2.2.1 导数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的概念及求导方法，通过课前自主落实基础（如导数定义、记法及微点助解），课堂梯度进阶（概念辨析、求导训练、实际应用），构建从平均变化率到瞬时变化率的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题（如机械厂利润、原油温度变化），用数学思维推导导数定义（极限思想应用），借数学语言规范表达（符号记法与推导过程）。例如通过例3分析产量与利润的瞬时变化率，培养学生抽象能力与应用意识，教师可依托分层训练提升教学效率，助力学生理解导数本质。

§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解导数概念的实际背景，掌握导数的概念.　 2.会利用导数的概念求函数在某点处的导数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.导数的定义 设函数y=f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到 f（x1），函数值y关于x的平均变化率为==. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数y=f（x）在点x0的____________. 在数学中，称瞬时变化率为函数y=f（x）在点x0处的_________，通常用符号f'（x0）表示，f'（x0）还可以写成_________. 固定的值 瞬时变化率 导数 y' 2.记法 f'（x0）==_____________________________. |微|点|助|解| （1）函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在. （2）导数是一个局部概念，它只与函数y=f（x）在x=x0及其附近的函数值有关，与Δx无关. （3）导数的实质是一个极限值. 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）f'（x0）表示f（x）在x=x0处的瞬时变化率. （　　） （2）函数y=f（x）在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.（　　） （3）设x=x0+Δx，则Δx=x-x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，所以 f'（x0）==. （　　） 基础落实训练 √ √ √ 2.若f（x）=，则f'（1）等于（　　） A.1 B.-1 C. D.- √ 解析：∵==， ∴f'（1）===-1. 3.[多选]下列各式正确的是 （　　） A.f'（x0）= B.f'（x0）= C.f'（x0）= D.f'（x0）= √ √ 解析： = =f'（x0），故D正确.易知A正确. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　导数的概念 [例1]　设f（x）在x0处可导，则等于（　　） A.-4f'（x0） B.f'（x0） C.f'（x0） D.4f'（x0） √ 解析： =4=4f'（x0），故选D. 　　|思|维|建|模| 　　利用导数定义解题时，应充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同. 针对训练 1.设函数f（x）在x=x0处可导，以下有关的值的说法正确的是（　　） A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0，h均无关 √ 解析：导数是一个局部概念，它只与函数y=f（x）在x0及其附近的函数值有关，与h无关. 2.若f'（x0）=-2，则=（　　） A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 解析：因为f'（x0）=-2，所以 =3·=3 =3f'（x0）=-6. √ 题型(二)　求函数在某点处的导数 [例2]　根据导数的定义，求下列函数的导数. （1）求函数y=x2+3在x=1处的导数； 解：因为Δy=[（1+Δx）2+3]-（12+3）=2Δx+（Δx）2， 所以==2+Δx. 所以f'（1）==（2+Δx）=2. （2）求函数y=在x=2处的导数. 解：因为Δy=-， 所以===. 所以f'（2）===. 　　|思|维|建|模| 求函数y=f（x）在x=x0处的导数的步骤 （1）求函数值的变化量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）； （2）求平均变化率=； （3）取极限，得导数f'（x0）= . 针对训练 3.已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m的值等于（　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 √ 解析：因为===， 所以f'（m）==-. 所以-=-，m2=4，解得m=±2. 4.求函数y=x-在x=1处的导数. 解：∵Δy=（1+Δx）--=Δx+， ∴==1+. ∴==2， 从而当x=1时，y'=2. 题型(三)　导数在实际问题中的意义 [例3]　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为c（x）=-2x2+7 000x+600. （1）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； 解：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为=×（-2×1 5002+7 000×1 500+600+2× 1 0002-7 000×1 000-600）=2 000（元/台）. （2）求c'（1 000）与c'（1 500），并说明它们的实际意义. 解：设x=1 000时产量的改变量为Δx1， 则===-2Δx1+3 000. 令Δx1→0，可得c'（1 000）=3 000.设x=1 500时产量的改变量为Δx2， 则===-2Δx2+1 000. 令Δx2→0，可得c'（1 500）=1 000.c'（1 000）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元；c'（1 500）的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获得1 000元. 　　|思|维|建|模|　认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. （2）函数y=f（x）在x=x0处的导函数f'（x0）反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 针对训练 5.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的实际意义. 解：在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为 ===（-3+Δx）=-3， 其实际意义表示当x=2 h时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度，也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降. 在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为 ===（5+Δx）=5， 其实际意义表示当x=6 h时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度，也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数f（x）满足=2，则=（　　） A.2 B.1 C.0 D.-1 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：因为=2， 所以 =-=-×2=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足=-1，则f'（0）等于（　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 √ 解析：∵f（x）图象过原点，∴f（0）=0. ∴f'（0）===-1，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知=，则f'（x0）=（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据题意，得= =， =+=2f'（x0）， 则f'（x0）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知函数f（x）=，则f'（2）=（　　） A.-2 B.-4 C.- D.- √ 解析：由导数的定义得f'（2）= ==-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f（x）=x3+ln 2，则=（　　） A.1 B. C.3 D.3ln 3+ √ 解析：== =（t2+t+1）=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.某水管的流水量y（单位：m3）与时间t（单位：s）满足函数关系式y=f（t）=3t，则f'（3）的实际意义是 （　　） A.3秒时水管的流水量 B.3秒内水管的流水总量 C.3秒内水管的流水量的平均变化率 D.3秒时水管流水量的瞬时变化率 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若f（x）=x3，f'（x0）=3，则x0的值是 （　　） A.1 B.-1 C.±1 D.3 √ 解析：∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=（x0+Δx）3-=3Δx+3x0（Δx）2+（Δx）3，∴=3+3x0Δx+（Δx）2.∴f'（x0）=[3+3x0Δx+（Δx）2]=3.由f'（x0）=3，得3=3，∴x0=±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若函数y=f（x）在x=x0处可导，且=-4， 则f'（x0）=（　　） A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为=-4，所以 =-=2，又函数y=f（x）在x=x0处可导， 所以f'（x0）==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0）在x=0处的导数f'（0）>0，函数 f（x）的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（　　） A.2 B. C.3 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为f（x）=ax2+bx+1（a≠0）， 所以f'（0）= =（aΔx+b）=b>0.因为函数f（x）的图象与x轴恰有一个交点， 所以b2-4a=0，即a=，所以==++1≥2+1=2， 当且仅当=，即b=2时，等号成立.故的最小值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）设函数f（x）=ax+3，若f'（1）=3，则a等于　　　　.  解析：∵f'（1）= ==a， 又f'（1）=3，∴a=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）设函数y=f（x）的导数为y=f'（x），若f'（x0）=-2，则=___________.  解析： =- =-f'（x0）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）设函数y=f（x）在x=x0处可导，且 =a， 则f'（x0）=____________.  -a 解析：∵ = =-3f'（x0）=a，∴f'（x0）=-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）已知函数y=f（x）=2x2+1在x=x0处的导数为-8，则f（x0）=__________.  9 解析：由题知-8==（2Δx+4x0）=4x0， 得x0=-2. 所以f（x0）=f（-2）=2×（-2）2+1=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）（1）已知函数y=f（x）=13-8x+x2，且f'（x0）=4，求x0的值；（5分） 解：∵f'（x0）= = == （-8+2x0+Δx） =-8+2x0=4，∴x0=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）已知函数y=f（x）=x2+2xf'（0），求f'（0）的值.（5分） 解：∵f'（0）= = = =[Δx+2f'（0）]=2f'（0）， ∴f'（0）=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）设f（x）在R上可导，求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数之间的关系. 解：设f（-x）=g（x），则f（-x）在x=a处的导数为g'（a）， 于是g'（a）==， 而f'（-a）=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 令x=-t，则当x→-a时，t→a， ∴f'（-a）= =- =-g'（a）. 这说明f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数互为相反数. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $