第2章 2.1 导数的概念&2.2 导数的几何意义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 课程标准 素养解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义。 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养. 2.会求导数及理解导数的实际意义. 2.通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心 3.掌握利用导数求切线方程的方法. 素养 课前。预习学案 [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：平均变化率和瞬时 变化率.在解决问题时，采用了由“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法.下面我们用上述思想方法 x+△xx 研究更一般的问题， 2.切线的定义 [知识梳理] 当△x趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点 [知识点一]函数f(x)在x=x,处的导数 A,割线AB将绕点A转动趋于直线1.称直线l为 1.函数f(x)在x=x处的导数 曲线y=f(x)在点A处的切线，或称直线I和曲线 设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x1时，函数 y=f(x)在点A处相切. 值y从f(x)变到f(x1),函数值y关于x的平均 3.导数的几何意义 变化率为Ay=fx)-f(x) 函数y=f(x)在x处的导数f(x,),是曲线y= △x x1-X0 f(x)在点(x。,f(x,)处的切线的斜率. =f(2十△)-f() 2思考 曲线的切线与曲线一定只有一个公共 △x 点吗？ 当x1趋于xo,即△x趋于0时，如果平均变化率趋 于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在 点x。的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函 数y=f(x)在点。处的导数.通常用符号f(xo) 表示，记作f(x,)=1imf）-f(x) -Eo [预习自测] =lim f(xn+△x)-f(x) 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 △x △=0 “X”) [知识点二]导数的几何意义 (1)函数y=f(.x)在x=x。处的导数值与△x值的 1.割线的定义 正、负无关 ( 设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，且函数 (2)函数在x。处的导数f'(xn)与x。和△x都 y一)在区间[十△]的平均变化率为会之. 有关. () (3)f(x,)是函数y=f(x)在x=2,附近的平均变 如图，它是经过A(xo,f(x)和B(x。十△x,f(x0 化率. 十△x)两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y (4)函数f(x)=0没有导函数， f(x)在点A处的一条割线. (5)f(x)与[f(xm)]'表示的意义相同. ) ·44· 第二章导数及其应用 五维课堂 (6)若f(x,)=0,则曲线y=f(x)在点(x。,f(x) A.f()>f(n) B.f()<f(n) 处的切线不存在。 C.f(A)=f(xB) D.不能确定 2.已知y=f(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(2) 3.若曲线y=f(x)在点(x,f()处的切线方程为 的大小关系是 2x-y十1=0，则 A.f()>0 B.f'()<0 C.f'(xo)=0 D.f'(xn)不存在 4.由导数的定义可求得，函数f(x)=x2一2x在x=1 处的导数f'(1)= 课堂。互动学案 题型一 求函数在一点处的导数 题型二 导数的实际意义 [例1] (1)若1im (xn+△x)-f(x。) 二k, [例2]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 Az △z 产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh 则lim f(x+2△.x)-f(x) 等于 时，原油的温度（单位：℃）为y=f(x)=x2一7x十 △*0 15(0≤x≤8).计算第2h和第6h时，原油温度的 A.2k B.k 瞬时变化率，并说明它们的意义. D.以上都不是 (2)函数y=√元在x=1处的导数是 (3)求函数f(x)=2x2十4x在x=3处的导数. 规律方法 要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正 规律方法 确计算△y和△x,并知道它们的实际意义，再看 利用导数定义求导数的三步曲 ，当△0时，会趋于定值的实际意义. △x (1)求函数的增量△y=f(x,十△x)一f(x,) ◇[变式训练] (2)求平均变化率Ay =fx十△x)-f(x) △.x △x 3.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)= 3)求按限.得导数f红，)=m会之 架+15，其中T)为休温（单位：℃）为太阳落 简记为：一差，二比，三趋近 山后的时间（单位：min) ◇[变式训练] (1)从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温下降 了多少？ 1.已知f(1)=一2，则1im f1-2△x)-f1D △x (2)从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温的平均变 化率是多少？它表示什么意义？ 2.求函数f(x)=1在x=1处的导数. (3)求T(5),并说明它的实际意义. x ·45· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型三利用亭数的九何意义求曲线的切线方程 [当堂达标] [例3]已知曲线f(x)=x, 1.若f(x)=x3,f'(x)=3,则x的值为() (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； A.3 B.±1 (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. C.±√3 D.3√5 2.若曲线y=f(x)上在点(1,3)处的切线过点(0,2)， 则有 () A.f'(1)>0 B.f(1)=0 C.f'(1)<0 D.f'(1)不存在 3.(多选)若f(x)=x3十x一1，f(x。)=4,则x,的 值为 () A.1 B.-1 C.3√3 D.-3√3 4.设函数f(x)在x=1处存在导数，其值为2， 则1imf1十△)-f1) 凸一* 3△x 5.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度 会逐渐下降.温度T(单位：℃)与时间t(单位：min) 间的关系，由函数T=f(t)给出.请问： 规律方法 (1)f(t)的符号是什么？为什么？ 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (2)f(3)=一4的实际意义是什么？ (1)若已知点(x,y)在已知曲线上，求在点(， y。)处的切线方程，先求出函数y=f(x)在点 x。处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得 切线方程y-y=f(x,)(x一x,). (2)若点(20，y)不在曲线上，求过点(，y)的切 线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数 的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求 出切线方程. ◇[变式训练] 4.求过点（一1,0）与曲线y=x2+x十1相切的直线 方程. ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·46·[例13]解析：根据题意可得，A,十B,=3,A,=子A1十 A,=A,1+子3-A1)=A1+是， 数列， 1 31 1 31 1 1 B,=3-A,=220心A,-B,=2X2=2（n∈ N+). 答案品 第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.改变量△x改变量△y函数值自变量 2.快慢 [思考] [提示]不一定.当x0取定值，△x取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当△x取定值，取不同的数值时， 函数的平均变化率也不一定 预习自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2B是-）@-2x2+》9X1+D-2] b-a 2-1 3A[因为△=3+)-s(3)=6心十(y3,所以是=6 +△t.] 4.解析：△y=f(2十△x)-f(2)=3(2+Ax)+1-(3×2+1)= 3△r,则义=3A=3当△x趋于0时，义趋于3. '△x△x A 答案：3 课堂互动学案 [例]解：当自变量从x0变化到x0十△x时，函数的平均变化 率为 Ay f(to+Ar)-f(ro) △x △r _[2(+4x)2+3]-(2x8+3) △x =46△+2（△x)2 =4x0+2△x. △x 当。=2，A=一号时，年均变化率的值为4X2+2X （)= 变式训练 1D会=21+2X-4计2A.这D △x ·9 参考答案 [例2][解]s1(t)=2(to),(t0一△t)>2(t一)， 故1）-。-A)2)-2(-△) △ △t 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示 的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快， 变式训练 2,ABD[在0到t0范国内，甲，乙的平均速度都为，故A,B 错误：在0到1范国内，甲的平均速度为2二0，乙的平均速 t1-to 度为二因为一>1一01一0>0，所以2> t1-to ti一to 1一0，故C正确，D错误.] t-to [例3][解](1)质点P在[1,1十△]这段时间内的平均速 度为 -8-31+△)2-8+3X1=-6-3Y(m/s. At △t (2)由1D知念=-6-34，当△趋于0时，是趋于-6， △t 所以质点P在t=1时的瞬时速度为-6m/s. 变式训练 3.解：△y=f(1+△x)-f(1) =3(1+△x)2+(1+△x)-(3+1) =7△x+3(△x)2. :.Ay=7△r+3(A)2=7+3A △x △x 当4x趋于0时会2-7+3ax趋于7+3X0=7. .函数y=3.x2十x在点x=1处的瞬时变化率为7. 当堂达标 1.B[年均变化奉为}=-1] 2.C[由平均变化率的概念知C正确.] 3.D会是-f)fB x2一x1 AC=tan∠BAC=kAB.] 4.解析：△y=[2(x0十△x)2+1]-(2x8+1)=4xo△x十 2(△r)2,是=4)十2A,当△r趋于0时，趋于4 =-8.x0=一2.点M的坐标为(-2,9) 答案：(-2,9) §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可 以有多个，甚至可以无穷多，与曲线只有一个公共点的直 线也不一定是曲线的切线. 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 2.B[由导数的几何意义，f(xA),f(xB)分别是切线在点 A、B处切线的斜率，由图像可知f(xA)<f(xB).] 数学(BS)·选择性必修第二册 3.A[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处 的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以f(x0) >0.] 4.解析：A义=f1+△x)-f1 △x △x =1+△x)2-2(1+△x)+1 △x 当ar趋于0时，超于0f'(1)=1=0. 答案：0 课堂互动学案 [例1](1)[解析]i f(x0十2△x)-fxo） △x 2 lim m+2△）-fw）=21mfm+△)-fw） 2△x △x =2k. [答案]A (2)[解析]· a=1+-1-1 △x 1 √/I+△x+1 当△龙于0时，四含器=号 函发y后在1处的号教为日， [答案] (3)[解]，fx)=2x2+4x, .△y=f(3+△x)-f3) =2(3+△x)2+4(3+△x)-(2×32+4X3) =12△x+2(△x)2+4△x=2(△x)2+16Ax. -21@=24+6 △x 当△r趋于0时，m会=16f(8)=16 变式训练 1解析：：f(1)=-2,1mf-2A)二f △x f(1-2△x)-f(1) lim =-2mf0-2》f0=-2f -2△x (1)=-2×(-2)=4. 答案：4 2.解：：△y=f(1+△x)-f(1)=- -1= √I+△x 1-√1十△z -△.x √1+Ax √1+Ax(1+√1+Ar .Av_ 1 △x √1+△x(1+√I+△x)1 当△x无限趋近于0时，1十△x无限趋近于1， :义无限趋近于一2， 1 △x :f1)=-2 1 ·9 [例2][解]在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率 就是f②和f0.根据号数的定又，会能-2+2 △x =2+△)2-7(2+△x)+15-(2-7×2+15) △x =4Ax+(△2-7△x=Ar-3, △x 当△x趋于0时，A趋于-3.f(2)=一3. △x 同理可得f(6)=5. 所以在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 一3和5，它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h 的速度下降；在第6b附近，原油温度大约以5℃/h的速 度上升，f(x0)反映了原油温度在时刻x。附近的变化 情况. 变式训练 3.解：(1)在t=0min和t=10min时，蜥蜴的体温分别为 T0)=器+15=39，T10=02+15=28:故从 0min到t=10min,蜥蜴的体温下降了39一23=16℃. (2)平均变化率为T10)_T0)=-16=-1.6, 10 10 它表示从t=0min到t=l0min,蜥蜴的体温平均每分钟 下降1.6℃. (3)T(5)= 西+5器 120 -12 △t =lim10+△t =-1.2 它表示t=5min时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min. [例3][解] (1)设切点为(0,0)，： △x (xo十△)2-x6_6+2x△x+(△x)2-2x6 △x △x =2x0十△x, 当△x→0时，y趋于20f(0)=20. △x f(1)=2..曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)=x2上，设切点为(x0y0), 由(1)知，f(x0)=2.x0, .切线方程为y-y0=2x0（x一x0). 由点P(3,5)在所求直线上，得5-0=2xo(3-x0),① 再由A(xyo)在曲线y=x2上，得y0=x8,② 联立①和②得x号-6.x0十5=0，x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25) 当切，点为(1,1)时，切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线 方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2=2x0=10,此时切 线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0. 综上，过点P(3,5)的切线方程为2.x-y-1=0或10x-y -25=0. 变式训练 4解：设切点为(0，号十。十1)，：之 (w+△x)2+(xo+△x)+1-(6+x0+1D=△x十2x0 △x +1. 当△x→0时，义趋于2x。十1，则切线的斜率为2十1. △x 又k=6+o+1)-0-8+x0+1 x0-(-1) xo+1 小2+1=+0十1 xo十1 解得x0=0或x0=-2. 当x0=0时，切线斜率k=1,过（一1,0）的切线方程为y -0=x+1,即x-y+1=0. 当x0=一2时，切线斜率k=一3，过（一1,0）的切线方程 为y-0=-3(x十1)，即3.x十y十3=0. 故所求切线方程为x-y十1=0或3.x十y十3=0. 当堂达标 1.B[-十a2f_+--a +3x0△x+3.x6, 当△r趋于0时，义趋于3，.f'(o)=3r8=3,r0 △x =±1.] 2.A[由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k=f'(1)= 3-2=1>0.] 1-0 3.AB [: = f(xo十△x)-f(xo) △x (x0十△x)3+(x0十△x)-1-(x8+x0-1) △x =3x8+1 十3a。·Ar十(ar),当4r趋于0时，趋于3z6+ 1,f'(x0)=3.x8+1=4.解得x0=士1.] 4.解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 m0+A四-专m0+a》①=子×f △ 3△x 3 △x 答案：3 2 5.解析：(1)f(t)是负数.因为f(t)表示温度随时间的变化 率，而温度是逐渐下降的，所以f(t)为负数. (2)f(3)=-4表明在3min附近时，温度约以4℃/min 的速度下降.§3导数的计算 课前预习学案 知识梳理 知识点一，lim十△x)-f) Ar [思考] 1.[提示]f(x0)是一个确定的数，而f'(x)是一个函数. 知识点二0ar1 a'la e xna立 1 cos x -sin x 1 cos2r ·9 参考答案 [思考] 2.[提示]说明常数函数y=c图像上每一点处的切线的斜率 都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× 2.ABC &c[)=cs-竖故fo=a 4.解析：(x3Y=3x2,若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k= 0,即3x2=0,得x=0,y=0,即切，点为(0,0). 答案：(0,0) 课堂互动学案 [例1][解]（①）y=-3x.(2)y=3rln3.(3)y'=n5 (④)y=snx,y=cosx.(5y'=0.(6)y'= x (7)y=e2. 变式训练 1.ABC[因为(cos=一sx,所以A错误：sin车-5，而 2 2 =0,所以B：() =(x2)=-2x3,所以C 错误； 1 =(-x)/=1x=」 1 ,所以D正确.] 2x√x [例2】[解]因为了=子，所以当x=e时w=即切线斜 率为，所以切线方程为y-1。（红-e,即x一ey=0 母题变式 1.[解]因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a,b),则 切线斜率=上，又因为k=二9，且b=1na,所以a=e,b a a-01 1,所以切线方程为x一ey=0. 2.解：问题可以转化为函数y=lnx与y=mx的图像有且仅有 一个公共点.由图像易知m≤0满足条件.另外就是y=m江 是y=lnx的切线时满足条件.因为y=m.x图像过(0,0)，设 切点为Qa,b,则切线针率m=又因为m日，且6 1na,所以a=e,b=1,m=上，即m的取值范国为(-o,0] e urt 变式训练 2.解：设切点坐标为P(x0yo),f(x0)=-2x03=tan135°= 1,即-2.03=-1,0=2.代入曲线方程得0=2号， 点P的坐标为(2,2音). [例3】(1[解析])=()=os(答） 子，即废点在1=号时的连度为2， :)=cost,加速度at)=t()=(cost'=一sint,一sin3 3 2 [答案]之 1 2