2.2.2 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义，涵盖切线定义、导函数概念及切线方程求解，通过割线到切线的动态过程导入，衔接导数定义，为判断图象变化、求切线方程等应用搭建学习支架。 其亮点是习题讲评式教学，通过题型分类（如判断图象、求切线、参数问题）和思维建模（如总结求切线方程的两种情形），培养数学眼光（观察图象变化）和数学思维（逻辑推理推导斜率）。例题与变式结合，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

2.2 导数的几何意义 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义，会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1.曲线的切线定义 设函数y=f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上 可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线； 当Δx趋于0时，点B将________________________，割线 AB将绕_________________.称直线l为曲线y=f（x）在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f（x）在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f（x）在x0处的导数f'（x0）. 沿着曲线y=f（x）趋于点A 点A转动趋于直线l 2.导数的几何意义 函数y=f（x）在x0处的导数__________，是曲线y=f（x）在点（x0， f（x0））处的切线的斜率.相应的切线方程为________________________.函数y=f（x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'（x0） y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 题型(二)　导数的几何意义的应用 课时跟踪检测 题型(一)　利用导数的几何意义 判断函数的图象变化 01 [例1]　若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y= f（x）在区间[a，b]内的图象可能是 （　　） √ 解析：函数y=f（x）的导函数y=f'（x）在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f（x）在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| （1）曲线f（x）在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画. f'（x0）>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'（x0）<0说明在x=x0附近曲线是下降的. （2）曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 针对训练 1.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 （　　） A.0<f'（2）<f'（3）<f（3）-f（2） B.0<f'（2）<f（3）-f（2）<f'（3） C.0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2） D.0<f（3）-f（2）<f'（2）<f'（3） √ 解析：kAB==f（3）-f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）. 题型(二)　导数的几何意义的应用 02 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P（2，4）处的切线方程. 解：∵P（2，4）在曲线y=x3+上，∴曲线在点P（2，4）处切线的斜率为k= = =4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A， 则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=（x-x0）， 即y=x-+.∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0，∴（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0， ∴（x0+1）（x0-2）2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为（x0，y0），由变式拓展1可知切线的斜率为k=， 即=1，x0=±1， ∴切点为或（-1，1）， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0. 　　|思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 （1）如果所给点P（x0，y0）是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f（x）在点x0处的导数f'（x0），即得切线的斜率k=f'（x0），再根据点斜式得出切线方程. （2）如果所给点P不是切点，应先设出切点M（x0，y0），再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　（1）已知曲线f（x）=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=（　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：f'（1）= ==[（Δx）2+3Δx+3+a]=3+a. 又曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直， ∴f'（1）·=（3+a）·=-1， 解得a=1. （2）已知f（x）=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为__________.  解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy=[2（x0+Δx）2+1]-（2+1）=4x0·Δx+2（Δx）2，∴=4x0+2Δx，∴f'（x0）==4x0.又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=.∴y0=2×+1=， ∴切点坐标为. 　　|思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 针对训练 2.直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为_______，切点坐标为______________.  　 解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0）， 因为y'==3x2-2x， 则y'=3-2x0=1，解得x0=1或x0=-.当x0=1时，y0=-+1=1. 又因为（x0，y0）在直线y=x+a上，将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=， 则切点坐标为， 将代入直线y=x+a中得a=. 3.求函数f（x）=x2+1过点P（1，0）的切线方程. 解：设切点为Q（a，a2+1），= =2a+Δx，=（2a+Δx）=2a. 所以所求切线的斜率为2a.因此，=2a，解得a=1±，所求的切线方程为（2+2）x-y-（2+2）=0或（2-2）x-y-（2-2）=0. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数f（x）在x=x0处导数f'（x0）的几何意义是 （　　） A.在点x=x0处的斜率 B.在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率 D.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）） 处的切线的斜率 √ 解析：f'（x0）的几何意义是在切点（x0，f（x0））处的切线斜率.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数f（x）满足f'（x1）>0，f'（x2）<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f（x）的图象大致是 （　　） √ 解析：由f'（x1）>0，f'（x2）<0可知，f（x）的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.曲线y=f（x）=-在点M（1，-2）处的切线方程为（　　） A.y=-2x+4 B.y=-2x-4 C.y=2x-4 D.y=2x+4 √ 解析：因为==，所以当Δx→0时，f'（1）=2，即切线的斜率k=2.所以切线方程为y+2=2（x-1），即y=2x-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为（　　） A.30° B.45° C.135° D.60° √ 解析：∵==1， ∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f'（4）等于 （　　） A. B.3 C.4 D.5 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y=f（x）在x=4处的切线的斜率k，k==，所以f'（4）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.正弦曲线y=sin x上点处的切线与y=sin x的图象的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.无数个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意设y=f（x）=sin x， 则f'= =，当Δx→0时，cos Δx→1， 则f'=0，曲线y=sin x的切线方程为y=1， 且与y=sin x的图象有无数个交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示， 设=a，则下列不等式正确的是（　　） A.a<f'（2）<f'（4） B.f'（2）<a<f'（4） C.f'（4）<f'（2）<a D.f'（2）<f'（4）<a √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题图可知，在[2，4]上，函数增长的越来 越快，故函数图象的切线斜率越来越大，而（2， f（2）），（4，f（4））两点连线的斜率为 ，其大小在点（2，f（2））处的切线斜率f'（2） 与点（4，f（4））处的切线斜率f'（4）之间，所以f'（2）<a<f'（4）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（　　） A.（-∞，-1） B.（-1，1） C.（-∞，1） D.（1，+∞） √ 解析：y=x+上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率k=y' ===1-<1.即k<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）已知函数y=f（x）在点（2，1）处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=___________. 解析：因为直线3x-y-2=0的斜率为3， 所以由导数的几何意义可知y'=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=___________.  2 解析：∵f'（1）=2，又 ==（aΔx+2a）=2a， ∴2a=2，∴a=1.又f（1）=a+b=3，∴b=2，∴=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为__________.  解析：由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f（x）=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'（x）==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围是_________.  解析：∵f ' （x）= ==（Δx+2x+2）=2x+2，∴可设点P的横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得0≤2x0+2≤1，∴-1≤x0≤-，即点P的横坐标的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），Q（2，-1），且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解：∵曲线y=ax2+bx+c过点P（1，1），∴a+b+c=1.① ∵y'== ==（2ax+b+aΔx）=2ax+b， ∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1.② 又曲线过Q（2，-1）点，∴4a+2b+c=-1，③ 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）试求过点P（3，5）且与曲线y=x2相切的直线方程. 解：设所求切线的切点为A（x0，y0）， 则f'（x0）===2x0. ∵点A在曲线y=x2上，∴y0=，又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率k=2x0， ∵所求切线过P（3，5）和A（x0，y0）两点，∴其斜率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴2x0=，解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）. 当切点为（1，1）时，切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为（5，25）时，切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2（x-1）和y-25=10（x-5），即y=2x-1和y=10x-25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）已知曲线y=x2+1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵==2x+Δx，∴y'==（2x+Δx）=2x.设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k=y'=2x0，由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0（x-x0）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又∵切线过点（1，a），且y0=+1， ∴a-（+1）=2x0（1-x0），即-2x0+a-1=0. ∵切线有两条，∴Δ=（-2）2-4（a-1）>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（-∞，2）.   本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $