9.2.1 第2课时 频率分布直方图及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦频率分布直方图及其应用，涵盖频率分布表制作、直方图绘制及总体估计。通过课前自主落实基础（步骤梳理、微点助解、基础训练），课堂梯度进阶（频数频率关系、直方图绘制、实际应用题型），构建从基础到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实数据（如学生成绩、课外阅读时间），通过“数学思维”推理频数频率关系、规范直方图绘制步骤，用“数学语言”（图表、数据）表达规律。梯度题型设计与思维建模总结（如矩形面积意义、频率估计总体），助力学生提升数据分析能力，教师可高效推进教学，实现知识与素养双提升。

频率分布直方图及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法.掌握用频率分布直方图估计总体. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 　　画频率分布直方图的步骤 (1)求极差:极差为一组数据中_________与_________的差. (2)决定组距与组数:当样本量不超过100时,常分成________组.为了方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”. (3)将数据分组. (4)列频率分布表:一般分四列:分组、 _________ 、频数、 ______.其中频数合计应是样本容量,频率合计是_______. (5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示_______.小长方形的面积=组距×_______= _______.各小长方形的面积的总和等于1. 最大值 最小值 5~12 频数累计 频率 1 频率 |微|点|助|解| (1)频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形的高度与频数成正比. (2)频率分布直方图的纵坐标是,每一组数对应的矩形高度与 频率成正比,而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率. (3)在频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为1. (4)画频率分布直方图时,纵坐标表示频率与组距的比值,一定不能标成频率. 基础落实训练 1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,前三组是不超过80分的频数之和为20,其频率之和为0.4,则抽取的样本的容量为 (　　) A.100 B.80 C.20 D.50 解析:设抽取的样本的容量为n,所以=0.4,即n=50. √ 2.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为 (　　) A.20 B.27 C.33 D.60 解析:∵n·=27,∴n=60.故选D. √ 3.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩,分为6组:[65,70),[70,75),[75,80), [80,85),[85,90),[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示,则成绩在区间[70,85)内的学生有(　) 解析:∵(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=1, ∴a=0.04,∴100×(0.06+0.04+0.03)×5=65(名).   A.35名 B.50名 C.60名 D.65名 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　频数与频率的关系 [例1]　某市共有5 000名高三学生参加联考,为了解这些学生对数学知识的掌握情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成频率分布表: 分组/分 频数 频率 [80,90) ① ② [90,100)   0.050 [100,110)   0.200 [110,120) 36 0.300 [120,130)   0.275 [130,140) 12   [140,150]   0.050 合计     根据上面的频率分布表,可知①处的数值为_________,②处的数值为___________. 3 0.025 解析:设样本容量为n,由位于[110,120)的频数为36,频率为=0.300,得样本容量n=120.所以[130,140)的频率为=0.100. ②处的数值为1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.100-0.050=0.025, ①处的数值为0.025×120=3. 频率反映了相对总数而言的相对强度,其携带的总体信息要超过频数,频数受总体数量影响较大,所以频率能客观地反映总体分布,在生活中,经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布. |思|维|建|模| 针对训练 1.在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下, 则m等于 (　　) 分组 [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) [600,700] 频数 10 30 40 80 20 m 频率 0.05 0.15 0.2 0.4 a b A.40 B.30 C.20 D.10 √ 解析:∵频率、频数的关系为频率=,∴=.∴a=0.1. ∵表中各组的频率之和等于1,∴b=1-0.9=0.1,m=20. 2.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为,求第三组的频数. 解:因为频率=,所以第二、四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24. 题型(二)　画频率分布直方图 [例2]　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩分组(单位:分)及各组的频数如下: [40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8. (1)列出样本的频率分布表(含累积频率); 解:频率分布表如下: 成绩分组 频数 频率 累积频率 [40,50) 2 0.04 0.04 [50,60) 3 0.06 0.1 [60,70) 10 0.2 0.3 [70,80) 15 0.3 0.6 [80,90) 12 0.24 0.84 [90,100] 8 0.16 1.00 合计 50 1.00   (2)画出频率分布直方图; (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例. 解:频率分布直方图如图所示. 解:学生成绩在[60,90)分的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74%. 绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1,因此,各小矩形的面积之和也等于1. (2)在xOy坐标平面内画频率分布直方图时,x=样本数据,y=,这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积来表示.其中,矩形的高==×频数. (3)同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴单位长度不同,得到的频率分布直方图的形状也会不同. |思|维|建|模| 针对训练 3.为了了解九年级学生中女生的身高(单位: cm)情况,某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出频率分布表如下所示: 分组 频数 频率 [145.5,149.5) 1 0.02 [149.5,153.5) 4 0.08 [153.5,157.5) 20 0.40 [157.5,161.5) 15 0.30 [161.5,165.5) 8 0.16 [165.5,169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少? 解:法一:N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,=, 解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50. 法二:M==50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n===0.04. (2)画出频率分布直方图. 解:作出平面直角坐标系,组距为4,纵轴表示,横轴表示身高, 画出频率分布直方图如图所示. [例3]　为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12. 题型(三)　频率分布直方图的应用 (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? 解:频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的, 因此第二小组的频率为=0.08. 因为第二小组的频率=, 所以样本容量===150. (2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校高一年级全体学生的达标率约是多少? 解:由频率分布直方图可知,该校高一年级全体学生的达标率约为×100%=88%. (1)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积=组距×=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1. ③=样本容量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性. |思|维|建|模| 4.从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 针对训练 分组 频数 [0,2) 6 [2,4) 8 [4,6) 17 [6,8) 22 [8,10) 25 [10,12) 12 [12,14) 6 [14,16) 2 [16,18] 2 合计 100 (1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例; 解:根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名), 所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9. 故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9. (2)求频率分布直方图中a,b的值. 解:课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人,频率为0.17,所以a===0.085. 课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人,频率为0.25, 所以b===0.125. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.一个容量为20的样本数据,分组与频数如下表: 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 2 3 4 5 4 2 则样本在[10,50)内的频率为 (　　) A.0.5 B.0.24 C.0.6 D.0.7 解析:因为样本在[10,50)内的频数为2+3+4+5=14,样本容量为20,所以在[10,50)内的频率为=0.7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知一组数据有40个,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为 10,5,7,6,第五组的频率是0.20,则第六组的频率是 (　　) A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18 解析:由已知条件可得,第一组到第四组数据的频率分别为0.25,0.125, 0.175,0.15,又这六组的频率之和是1,因此,第六组的频率为1-0.25-0.125-0.175-0.15-0.20=0.10.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组, 该组的频率为m,在频率分布直方图中该组的小长方形的高为h,则|a-b|等于 (　　) A.hm B. C. D.h+m 解析:=h,故|a-b|=组距==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出(单位:元)在[50,60]内的学生有30人,则n的值为 (　　) A.100 B.1 000 C.90 D.900 解析:由题意可知,前三组的频率之和为(0.01+0.024+0.036)×10=0.7, ∴支出在[50,60]内的频率为1-0.7=0.3,∴n==100. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)容量为100的样本,其数据分布在[2,18]内,将样本数据分为4组:[2,6),[6,10),[10,14),[14,18],得到频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32 B.样本数据分布在[10,14)内的频数为40 C.样本数据分布在[2,10)内的频数为40 D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题图可得,样本数据分布在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32, 所以A正确.由题图可得,样本数据分布在[10,14)内的频数为100×(0.1×4)=40,所以B正确.由题图可得,样本数据分布在[2,10)内的频数为100×(0.02+0.08)×4=40,所以C正确.由题图可估计,总体数据分布在[10,14)内的比例为0.1×4=0.4=40%,所以D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成 六组:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130), [130,140),[140,150],得到频率分布直方图 如图所示,若不低于140分的人数为110, 则下列说法正确的是 (　　) A.m=0.031 B.n=800 C.100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120,140)内的人数占大半 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题图可知,10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1, 解得m=0.031,故A正确;因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11, 所以n==1 000,故B错误;因为100分以下的频率为0.006×10=0.06, 所以100分以下的人数为1 000×0.06=60,故C正确;成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,人数占小半,故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)某城市为促进家庭节约用电,计划制订阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档,属于第一档电价的家庭约占10%,属于第二档电价的家庭约占40%,属于第三档电价的家庭约占30%,属于第四档电价的家庭约占20%.为确定各档之间的界限,从该市的家庭中抽查了部分家庭,调查了他们上一年度的年月均用电量(单位:千瓦时),由调查结果得到如图所示的频率分布直方图,由此可以做出的合理判断是 (　　) A.年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 B.年月均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时的家庭属于第二档 C.年月均用电量低于240千瓦时,且超过200千瓦时的家庭属于第三档 D.年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:年月均用电量不超过80千瓦时的家庭频率为0.002 5×40=0.10,属于第一档,A正确;年月均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时的家庭频率(0.004 0+0.006 0+0.004 5)×40=0.55>0.4,所以年月均用电量在[160,200)的不属于第二档,B错误;年月均用电量低于240千瓦时的家庭频率为(0.002 5+ 0.004 0+0.006 0+0.004 5+0.003 0)×40=0.80,年月均用电量低于240千瓦时,且超过200千瓦时的家庭频率为0.003 0×40=0.12<0.3,属于第三档,C正确;年月均用电量超过240千瓦时的家庭频率为(0.002 0+0.001 0×3)×40=0.20, 属于第四档,D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在样本的频率分布直方图中,共有5个小长方形,已知中间一个 小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的,且中间一组的频数为10,则样本容量是___________. 40 解析:设中间长方形的面积为x,样本容量为n. 由题意得x=(1-x),解得x=,即中间一组的频率为,∴=,n=40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)现对某类文物进行某种物性指标检测,从1 000件中随机抽取了200件,测量物性指标值,得到如下频率分布直方图,据此估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的件数为________. 670 解析:抽取的200件文物中,物性指标值不小于95的频率为(0.033+0.024+0.008+0.002)×10=0.67, 由此估计出1 000件文物中,物性指标值不小于95的频率约为0.67, ∴估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的有1 000×0.67=670件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在一次竞选中,规定一个人获胜的条件是: (1)在竞选中得票最多; (2)得票数不低于总票数的一半. 如果在计票时,周鹏得票数据丢失. 候选人 赵明 钱红 孙华 李丽 周鹏 得票数 300 100 30 60 x 请问如果周鹏获胜,那么周鹏的得票数x的最小值为___________. 490 解析:根据条件,如果周鹏获胜,周鹏的得票数x不低于总票数的一半, 即≥,解得x≥490,且x∈N,即周鹏得票数至少为490票. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是___________. 90 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3,频数为36,∴样本容量为=120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75=90. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s与19 s之间,将测试结果按如下方式分成6组:第一组,成绩大于或等于13 s且小于14 s;第二组,成绩大于或等于14 s且小于15 s;…;第六组,成绩大于或等于18 s且小于或等于19 s,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17 s的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于或等于15 s且小于17 s的学生人数为y,则从频率分布直方图中可以分析出x和y的值分别为___________、___________. 0.9 35 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:从频率分布直方图可以得到,成绩小于17 s的学生的频率,也就是 成绩小于17 s的学生所占的百分比,是(0.02+0.18+0.34+0.36)×1=0.9;成绩大于或等于15 s且小于17 s的学生的人数为(0.36+0.34)×1×50=35. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下表. 寿命/h [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600] 个数 20 30 80 40 30 (1)制作频率分布表,并绘制频率分布直方图;(7分) 解:由题意得,样本总数为20+30+80+40+30=200, 电子元件寿命在[100,200)的频率为=0.10, 电子元件寿命在[200,300)的频率为=0.15, 电子元件寿命在[300,400)的频率为=0.40, 电子元件寿命在[400,500)的频率为=0.20, 电子元件寿命在[500,600]的频率为=0.15, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 频率分布表如下, 电子元件寿命分组 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 0.15 [300,400) 80 0.40 [400,500) 40 0.20 [500,600] 30 0.15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 各组的频率/组距的值依次为 0.001 0,0.001 5,0.004 0,0.002 0,0.001 5. 频率分布直方图如下 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.(3分) 解:电子元件寿命在400 h以上的频率为0.20+0.15=0.35. 据此可以估计电子元件的寿命在400 h以上的在总体中占的比例为35%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)随机抽取某校高二年级100名学生, 测得他们的身高(单位:cm),按照区间[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及 身高在170 cm及以上的学生人数;(4分) 解:由频率分布直方图可知,5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02)=1,解得x=0.06.身高在170 cm 及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数.(6分) 解:A组人数为100×5×0.06=30,B组人数为100×5×0.04=20,C组人数为100×5×0.02=10.由题意可知,A组抽取的学生人数为6×=3,B组抽取的学生人数为6×=2,C组抽取的学生人数为6×=1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $