1.3.1 第3课时 等比数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等比数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步理解等比数列，掌握等比数列的判定方法及灵活设元解决等比数列问题，能解决等差、等比数列的综合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　等比数列的判定或证明 题型（二）　灵活设项求解等比数列 题型（三）　等差、等比数列的 综合问题 4 课时跟踪检测 题型（一）　等比数列的判定 或证明 01 [例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N+）.设bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列. 证明：由Sn+1=4an+2（n∈N+），可得n=1时，S2=a1+a2=4a1+2， 又a1=1，则a2=5；当n≥2时，an+1=Sn+1-Sn=4an+2-（4an-1+2）， 即an+1=4an-4an-1，故an+1-2an=2（an-2an-1），即bn=2bn-1. 由b1=a2-2a1=3，可知bn≠0，故=2，故{bn}是等比数列. 　　[变式拓展] 　若本例增加条件“cn=”，求证：{cn}是等比数列. 证明：由例题可得bn=3×2n-1，故an+1-2an=3×2n-1， 所以-=，即为等差数列，首项为，公差为， 所以=+（n-1），即an=（3n-1）×2n-2， 所以cn==2n-2，则==2，故{cn}是等比数列. |思|维|建|模| 判定或证明等比数列的方法 （1）定义法：=q（n∈N+且n≥2，q为不为0的常数）. （2）等比中项法：=an-1an+1（n∈N+且n≥2，an≠0）. （3）通项公式法：an=a1qn-1=·qn=A·qn（A≠0）. 针对训练 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=n. （1）设cn=an-1，求证：{cn}是等比数列； 解：证明：因为an+Sn=n　①，所以an+1+Sn+1=n+1　②. ②-①得an+1-an+an+1=1，所以2an+1=an+1， 所以2（an+1-1）=an-1.又a1+a1=1，所以a1=，所以a1-1=-≠0. 因为=，所以=.故{cn}是以c1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解：由（1）知cn=-×=-. 因为cn=an-1，所以an=1-. 题型（二）　灵活设项求解 等比数列 02 [例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 解：法一　设第一个数为x， 则第四个数为16-x；设第二个数为y， 则第三个数为12-y.根据题意， 得 即将①代入②，整理得y2-13y+36=0， 解得y=4或y=9. 当y=4时，x=0，这四个数分别为0，4，8，16； 当y=9时，x=15，这四个数分别为15，9，3，1. 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二　设这四个数依次为a-d，a，a+d，（a≠0）. 根据题意，得解得或 当a=4，d=4时，这四个数分别为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，这四个数分别为15，9，3，1. 故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 法三　设这四个数依次为-a，，a，aq（a≠0）.根据题意， 得解得或当a=8，q=2时， 这四个数分别为0，4，8，16；当a=3，q=时，这四个数分别为15，9，3，1.故所求的四个数分别为0，4，8，16或15，9，3，1. 　　[变式拓展] 　若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？ 解：设这四个数依次为-aq，，aq，aq3（q≠0）. 则由已知得由①得a2=16，∴a=4或a=-4.由②得2a2q2-a2q4=-128.将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2（舍去），∴q=2或q=-2.∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 　　|思|维|建|模| 在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律 　　对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…（注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况），这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为简捷. 针对训练 2.三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数. 解：由已知，可设这三个数为a-d，a，a+d，d≠0，则a-d+a+a+d=6，即a=2，这三个数可表示为2-d，2，2+d.①若2-d为2和2+d的等比中项，则（2-d）2=2（2+d），解得d=6或d=0（舍去），此时这三个数为-4，2，8.②若2+d为2-d和2的等比中项，则（2+d）2=2（2-d），解得d=-6或d=0（舍去），此时这三个数为8，2，-4.③若2为2-d和2+d的等比中项，则22=（2+d）（2-d），解得d=0（舍去）.综上，这三个数为-4，2，8. 题型（三）　等差、等比数列 的综合问题 03 [例3]　设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1+a2+a3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由已知得解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2可得a1=，a3=2q，由a1+a2+a3=7，可得+2+2q=7，即2q2-5q+2=0，解得q=2或q=，由题意得q>1，∴q=2，∴a1=1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1. （2）令bn=log2a3n+1，n=1，2，3，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由于bn=log2a3n+1，由（1）得a3n+1=23n， ∴bn=log223n=3n.∵bn+1-bn=3， ∴{bn}是等差数列， ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 针对训练 3.在等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公比为q， 则q4-1===8，得q=2， 所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. （2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，问a9是不是数列{bn}中的项？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由. 解：设等差数列{bn}的公差为d，b3=a3=23=8，b5=a5=25=32. 则d===12，所以bn=b3+（n-3）d=8+12（n-3）=12n-28. 因为a9=29=512=12×45-28=b45，所以a9是数列{bn}中的第45项. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a， b，c（　　） A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为 （　　） A.4 B.4或 C.6或 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，，20成等差数列，得2×=a+20，整理得a2-a-20=0，解得a=-4或a=5.当a=-4时，插入的两个数的和为a+=4.当a=5时，插入的两个数的和为a+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a2=2，Sn=3an+1+t，则实数t= （　　） A.3 B.- C.4 D.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由Sn=3an+1+t，当n≥2时，Sn-1=3an+t，所以an=3an+1-3an， 即=，n≥2.又因为数列{an}是等比数列， 所以=，又a2=2，所以a1=. 当n=1时，S1=3a2+t，所以=3×2+t， 解得t=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.[多选]下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件的是 （　　） A.an+1=anq（q为常数） B.an=a1qn-1（q为常数） C.=anan+2≠0 D.an+1= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：对于A，an+1=anq，当q=0，an=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an=a1qn-1，当q=0，a1=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列等比中项的性质可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an+1=，当an=0，an+1=0，an+2=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知实数a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，集合A={a1，a2，a3，a4，a5}，且{1，4}⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，则a1的最小值为 （　　） A. B. C.- D.-8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：设等比数列{an}的公比为q（q<0），当a2=4，a4=1时，=q2=， 所以q=-，所以a1===-8；当a2=1，a4=4时，=q2=4， 所以q=-2，所以a1===-.综上，a1的最小值为-8.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.[多选]设{an}是各项均为正数的数列，以an，an+1为直角边长的直角三角形面积记为Sn（n∈N+），则{Sn}为等比数列的充分条件是 （　　） A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析： {Sn}为等比数列等价于为常数，也就是等价于即为常数.对于A，因为{an}是等比数列，所以=q2（q为{an}的公比）为常数，故A满足.对于B，取a2n-1=2n-1，a2n=2n，此时满足a2，a4，…，a2n，…是等比数列，a1，a3，…，a2n-1，…不是等比数列，不是常数，故B不满足.对于C，取a2n-1=3n，a2n=2n，此时满足a2，a4，…，a2n，…是等比数列，a1，a3，…，a2n-1，…是等比数列，=3，=2，两者不相等，故C不满足.对于D，根据条件可得为常数，故D满足. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1>1 ，a99·a100-1>0 ，<0 ，则以下结论正确的是（　　） A.0<q<1 B.a99·a101-1<0 C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn>1成立的最大自然数n等于197 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为等比数列{an}中，a99·a100>1，所以a99与a100同号，所以q>0；又<0⇒a99与a100一个大于1，一个小于1，再有a1>1，所以a99>1，a100<1.所以数列{an}是各项均为正数的递减的等比数列，所以0<q<1，故A正确；因为0<a100<1，所以a99·a101-1=-1<0，故B正确；因为T100=T99·a100<T99，故C错误；因为T198=（a1·a198）·（a2·a197）·…· （a99·a100）=>1，T199=（a1·a199）·（a2·a198）·…· （a99·a101）·a100=<1，所以使Tn>1成立的最大自然数n等于198.故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=_________.  1 解析：设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d， ∴（a1+2d+3）2=（a1+1）（a1+4d+5）， 解得d=-1， ∴q===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.（5分）若数列a1，，，…，，…，是首项为1，公比为-的等比数列，则a5=_________.  32 解析：由题意，得=（-）n-1（n≥2），所以=-， =（-）2，=（-）3，=（-）4，将上面的四个式子两边分别相乘，得=（-）1+2+3+4=32.又a1=1，所以a5=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.（5分）已知数列{an}均为正项，bn=lg an且{bn}是等差数列，b1+b2+b3+…+b99=198，则a50=_________.  100 解析：因为bn=lg an且{bn}是等差数列，设公差为d，所以bn-bn-1= lg an-lg an-1=lg=d（n≥2），所以{an}是正项等比数列， 所以b1+b2+b3+…+b99=lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a99=lg（a1·a2·a3·…·a99） ==99lg a50=198，所以lg a50=2，a50=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.（10分）已知数列{an}满足an+1=an+1，a1=3，bn=an-2. （1）求证：数列{bn}是等比数列；（4分） 解：证明：因为== ==，b1=a1-2=1， 所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）若cn=-nbn，求数列{cn}中的最小项.（6分） 解：由（1）得bn=，所以cn=-nbn=-n<0，则=. 当n=1时，=1，c1=c2；当n≥2时，2n>n+1>0，<1，又cn<0， 所以cn+1>cn，所以c1=c2<c3<c4<…，即（cn）min=c1=c2=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.（10分）已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. （1）求数列{bn}的通项公式；（4分） 解：由已知得数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1（q1>0），即===，∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）记数列{bn}的前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.（6分） 解：Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+（5-n）===， 即当n=4或5时，Tn有最大值，最大值为=210=1 024. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（6分） 解：证明：∵an+1=an+n-4且a1=λ，∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则=a1a3，即=λ，即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）试判断{bn}是否为等比数列.（9分） 解：∵bn=（-1）n（an-3n+21），∴bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21] =（-1）n+1=-（-1）n（an-3n+21） =-bn.∵b1=-（λ+18），∴当λ=-18时，b1=0， 此时数列{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，b1≠0， 此时=-（n∈N+），数列{bn}是等比数列. 综上，当λ=-18时，{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，{bn}是等比数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $