第一章 专题微课 构造法求数列通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

专题微课　构造法求数列通项公式 数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题，其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题，通过数列的性质规律求解. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　形如an+1=pan+q的递推 关系求通项公式 题型（二）　形如an=p+pn的递 推关系求通项公式 题型(三)　形如an+1=（A，B， C为常数）的递推关系求通项公式 4 课时跟踪检测 题型（一）　形如an+1=pan+q 的递推关系求通项公式 01 [例1]　已知数列{an}满足a1=，an+1=（an+1），求通项公式an. 解：∵an+1=an+，∴an+1-1=（an-1）.又a1-1=-. ∴数列{an-1}是首项为-，公比为的等比数列.∴an-1=-×， ∴an=1-×. 　　|思|维|建|模| 　　形如=pan+q（其中p，q为常数，且pq（p-1）≠0）可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： （1）假设递推公式可改写为+t=p（an+t）. （2）由待定系数法，解得t=. （3）写出数列的通项公式. （4）写出数列{an}的通项公式. 针对训练 1.已知数列{an}满足=2an+2，且a1=1，则（　　） A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 √ 解析：由=2an+2，可得+2=2（an+2），所以=2. 又由a1=1，得a1+2=3，所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列. 所以an+2=3×，an=3×-2，=3×2n-2，-an=3× 2n-2-（3×-2）=3×，所以{an}不是等差数列；=不等于常数，所以{an}不是等比数列；=不等于常数，所以{an+1}不是等比数列. 2.已知数列{an}满足a1=1，=2an+1，求{an}的通项公式. 解：∵=2an+1，令+t=2（an+t），即=2an+t， ∴t=1，即+1=2（an+1）， ∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴an+1=2×=2n，∴an=2n-1. 题型（二） 形如an=p+pn 的递推关系求通项公式 02 [例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解：因为an=2an-1+2n（n≥2），等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1，又=，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即=+（n-1）×1，所以an=×2n. 　　[变式拓展] 　本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 解：等式两边同时除以2n，得=+2，即-=2，又=， 所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以=+（n-1）×2，即an=×2n. 　　|思|维|建|模| 　　形如an=pan-1+pn（p≠0且p≠1）的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. 第二步：写出数列的通项公式. 第三步：写出数列{an}的通项公式. 针对训练 3.已知数列{an}满足=+，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解：由题意，等式两边同乘2n，得=+1， 即-=1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以=2+（n-1）×1=n+1，即an=. 4.已知数列{an}中，a1=3，an+1=3an+2×3n+1，n∈N+，求数列{an}的通项公式. 解：由an+1=3an+2×3n+1，得=+2，∴-=2，又=1， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴=2n-1，得an=（2n-1）·3n. 题型(三)　形如an+1= （A，B，C为常数）的递推 关系求通项公式 03 [例3]　已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N+），则数列{an}的通项公式an=_________.  解析：因为an+1=，a1=1，所以an≠0，所以=+，即-=.又a1=1，则=1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以=+（n-1）×=+.所以an=. 　　|思|维|建|模| 　　形如an+1=（A，B，C为常数且A≠0）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 针对训练 5.[多选]已知数列{an}满足a1=1，=（n∈N+），则下列结论正确的有（　　） A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 √ √ √ 解析：因为an+1=（n∈N+），得=+3，可转化为+3=2，所以是以+3=4为首项，2为公比的等比数列，故+3=4·2n-1=2n+1，所以=2n+1-3，所以an=.易知{an}为递减数列，故A、B正确，C错误.的前n项和Tn= -3n=2n+2-3n-4，故D正确. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若数列{an}满足an=4an-1+3（n≥2）且a1=0，则此数列第5项是 （　　） A.15 B.255 C.16 D.63 √ 解析：∵an=4an-1+3（n≥2），∴an+1=4（an-1+1）（n≥2），∴{an+1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1，∴a5=44-1=255.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.在数列{an}中，a1=2，an+1=（n∈N+），则a20=（　　） A. B. C. D. √ 解析：因为an+1=，则==+1，又=，故是首项为，公差为1的等差数列.=+n-1=n-，an=，a20=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1=an+2+1，则a5+S4=（　　） A.39 B.45 C.50 D.55 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：∵an+1=an+2+1，∴an+1+1=，∴=+1，即-=1， ∴数列{}是公差为1，首项为=1的等差数列， ∴=n，an=n2-1.a1=0，a2=3，a3=8，a4=15，a5=24，S4=0+3+8+15=26，∴a5+S4=24+26=50. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知数列{an}满足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，则s+t的最大值为（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由an+1=10可得an>0，则lg an+1=lg（10）=2lg an+1， 故lg an+1+1=2（lg an+1），又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2， 公比为2的等比数列，则lg an+1=2n，故an=1.由as·at=a10， 得1·1=1=1，故2s+2t=210，则210≥2 =2=，故+1≤10，解得0<s+t≤18，当且仅当s=t=9时取等号，故s+t的最大值为18.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.（5分）若正项数列{an}满足a1=2，=4+4an+1，则数列{an}的通项公式是______________.  an=3×2n-1-1 解析：在正项数列{an}中，=4+4an+1=（2an+1）2，则有an+1=2an+1，于是得an+1+1=2（an+1），而a1+1=3，因此数列{an+1}是首项为3，公比为2的等比数列，则有an+1=3×2n-1，即an=3×2n-1-1，所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.（5分）在数列{an}中，a1=1，且an+1=an+3n+1，则通项公式an=_____________.  n2- 解析：∵an+1=an+3n+1，∴an+1-（n+1）2+=an-n2+， ∴数列为常数列，又a1=1，则a1-+=0， ∴an=n2-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.（5分）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N），则an=__________.  n·2n-1 解析：由题设，=+（n≥2），即-=（n≥2），而=，∴是首项、公差均为的等差数列，即=+（n-1）=，∴an=n·2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.（5分）已知数列{an}满足a1=1，3an+1an=an-an+1，则通项公式an=_________.  解析：∵3an+1an=an-an+1，∴-=3，且=1， ∴是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴=1+（n-1）·3=3n-2，∴an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.（5分）已知数列{an}的首项是a1=1，且an+1=，则数列{an}的通项公式为________.  an= 解析：由an+1=，即（n+1）an+1=nan， 故数列{nan}为常数列， a1=1，即nan=1，an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的n∈N+，都有=3an+1-2an，则数列{an}的通项公式为________.  an=2n-1 解析：由=3an+1-2an，得-an+1=2（an+1-an）. 又a1=1，a2=3，所以a2-a1=2≠0，所以{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1-an=2n，所以an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n-1=2n-1，n≥2，因为a1=1符合上式，所以an=2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.（10分）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，3Sn=an+1-+2（n∈N+）. （1） n∈N+时，写出an+1与an之间的递推关系；（6分） 解：因为3Sn=an+1-2n+2+2　①，所以当n≥2时，3Sn-1=an-2n+1+2　②， ①-②得3an=an+1-an-2n+1（n≥2），即an+1=4an+2n+1（n≥2）， 在①中，令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22，也符合上式，所以an+1=4an+2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）求{an}的通项公式.（4分） 解：因为an+1=4an+2n+1，则an+1+2n+1=4（an+2n）， 且a1+2=4≠0，所以数列{an+2n}是以4为首项， 4为公比的等比数列，所以an+2n=4n，故an=4n-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3，n∈N+. （1）求S9的值；（5分） 解：因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3，所以Sn+2+Sn+1=2（n+1）2+6（n+1）+3. 两式相减，得an+2+an+1=4（n+2），n∈N+.所以S9=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a8+a9）=3+4[（1+2）+（3+2）+…+（7+2）] =3+4×=99. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）求数列{an}的通项公式.（10分） 解：由（1）知an+2+an+1=4（n+2）①，可得an+an+1=4（n+1）②，n≥2.因为a1=3，S2+S1=11，所以a2=5，又S3+S2=23=2a1+2a2+a3， 所以a3=7.又由①②得an+2-an=4，n≥2.所以a2n=a2+4（n-1）=4n+1， 即an=2n+1，n为偶数，则当n≥3，且为奇数时，an=4（n+1）-an+1 =4（n+1）-[2（n+1）+1]=2n+1，又a1=3，a3=7符合上式，综上得an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.（15分）在数列{an}中， a1=4且 an+1=，求数列{an}的通项公式. 解：由an+1=两边减去1得， an+1-1=-1=， 两边取倒数得，===+·， 两边同加得，+=+·=·， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 由a1=4，则+=≠0，所以有=， 故是以为首项，为公比的等比数列. 所以+=·，故an-1=，解得an=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $