阶段质量评价 第一章 数列 A卷——基本知能盘查-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

阶段质量评价 第一章　数　列 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 A卷——基本知能盘查 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.是数列，，，，…的（　　） A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 √ 解析：由题可知原数列为，，，，…，而=，即为第6项， 故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.在等比数列{an}中，a3=24，a5=6，则a4= （　　） A.12 B.-15 C.±12 D.15 √ 解析：由等比数列的性质，=a3a5=24×6=144，∴a4=±12.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 3.已知{an}为等差数列，a10=10，前10项和S10=70，则a1= （　　） A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析：根据等差数列的求和公式，S10=70==5（a1+10），解得a1=4.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+8=0的两个根，则=（　　） A.2 B.2 C.1 D.-2 √ 解析：由题意可得 所以a1a17==a3a15=8. 因为 所以a3>0，a15>0，所以a9>0， 所以a9=2，所以==2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 5.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2，a5-a3=2，若S2=2，则a9= （　　） A.9 B. C.10 D. 解析：由2an+1=an+an+2可得数列{an}为等差数列，设其公差为d，所以a5-a3=2=2d⇒d=1，由S2=2得S2=2a1+d=2⇒a1=，所以a9=a1+8d=+8=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 6.已知数列{an}满足an+1=an，a1=1，则数列{anan+1}的前10项和为（　　） A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为an+1=an，a1=1，所以（n+1）an+1=nan， 所以数列{nan}是每项均为1的常数列，所以nan=1， 所以an=，anan+1==-.所以数列{anan+1}的前10项和为++…+=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且（+1）Sn=nSn-1+ an（n≥2且n∈N+），若Sk=，则k=（　　） A.49 B.50 C.51 D.52 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：当n≥2时，（+1）Sn=nSn-1+an， 则Sn=（n-1）Sn-1，于是Sn=Sn-1， 即有Sn=Sn-1， 因此数列{Sn}是常数列，Sn=S1=， 即Sn=，由Sk=，得=，而k∈N+，所以k=49. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+an=1 024，则数列{an}的前n项积的最大值为 （　　） A.255 B.245 C.29 D.210 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：依题意，n∈N+，Sn+an=1 024，则a1=512，当n≥2时， Sn-1+an-1=1 024，两式相减得2an=an-1，即an=an-1，因此数列{an}是以512为首项，为公比的等比数列，于是an=512×=210-n，显然数列{an}递减，当n≤10时，an≥1，当n≥11，an<1，所以当n=9或n=10时，数列{an}的前n项积最大，最大值为29×28×27×…×22×2×20=245. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an-an-1-2）（an-2an-1）=0，则下面选项关于数列{an}的命题正确的是（　　） A.{an}可以是等差数列 B.{an}可以是等比数列 C.{an}可以既是等差数列又是等比数列 D.{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为（an-an-1-2）（an-2an-1）=0，所以an-an-1-2=0或an-2an-1=0，即an-an-1=2或an=2an-1，故A、B正确；又因为不能得到非零常数列，故C错误；{an}可以既不是等差数列又不是等比数列，如1，3，5，10，20，40，…，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=0，a6=9，则 （　　） A.an=3n-9 B.an=-3n+3 C.Sn=n2-n D.Sn=n2-n √ √ 解析：由题设，解得 ∴an=-6+3（n-1）=3n-9，Sn=-6n+=n2-n.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+），若a1>0，S4=S12，则 （　　） A.公差d<0 B.a7+a9<0 C.Sn的最大值为S8 D.满足Sn<0的n的最小值为16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为a1>0，S4=S12，则=，即a1+a4=3（a1+a12），则d=-a1<0，故A正确；a7+a9=2a1+14d=-d>0，故B错误；由a7+a9>0，得a8>0，a9=a1+8d=d<0，因为d<0，a1>0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；Sn=n2+n=-n2+n，令Sn<0，解得n>16，所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.（5分）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an=______________________.  ①anan+1<0；②|an|>|an+1|. （答案不唯一） 解析：依题意，{an}是等比数列，设其公比为q，由于①anan+1<0， 所以q<0，由于②|an|>|an+1|=|anq|=|an|·|q|，所以0<|q|<1， 所以an=符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=2，且-an=1+（-1）n（n∈N+），则S100=___________.  2 600 解析：由a1=1，a2=2且an+2-an=1+（-1）n（n∈N+）知， 当n为奇数时，an+2-an=0；当n为偶数时，an+2-an=2.所以前100项中， 奇数项为常数项1，偶数项构成以a2=2为首项，2为公差的等差数列. 所以S100=50×2+×2+50×1=2 600. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.（5分）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分.若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始.某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为_____；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月_______________________日.  25 8（或13，答案不唯一） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：连续打卡的积分规律为第1天得1分， 第2天得3分，第3天得5分，依此类推.这实际上是一个首项为1， 公差为2的等差数列. 前5天的总积分为S5=1+3+5+7+9=25. 若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n-1. 假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为 （1+3+…+2n-1）+[1+3+…+2（20-1-n）-1] =+=193，化简得n2-19n+84=0， 解得n=7或n=12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知等差数列{an}中，a1=9，a4+a7=0. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：设等差数列{an}的公差为d，由a1=9，a4+a7=0， 得a1+3d+a1+6d=0，解得d=-2，an=a1+（n-1）d=9-2（n-1）=11-2n， 所以数列{an}的通项公式an=11-2n（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？（8分） 解：a1=9，d=-2，Sn=9n+×（-2）=-n2+10n=-（n-5）2+25， 所以当n=5时，Sn取得最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S5=25. （1）求数列{an}的通项公式；（7分） 解：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， 由题意，得解得 所以an=1+（n-1）×2=2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）设bn=an+2n-1，求数列{bn}的前n项和Tn.（8分） 解：bn=an+2n-1=2n-1+2n-1， 所以Tn=+=n2+2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.（15分）已知等比数列{an}中，a1+a2=8，a2+a3=24，Sn为数列{an}的前n项和. （1）求数列{an}的通项公式；（6分） 解：设等比数列{an}的公比为q， 则q===3.故a1+a2=a1+3a1=8，解得a1=2. 所以an=a1qn-1=2×3n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）若bn=anlog3（Sn+1），求数列{bn}的前n项和Tn.（9分） 解：由（1）知an=2×3n-1，Sn=3n-1，所以bn=anlog3（Sn+1）= 2×3n-1×log33n=2n×3n-1，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn= 2×30+4×31+6×32+…+2（n-1）×+2n×3n-1，　① 3Tn=2×31+4×32+6×33+…+2（n-1）×3n-1+2n×3n，　② ①-②得-2Tn=2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-1-2n×3n =3n（1-2n）-1.所以Tn=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.（17分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1，an≠0（n∈N+）. （1）求数列{an}的通项公式；（8分） 解：当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1，得a1=，当n≥2时，Sn-1+an-1=1， ∴当n≥2时，Sn-Sn-1+an-an-1=0，∴2an=an-1，又an≠0，∴n≥2时，=，∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴an=×=（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）设bn=log2（1-Sn）（n∈N+），Tn=++…+，求Tn的取值范围.（9分） 解：由（1）知Sn==1-，∴bn=-n，∴= ==-，∴Tn=++…+=++… +=1-，∵当n增大时，Tn也在增大，且n∈N+， ∴当n=1时，Tn取最小值，∴≤Tn<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.（17分）若数列{an}与{bn}都是严格递增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”. （1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn=2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；（3分） 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1∈Z且d∈Z，d>0，由数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，则2<a1<4<a1+d<8<a1+ 2d<16，所以a1=3且4<3+d<8<3+2d<16，即2.5<d<5，所以d=3或d=4， 所以an=3n或an=4n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）若an=2n，{bn}是首项为1，公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值；（4分） 解：设{bn}的公比为t，因为数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，即数列2，4，6，8是数列1，t，t2，t3的“隔数列”， 所以1<2<t<4<6<t2<8<t3或1<2<t<4<t2<6<8<t3，解得<t<2或2<t<， 即<<2或2<<，所以10<m<20或20<m<10， 所以整数m的值为21，22，23，24，25，26，27，28. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围.（10分） 解：因为{Sn}是{an+1}的“隔数列”， 所以{Sn}与{an+1}都是严格递增数列. 由{Sn}是严格增数列，可知Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0对一切正整数恒成立. 又由{an+1}是严格增数列，可知an+2>an+1，即a1qn+1>a1qn对一切正整数n恒成立，所以q>1且a1>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 因为Sn>an对于一切大于等于2的整数恒成立， 所以必有S1<a2<S2<a3<S3<a4<S4<…<an<Sn<an+1<Sn+1<…， 即Sn<an+1对一切正整数n恒成立， 即<a1qn对一切正整数n恒成立， 即2-q<对一切正整数n恒成立，所以2-q≤0，即q≥2，所以q的取值范围为[2，+∞）. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $