)，(3，4)，(3，乙)，(4，甲)，(4，乙)，(甲，乙) }，即n(Ω)=15。 甲、乙两人至少有一人被选上记为事件A，A的样本空间A={ (1，甲)，(1，乙)，(2，甲)，(2，乙)，(3，甲)，(3，乙)，(4，甲)，(4，乙)，(甲，乙) }，即n(A)=9。 索引 §10.3 频率与概率 12 10.3.2 随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了。 用频率估计概率，需要做大量的重复试验。有没有其他方法可以替代试验呢？ 索引 §10.3 频率与概率 又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别。对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{ 1，2，3，4，5 }的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球。这样不断产生1~5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验。 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{ 0，1 }的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上。这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。 索引 §10.3 频率与概率 14 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率。 画出频率折线图，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4。 索引 §10.3 频率与概率 15 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。 蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。 索引 §10.3 频率与概率 16 $$