10.1.3 第2课时 古典概型的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦古典概型综合问题，涵盖“放回”与“不放回”、实际应用及跨知识结合三大题型，通过抽奖方案等实例导入，衔接基础概念，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于以实际问题（如超市采购、抽奖）培养数学眼光，通过分类讨论（放回与不放回）训练数学思维，用样本点列举和概率计算强化数学语言。采用习题讲评式教学，例题典型且跟踪检测全面，助力学生掌握方法，教师可直接用于课堂提升教学效率。

古典概型的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　“放回”与“不放回”问题 题型(二) 古典概型的实际应用问题 题型(三) 古典概型与其他知识相结合 4 课时跟踪检测 题型(一) “放回”与“不放回”问题 01 [例1]　班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个 (编号为1,2,3),黄球2个(编号为4,5),有如下三种方案可供选择: 方案一:一次性抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品; 方案二:依次无放回地抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品; 方案三:依次有放回地抽取2个球,若编号的数字之和大于5,则获得奖品. (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点; 解:记1,2,3号红球分别为A1,A2,A3,4,5号黄球分别为B1,B2, 按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2), (A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10个; 按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1), (A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1),(A3,A2),(A3,B1),(A3,B2), (B1,A1),(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1),共20个. (2)哪种方案获得奖品的可能性更大?并说明理由. 解:方案一中,设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”,则事件A包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4个样本点,故P(A)==; 方案二中,设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”,则事件B包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A1),(A2,A3),(A3,A1),(A3,A2),(B1,B2),(B2,B1),共8个样本点,故P(B)==; 方案三中,设两次抽查取的球所标的数字分别为x,y,则所有可能发生的事件对应的二元有序数组(x,y)表示如下表,共25个样本点, (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 在方案三中,设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”, 则事件C包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个样本点,故P(C)==; 因为P(A)=P(B)<P(C),所以选择方案三获得奖品的可能性更大. |思|维|建|模| 解决有序和无序问题应注意两点 (1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看做是有顺序的,也可以看做是无顺序的,其最后结果是一致的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. (2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的. 针对训练 1.从两个白球(记为B1和B2)和两个黑球(记为G1和G2)这四个球中依次选取两个小球. (1)分别写出“有放回、不放回”方式选取的样本空间; 解:有放回选取的样本空间: {(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2), (G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}. 不放回选取的样本空间:{(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1), (B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. (2)求“有放回”方式选取一个白球和一个黑球的概率. 解:根据(1)中所求,有放回选取的可能性有16种, 其中满足要求的可能性有如下8种(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G2,B1),(G2,B2). 又有放回的选取的每种情况都是等概率的,故根据古典概率的概率计算公式可得,满足题意的概率为=. 题型(二) 古典概型的实际应用问题 02 [例2]　某超市计划购进1 000 kg苹果,采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱(每箱20 kg)统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格: 项目 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱 烂果 个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 假设在一箱苹果中没有烂果,则该箱的价格为120元,若出现一个烂果,则该箱的价格为110元. (1)以样本估计总体,试问采购员购进1 000 kg苹果需要多少元? 解:由题表可知,这10箱苹果中,没有烂果的有7箱,出现一个烂果的有3箱, 所以这10箱苹果的价格为120×7+110×3=1 170元. 故采购员购进1 000 kg苹果需要1 170×=5 850元. (2)若采购员检查完前3箱(即第1~3箱)苹果后,从剩下的7箱中任选2箱,这2箱都没有烂果,就按照每箱120元的价格购进1 000 kg苹果,求采购员按照这个价格采购苹果的概率. 解:设第i(i=4,5,6,7,8,9,10)箱分别记为A,B,C,D,E,F,G(其中A,F,G这3箱各有一个烂果), 从7箱中任选2箱,所有的情况为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F), (B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G), (F,G),共21种,其中没有A,F,G的有6种情况, 故采购员按照这个价格采购苹果的概率为=. |思|维|建|模| 　　解决与古典概型交汇的问题时,应明确相关事件,列举样本点,然后利用古典概型的概率计算公式求解. 针对训练 2.某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题,店主打算扩充店面,为了确定扩充的面积大小,店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数,所得数据统计如图所示. (1)求高峰时段用餐人数的平均数以及方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); 解:由频率分布直方图得=22.5×0.1+27.5×0.4+32.5×0.3+37.5×0.2=30.5, ∴s2=(22.5-30.5)2×0.1+(27.5-30.5)2×0.4+(32.5-30.5)2×0.3+ (37.5-30.5)2×0.2=6.4+3.6+1.2+9.8=21. (2)现用分层随机抽样的方法从高峰时段用餐人数在[30,40]的天数中随机抽取5天,再从这5天中随机抽取3天,求至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率. 解:∵用餐人数在[30,35)对应的频率为0.3,在[35,40]对应的频率为0.2, ∴5天中,用餐人数在[30,35)的天数为3天,可记为a,b,c,在[35,40]的天数为2天,可记为A,B,则任取3天,所有的情况有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B), (a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B),共10种, 其中至少2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的情况有(a,b,c),(a,b,A), (a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),共7种, 故至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率为. 题型(三) 古典概型与其他知识相结合 03 [例3]　(1)已知向量a=(x+1,1),b=(-8,x2+15),在集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:当a⊥b时,a·b=-8(x+1)+x2+15=x2-8x+7=0,解得x=1或x=7. 所以集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为. (2)从sin,sin,cos,sin,cos这五个式子中任取两个, 则这两个式子的值不相等的概率为(　　) A. B. C. D. √ 解析:因为sin=sin=sin,cos =cos=sin, 所以sin=cos=sin;cos=cos=sin . 记sin,sin,cos,sin ,cos这五个式子依次为a,b,c,d,e, 则从五个式子中任取两个的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中这两个式子的值不相等的样本点有(a,b),(a,e),(b,c),(b,d),(c,e),(d,e),共6个. 记A=“这两个式子的值不相等”,所以P(A)==. |思|维|建|模| 　　对于涉及方程、函数的概率问题,解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解,利用函数知识找出满足条件的情况,从而确定样本点的个数,再利用古典概型的概率计算. 针对训练 3.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 √ 因为A∩B=B,所以B可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}. 当B=∅时,a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3; 当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1; 当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b; 当B={1,2}时,满足条件的a,b为a=3,b=2; 当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b. 综上,符合条件的结果有8种. 故所求概率为. 解析:因为a∈A,b∈A,所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如表所示). a b 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 4.在区间(-1,5)与(1,5)内各随机取1个整数,设两数之和为M,则log2M>2成立的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:设从区间(-1,5),(1,5)中随机取出的整数分别为x,y,则样本空间为Ω={(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(0,4), (1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},共15种情况,不等式log2M>2等价于M>4,设事件A表示log2M>2,则A={(3,2),(4,2),(2,3),(3,3),(4,3),(1,4),(2,4),(3,4), (4,4)},共9种情况,所以P(A)==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为=. √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 2.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:依题意,向量m=(b,a)的不同结果有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0), (4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个,由m·n=-b+2a=0, 得b=2a,则m⊥n的事件有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为P==. √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 3.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},∴共含有12个样本点.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增,①当a=0时,f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;②当a≠0时,需要满足≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1), (2,-1),(2,1),共4种.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是P=. √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 4.某商场对某一商品搞活动,已知该商品每个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析:日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从题中条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.设日销售量为20个的3天分别记为a,b,c,日销售量为21个的2天分别记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B), (c,A),(c,B),(A,B),共10种,其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A,B)1种,所以所求概率为P=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 5.若a∈A且a-1∉A,a+1∉A,则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1,2,3,4,5,6},集合N为集合M的三元子集,则集合N中的元素都是孤立元素的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:集合M={1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6}, {1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6}, {2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5},{1,3,6},{1,4,6},{2,4,6},一共4种.由古典概率模型公式,可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 6.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品, 其中结论正确的是 (　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析:记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.样本空间Ω={(1,2),(1,3), (1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等, “恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,故A正确;每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3), (2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,故B错误; “取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,故C正确; 每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2), (2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 7.(5分)从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的 概率是______.若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是______. 解析:从5个数字中不放回地任取两个数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3), (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,且每个样本点出现的可能性相等.因为都是奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,故所求概率P=.从5个数字中有放回地任取两个数,样本点共有25个,且每个样本点出现的可能性相等,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故概率P=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 8.(5分)从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0,且a≠1),则恰好能使得logab<1的概率是_____________. 解析:用(a,b)表示随机选取的2个不同的数字,则试验的样本空间是Ω={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含25个样本点,记能使得logab<1(a>0,且a≠1)为事件A,则A={(2,1),(3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}, 共包含15个样本点,故所求概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 9.(10分)已知函数f(x)=ax2-bx-1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分别从集合P,Q中随机抽取一个数a和b,构成数对(a,b). (1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)”,求事件A的概率;(5分) 解:由题知a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8},所以数对(a,b)的可能取值为(1,2),(1,4), (1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16对.若函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞),则函数f(x)的对称轴为x==1,即b=2a, 所以满足条件的样本点有(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),共4对,所以事件A的概率为P(A)==. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 (2)记事件B为“方程=2有4个根”,求事件B的概率.(5分) 解:因为a>0,二次函数开口向上,所以方程|f(x)|=2有4个根,即为f(x)=2和f(x)=-2,各有2个根,所以二次函数f(x)=ax2-bx-1的最小值小于-2. 所以<-2,即b2>4a,满足条件的样本点有(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6), (2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11对,所以事件B的概率P(B)=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 10.(15分)某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球,其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元,可抽奖一次. (1)若从中依次不放回地取出2个球,取出的球中有黄球,则送一件价值10元的礼品,求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率;(7分) 解:3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b. 从袋中依次不放回地取出2个球,所包含的样本点为(1,2),(1,3),(2,3),(1,a),(2,a),(3,a), (1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共20个,有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共8个,所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 (2)若从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,当取出的2个球中没有红球时,送一件价值50元的礼品,问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗?(8分) 解:从袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,所包含的样本点为(1,1),(1,2), (1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个, 取出的2个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个, 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%, 所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $