1.3.1 第3课时 等比数列的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.3.1 第3课时 等比数列的综合问题 [课时跟踪检测] 1.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a，b，c （　　） A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 解析：选A　由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 2.在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为 （　　） A.4 B.4或 C.6或 D.6 解析：选B　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，，20成等差数列，得2×=a+20，整理得a2-a-20=0，解得a=-4或a=5.当a=-4时，插入的两个数的和为a+=4.当a=5时，插入的两个数的和为a+=. 3.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a2=2，Sn=3an+1+t，则实数t= （　　） A.3 B.- C.4 D.8 解析：选B　由Sn=3an+1+t，当n≥2时，Sn-1=3an+t，所以an=3an+1-3an，即=，n≥2.又因为数列{an}是等比数列，所以=，又a2=2，所以a1=. 当n=1时，S1=3a2+t，所以=3×2+t， 解得t=-. 4.[多选]下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件的是 （　　） A.an+1=anq（q为常数） B.an=a1qn-1（q为常数） C.=anan+2≠0 D.an+1= 解析：选ABD　对于A，an+1=anq，当q=0，an=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an=a1qn-1，当q=0，a1=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列等比中项的性质可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D，an+1=，当an=0，an+1=0，an+2=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误. 5.已知实数a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，集合A={a1，a2，a3，a4，a5}，且{1，4}⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，则a1的最小值为 （　　） A. B. C.- D.-8 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q（q<0）， 当a2=4，a4=1时，=q2=， 所以q=-，所以a1===-8； 当a2=1，a4=4时，=q2=4， 所以q=-2，所以a1===-. 综上，a1的最小值为-8.故选D. 6.[多选]设{an}是各项均为正数的数列，以an，an+1为直角边长的直角三角形面积记为Sn（n∈N+），则{Sn}为等比数列的充分条件是 （　　） A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 解析：选AD　{Sn}为等比数列等价于为常数，也就是等价于即为常数.对于A，因为{an}是等比数列，所以=q2（q为{an}的公比）为常数，故A满足.对于B，取a2n-1=2n-1，a2n=2n，此时满足a2，a4，…，a2n，…是等比数列，a1，a3，…，a2n-1，…不是等比数列，不是常数，故B不满足.对于C，取a2n-1=3n，a2n=2n，此时满足a2，a4，…，a2n，…是等比数列，a1，a3，…，a2n-1，…是等比数列，=3，=2，两者不相等，故C不满足.对于D，根据条件可得为常数，故D满足. 7.[多选]在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1>1 ，a99·a100-1>0 ，<0 ，则以下结论正确的是 （　　） A.0<q<1 B.a99·a101-1<0 C.T100的值是Tn中最大的 D.使Tn>1成立的最大自然数n等于197 解析：选AB　因为等比数列{an}中，a99·a100>1，所以a99与a100同号，所以q>0；又<0⇒a99与a100一个大于1，一个小于1，再有a1>1，所以a99>1，a100<1.所以数列{an}是各项均为正数的递减的等比数列，所以0<q<1，故A正确；因为0<a100<1，所以a99·a101-1=-1<0，故B正确；因为T100=T99·a100<T99，故C错误；因为T198=（a1·a198）·（a2·a197）·…·（a99·a100）=>1，T199=（a1·a199）·（a2·a198）·…·（a99·a101）·a100=<1，所以使Tn>1成立的最大自然数n等于198.故D错误. 8.（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=　　　　.  解析：设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d， ∴（a1+2d+3）2=（a1+1）（a1+4d+5）， 解得d=-1， ∴q===1. 答案：1 9.（5分）若数列a1，，，…，，…，是首项为1，公比为-的等比数列，则a5=　　　　.  解析：由题意，得=（-）n-1（n≥2）， 所以=-，=（-）2，=（-）3， =（-）4，将上面的四个式子两边分别相乘， 得=（-）1+2+3+4=32. 又a1=1，所以a5=32. 答案：32 10.（5分）已知数列{an}均为正项，bn=lg an且{bn}是等差数列，b1+b2+b3+…+b99=198，则a50=　　　　.  解析：因为bn=lg an且{bn}是等差数列，设公差为d， 所以bn-bn-1=lg an-lg an-1=lg=d（n≥2），所以{an}是正项等比数列， 所以b1+b2+b3+…+b99=lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a99=lg（a1·a2·a3·…·a99）==99lg a50=198， 所以lg a50=2，a50=100. 答案：100 11.（10分）已知数列{an}满足an+1=an+1，a1=3，bn=an-2. （1）求证：数列{bn}是等比数列；（4分） （2）若cn=-nbn，求数列{cn}中的最小项.（6分） 解：（1）证明：因为== ==，b1=a1-2=1， 所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得bn=， 所以cn=-nbn=-n<0，则=. 当n=1时，=1，c1=c2； 当n≥2时，2n>n+1>0，<1，又cn<0， 所以cn+1>cn， 所以c1=c2<c3<c4<…，即（cn）min=c1=c2=-1. 12.（10分）已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. （1）求数列{bn}的通项公式；（4分） （2）记数列{bn}的前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.（6分） 解：（1）由已知得数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1（q1>0）， 即===，∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. （2）Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+（5-n）===，即当n=4或5时，Tn有最大值，最大值为=210=1 024. 13.（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=λ，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ为实数，n为正整数. （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（6分） （2）试判断{bn}是否为等比数列.（9分） 解：（1）证明：∵an+1=an+n-4且a1=λ， ∴a2=λ-3，a3=λ-4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， 则=a1a3，即=λ， 即λ2-4λ+9=λ2-4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列. （2）∵bn=（-1）n（an-3n+21）， ∴bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21] =（-1）n+1 =-（-1）n（an-3n+21） =-bn. ∵b1=-（λ+18）， ∴当λ=-18时，b1=0， 此时数列{bn}不是等比数列； 当λ≠-18时，b1≠0， 此时=-（n∈N+），数列{bn}是等比数列. 综上，当λ=-18时，{bn}不是等比数列；当λ≠-18时，{bn}是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $