第一章数列（单元自测·培优卷）高二数学北师大版选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章·数列·培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版选择性必修第二册第一章数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，，则公差等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 4．已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（    ） A． B． C． D． 5．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 7．已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和，则（   ） A．是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 11．若数列的前n项和为，首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．当n为偶数时， D．数列的前n项和为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是__________，__________. 13．已知数列的前n项和为，且，则________． 14．已知数列满足，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． 15．（13分）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)求的值. 16．（15分）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 17．（15分）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求． 18．（17分）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 19．（17分）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章·数列·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．在等差数列中，，则公差等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 4．已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（    ） A． B． C． D． 5．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 7．已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列的前项和，则（   ） A．是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 11．若数列的前n项和为，首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．当n为偶数时， D．数列的前n项和为，则 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是__________，__________. 13．已知数列的前n项和为，且，则________． 14．已知数列满足，，则________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15． (13分)在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)求的值. 16．(15分)记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 17．(15分)已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求． 18．(17分)若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 19．(17分)在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章·数列·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．在等差数列中，，则公差等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用等差数列通项公式和求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以可得，解得. 2．在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，可得， . 3．已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，则，与题设条件不符，所以； 当时，所以，即， 所以. 4．已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由叠加法求出数列通项公式，再代入，求出数列通项公式，再由列项相消法求出. 【详解】由得，，，…，，， 叠加得， 由题可知也适合上式，故； 所以， 则数列前n项的和. 故选：B. 5．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 6．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 7．已知正项数列满足，，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，即， 所以，则当时，， 因为，所以， 所以， 则数列的前10项和． 8．已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对递推式取倒数累加求通项,再裂项相消求前 项和并确定其上界,接着转化为关于 的一次函数恒成立问题,最后利用区间端点列不等式组,求解得出实数 的取值范围。 【详解】由，两边同除以得， 当 时,得 , 累加得 , 可得 ,则 , 前项和， 因此，因为对于任意的，不等式恒成立. 所以对任意恒成立， 令，，由一次函数端点值条件可知 即，解得或. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列的前项和，则（   ） A．是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【详解】由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，，因为， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则，所以当时，，当时，， 故，故D错误. 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 【答案】ACD 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 11．若数列的前n项和为，首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．当n为偶数时， D．数列的前n项和为，则 【答案】AC 【分析】由条件求出，即可判断A；由条件证明是等比数列，进而求出数列的通项公式，即可判断B，C；利用分组求和，错位相减求和及并项求和求出，进而求出，即可判断D. 【详解】因为 ，故A正确； 由，可得， 即.又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 所以当n为偶数时，，故B错误，C正确； 由上可得. 令数列的前项和为，则， 即①， 两边同时乘以3可得②， 用①的两边减去②的两边可得 ，所以. 令数列的前项和为，则. 所以 所以 ，故D错误. 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是__________，__________. 【答案】 （答案不唯一,只需满足即可） 【详解】根据等差数列通项公式，. 根据等差数列前项和公式，. 由，得方程：. 整理得：，即. 令，则. 故一组取值为，. 13．已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【详解】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 14．已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】构造数列，根据递推关系，可得，利用等比数列通项公式求出，分组求和即可得解. 【详解】因为， 所以， 令，则， 所以， 则， 所以，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15． (13分)在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用等差中项的性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）设，，，， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即， 而满足上式，故， ， 则. 16．(15分)记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）由（1）求出，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 而，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，令， 则，， 两式相减得， 因此，所以. 17．(15分)已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列和与项的关系求得，进而求得； （2）根据等比数列的前项公式可得关于的方程，求解可得. 【详解】（1）当时，， 由， 可得当时，， 两式作差，得，所以． 又满足上式，所以． （2）由（1）知， 因为，所以数列是等比数列. 所以是首项为，公比为3的等比数列． 所以， 所以 所以． 18．(17分)若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 19．(17分)在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章·数列·培优卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 题号 3 4 5 6 8 答案 B B C 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题月要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. -2 1(答案不唯一，只需满足a,=-2d即可) 13. 75 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【详解】(1)设bn=am+1-an,b=a2-a1=a2-6,b2=20-a2，b=10, 因为{a1-a}是等差数列，即{bn}是等差数列， 则有b+b=2b2,即a2-6+10=220-a2,解得a2=12 (5分) (2)由(1)知，b=6,b2=8,则{bn}的公差为2，首项为6， 则bn=6+(n-1×2=2n+4,即am+1-an=2n+4, 当n22时，an-an-1=2n+2,am-1-am-2=2n,,a2-a1=6 将各式相加，得an-a1=2n+2+2n+…+6, 1/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即0.-6-2n+2+6m-1=2+3n-4.即0，=n2+3n+2. 2 而a,=6满足上式，故a,=n2+3n+2, 1 1 1 11 amn2+3n+2(n+1)(n+2)n+1n+2’ 11 (8分) aa, 16.(15分) 【详解】(1)数列a,的前项和S,=”,当≥2时，a,=S.-31=+n_-+a-=n, 2 2 而a,=S,=1,满足上式，所以数列an}的通项公式为an=n. (6分) n (2)由（1)得b.=2,令T,=6+b,++b., 2, 两式相碱得。=1 11 1 n 11 2+2+…+ 1 202-+2 2”, 2 因此工=4-+2<4，所以6+么++6<4 2m- (9分) 17.(15分)》 【详解】(1)当n=1时，a1=3, 1 1 1 由4+30，+374+…+ 30,=3n, 可得当a22时，4+分0+4++ 11 3-a-=3(n-1), 1 两式作差，得3一4，=3，所以a,=3”,n≥2 又a1=3满足上式，所以a,=3”. (6分) (2)由(1)知an=3", 因为1=31 a。=3”-3,所以数列{a,是等比数列 所以ak,ak1,…,ak+1o是首项为a4=3,公比为3的等比数列. 3*1-3)3*3-1 所以a+a1++a+0=1-32 2/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以3-3”3”3"-33"- 2 2 2 所以k=10. (9分) 18.(17分) 【详解】(1)因为(n+a,=na+1,故=g-1 -1+1 n+l n n(n+l)n nn+1' 故-1=4-上，所以8-}为常数列， n+l n+l nn nn 而a,=3,故9-2，故9=2即a,=2n+1 >11 nn 故b1-b2=2n+1,所以b2-b=2n-1, 由累加法可得b-b2=3+5+…+2n-1,而b=1, 故b=1+3+5+…+2n-1=n2,而bn>0,故bn=n (5分) (2)Sn=(-1刂'4，+(-02a2+…+(-1)”a.=(-l'×3+(-1)2×5+…+(-l)×2n+1. 当为偶数时，S=-3+5列+(-7+9)+…+[-(2n-1+(2n+]=x2=(-”(n+1-1 当n为奇数时，Sn=S1-(-)a1=n+1-(-1)(2n+3)=(-1)”(n+1)-1 故Sn=(-1)“(n+1-1 (5分) (3)当n为奇数时，c,=(2n+1刂2，当n为偶数时，c,=221, 而T2n=C1+C2+…+C2n=C+C3+…+C2m-1+C2+C4+…+C2m, 令A=C1+C3+…+C2m-1,B=C2+C4+…+C2n, 则A=3×2+7×2+…+(4n-1)22m-, 故4A=3×23+7×23+…+4n-122m+1, 故-3A=3×2+4×23+…+4×22m-1-(4n-122m =6 4x21-4）-4n-2-7=12×2…-4 1-4 3 3 故A=12n-7x21+14 9 9 而B=2×23+4×2°+…+2n×2n,则16B=2×2°+4×23+…+2n×24m+5, 315 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故-15B=2×25+2×29+…+2×24n1-2n×24m+5= 2×2(1-16") -2n×24n+5, 1-16 故B=960n-64 225 16”+64 225 故Tn= 960n-64 225 16+12-7 46 ×22m1++ 9 (7分) 5 19.(17分) 【详解】(1){an}是“1-2组差数列”，理由如下： 由an=n,得a,=1, 当k=1时，an+am+1=n+n+1=2n+1,则am+1+an+2=2n+1+1=2n+3, 所以a+1+an+2-(a,+a41=2, 则数列{a,+a+}是以2为公差的等差数列，且2>0， 故{a,}是“1-2组差数列 (5分) (2)因为{an}是“5-18组差数列， 所以数列a。+a+1+…+a+}是以18为公差的等差数列， 则a1+an+2+…+an+6-0n+a+1+…+an+5=a+6-a,=18, 又an-an+5为定值，所以可设an-an5=d。,则an1-an+6=d。, 所以an+1-a+6+a+6-an=a+1-an=d+18, 所以数列{，是等差数列，且公差为一18 =3, n+6-n 则a,=1+(n-1)×3=3n-2, 设1=29=+4+ 3n-2 2227+…+ 2 1,4,3n-2 2+2+…+ 3n-21 +3× 3n-2-2-3n+4, ”2 2 1 20+1 2n+ 1- 2 所以7=4<4即2号4 (6分) 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)因为{an}为“k-d组差数列”， 所以数列a,+a1+…+a4t}是以d(d>0)为公差的等差数列， 则a1+a+2+…+a+k1-(a,+al+…+a+t)=a+k1-an=d, 令P=k+1,则an+p-an=d, 对于任意正整数n,均存在非负整数9和整数r(1≤r≤P),使得n=qP+r, 此时an=a,+qd, 设a1,a2,…,ap这P项中的最小值为B, 因为n=9P+r≤(9+1P,所以g≥”-1， 从而a,≥B+--+B-d, n2-Cn (6分) 5/5