1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用 [课时跟踪检测] 1.在等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　∵a2a6==a3a5，∴a3a5=. 2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是 （　　） A.1 B.-1 C.-3 D.-4 解析：选D　由题意，得解得a=-4，b=2，c=8. 3.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，=9a1·a9，则等于 （　　） A.3 B. C. D. 解析：选D　设正项等比数列{an}的公比为q， 则an>0，q>0.由等比数列的性质得=9a1·a9=9，∴a6=3a5， ∴q=3，则===. 4.等比数列{an}为递减数列，若a7·a14=6，a4+a17=5，则等于 （　　） A. B. C. D.6 解析：选A　∵a7·a14=a4·a17=6，a4+a17=5， ∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a4=2，a17=3或a4=3，a17=2， ∵an>an+1，∴a4=3，a17=2， 法一　由得q13==， 则===. 法二　由==q13=， 则===. 5.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8a15等于 （　　） A.±2 B.±4 C.2 D.4 解析：选C　∵T13=4T9， ∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9， ∴a10a11a12a13=4.又∵a10a13=a11a12=a8a15， ∴（a8a15）2=4，∴a8a15=±2. 又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15=2. 6.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 （　　） A.2 024 B.1 012 C.2 048 D.4 096 解析：选C　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×（）n-1，所以第10个正方形的面积S==[2×（）9]2=4×29=2 048. 7.[多选]设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9=64，则 （　　） A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 解析：选ABD　由题意，a1a5a9==64，即a5=4，故A正确；当a1=1时，a5=a1q4=4，所以q=±，故B正确；因为a1a9==16，所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误；由+≥2a1a9=32，当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确.故选ABD. 8.[多选]已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则 （　　） A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 解析：选ACD　因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.S11==11a6=11π，故A正确；因为a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B错误；设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；由b5=2，得b3·b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 9.（5分）在等比数列a，2a+2，3a+3，…中，a=　　　　.   解析：由题意，得（2a+2）2=a（3a+3）， 解得a=-4或a=-1. 当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件； 当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，…，满足条件. 答案：-4 10.（5分）在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　　　　.   解析：因为+=，+=， 由等比数列的性质知a7a10=a8a9， 所以+++= =÷=-. 答案：- 11.（5分）已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为　　　　.   解析：设数列{an}的公比为q（q>0）， ∵a2·a4=4=，且a3>0， ∴a3=2，又a1+a2+a3=++2=14， ∴=-3（舍去）或=2， 即q=，a1=8. 又an=a1qn-1=8×=， ∴an·an+1·an+2=>， 即23n-9<9，∵n∈N+， ∴n的最大值为4. 答案：4 12.（5分）已知数列{an}是公比不为1的等比数列，且=，则mn=　　　　.（写出满足上述条件的一个值即可）   解析：在等比数列{an}中， 由=得am·an=a3·a5， 所以m+n=3+5=8，不妨令m≤n， 则m，n的不同取值有m=1，n=7； 或者m=2，n=6； 或者m=3，n=5；或者m=n=4， 所以mn的所有取值为7，12，15，16. 答案：7（答案不唯一，7，12，15，16中任一个均可） 13.（10分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12. （1）求{an}的通项公式；（4分） （2）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值.（6分） 解：（1）设数列{an}的公差为d， 由题意知解得 所以an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n. （2）由（1）可得Sn===n（1+n）. 因为a1，ak，Sk+2成等比数列， 所以=a1Sk+2， 从而（2k）2=2（k+2）（k+3）， 即k2-5k-6=0，解得k=6或k=-1（舍去）， 因此k=6. 14.（10分）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1=128， 则a2=a1（1-x），a3=a1（1-x）2=128（1-x）2=32， 解得x=50%. 设an=8，即an=128×（1-50%）n-1=8， 解得n=5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 15.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=20. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） （2）若等比数列{bn}的公比q=，且满足a4+b4=9，求满足an<bn的所有正整数n的值.（10分） 解：（1）由题意设等差数列{an}的公差为d， 由a1=2，S5=20，得5a1+10d=20， 解得d=1，故an=2+n-1=n+1. （2）因为等比数列{bn}的公比q=， 且满足a4+b4=9，而a4=5，则b4=4， 故b1===32， 则bn=32×=26-n. 又an<bn，则n+1<26-n， 当n=1，2，3时，n+1<26-n显然成立，由于n+1随着n的增大而增大，26-n随着n的增大而减小，当n≥4时，n+1≥5，26-n≤4， 故当n≥4时，n+1<26-n无解，故满足an<bn的所有正整数n的值为1，2，3. 学科网（北京）股份有限公司 $