1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等比数列的性质及应用 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解等比中项，掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 2.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得_________成等比数列，那么根据等比数列的定义，=， ______，G=±.我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的性质 一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则__________，特别地，如果2s=p+q，则= ______. a，G，b G2=ab asat=apaq apaq 3.等比数列的常用结论 （1）若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{can}（c为任一常数）是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{}（m为常数，n∈N+）是公比为qm的等比数列. （2）若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. 1.若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 （　　） A.{an+bn} B.{an-bn} C.{anbn} D.{an+5} √ 基础落实训练 解析：两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C. 2.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4·a7= （　　） A.-6 B.-2 C.2 D. √ 解析：a4a7=a1a10==-2. 3.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10=27，则log3a2+log3a9等于 （　　） A.9 B.6 C.3 D.2 √ 解析：因为a2a9=a1a10=27，所以log3a2+log3a9=log327=3. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　等比中项及其应用 [例1]　（1）等比数列{an}中，a4=48，a8=3，则a4与a8的等比中项为 （　　） A.12 B.-12 C.±12 D.30 √ 解析：记a4与a8的等比中项为G，则G2=a4a8=48×3=144，所以G=±12.故选C. （2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a5是a4与a8的等比中项，则=（　　） A.- B.- C. D. √ 解析：因为a5是a4与a8的等比中项，所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列，公差为d（d≠0），所以（a1+4d）2=（a1+3d）（a1+7d），化简得2a1d=-5d2，即2a1=-5d，所以=-.故选A. 　　|思|维|建|模| 　　在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 针对训练 1.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则=__________.  解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴=a1a9. ∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d， ∴==. 2.已知b是a，c的等比中项，求证：ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2=ac，且a，b，c均不为零， 又（a2+b2）（b2+c2）=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2， （ab+bc）2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，所以（ab+bc）2=（a2+b2）（b2+c2），由a，b，c均不为零，可得a2+b2≠0，b2+c2≠0，故ab+bc≠0，即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 题型（二）　等比数列的性质及应用 [例2]　已知{an}为等比数列， （1）若a2a4=，求a1a5； 解：等比数列{an}中，∵a2a4=， ∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=. （2）若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5； 解：由等比中项，化简条件得+2a3a5+=25， 即（a3+a5）2=25，∵an>0，∴a3+a5=5. （3）若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解：由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2·…·a10）=log3[（a1a10）（a2a9）（a3a8）·（a4a7）（a5a6）]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例（3）改为“a5+a6=3，a15+a16=6”，求a25+a26的值. 解：∵数列{an}为等比数列， ∴a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列， ∴a25+a26===12. 2.本例（1）条件变为“若a5a6a7=-27”，求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. 解：法一　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3， 所以a2=<0，所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥ 2+9=27，当且仅当-3a2=-，即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3， 所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27，当且仅当a4=a8=-3时取等号. 　　|思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两条思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am·an=ak·al=. 针对训练 3.（2025·北京高考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10= （　　） A.-20 B.-18 C.16 D.18 √ 解析：选C　设等差数列{an}的公差为d（d≠0），因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=-2，所以=a3a6，即（-2+3d）2=（-2+2d）（-2+5d），解得d=2或d=0（舍去）.所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，则+++的值为（　　） A.20 B.10 C.5 D. √ 解析：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B. 题型（三）　等比数列的实际应用 [例3]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N+）年后这辆车的价值. 解：从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1=13.5，a2=13.5（1-10%），a3=13.5（1-10%）2， ….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=13.5， 公比q=1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×（0.9）n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×（0.9）n万元. （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：由（1）得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9（万元）， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 　　|思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 （1）审题：解决数列应用题的关键是读懂题意； （2）建立数学模型：将实际问题转化为等比数列的问题； （3）解数学模型：注意隐含条件，数列中n的值是正整数； （4）还原：即最后转化为实际问题作出回答. 针对训练 5.某制糖厂2018年制糖5万吨，如果从2019年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨？（结果保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079） 解：记该制糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1=5，=1.2（n≥2且n∈N+），从而an=5×1.2n-1，令an>30，故1.2n-1>6，即n-1>log1.26=≈≈9.85.故n=11. 即从2028年开始，该制糖厂年制糖量开始超过30万吨. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在等比数列{an}中，若a2a6+=π，则a3a5等于（　　） A. B. C. D. √ 解析：∵a2a6==a3a5，∴a3a5=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是 （　　） A.1 B.-1 C.-3 D.-4 √ 解析：由题意，得解得a=-4，b=2，c=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，=9a1·a9，则等于（　　） A.3 B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设正项等比数列{an}的公比为q， 则an>0，q>0.由等比数列的性质得=9a1·a9=9，∴a6=3a5， ∴q=3，则===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.等比数列{an}为递减数列，若a7·a14=6，a4+a17=5，则等于（　　） A. B. C. D.6 √ 解析：∵a7·a14=a4·a17=6，a4+a17=5，∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根，解得a4=2，a17=3或a4=3，a17=2， ∵an>an+1，∴a4=3，a17=2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法一　由得q13==， 则===. 法二　由==q13=，则===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8a15等于 （　　） A.±2 B.±4 C.2 D.4 √ 解析：∵T13=4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9， ∴a10a11a12a13=4.又∵a10a13=a11a12=a8a15，∴（a8a15）2=4，∴a8a15=±2. 又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 （　　） A.2 024 B.1 012 C.2 048 D.4 096 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×（）n-1，所以第10个正方形的面积S==[2×（）9]2=4×29=2 048. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9=64，则 （　　） A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意，a1a5a9==64，即a5=4，故A正确；当a1=1时，a5=a1q4=4，所以q=±，故B正确；因为a1a9==16，所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误；由+≥2a1a9=32，当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则 （　　） A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.S11==11a6=11π，故A正确；因为a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B错误；设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；由b5=2，得b3·b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）在等比数列a，2a+2，3a+3，…中，a=_________.   -4 解析：由题意，得（2a+2）2=a（3a+3）， 解得a=-4或a=-1. 当a=-1时，2a+2=0，3a+3=0，不满足条件； 当a=-4时，等比数列为-4，-6，-9，…，满足条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=_________.   - 解析：因为+=，+=， 由等比数列的性质知a7a10=a8a9，所以+++= =÷=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为________.   4 解析：设数列{an}的公比为q（q>0），∵a2·a4=4=，且a3>0，∴a3=2，又a1+a2+a3=++2=14，∴=-3（舍去）或=2，即q=，a1=8.又an=a1qn-1=8×=，∴an·an+1·an+2=>， 即23n-9<9，∵n∈N+，∴n的最大值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知数列{an}是公比不为1的等比数列，且=，则mn=_______________________________________________.（写出满足上述条件的一个值即可）   7（答案不唯一，7，12，15，16中任一个均可） 解析：在等比数列{an}中，由=得am·an=a3·a5， 所以m+n=3+5=8，不妨令m≤n，则m，n的不同取值有m=1，n=7； 或者m=2，n=6；或者m=3，n=5；或者m=n=4，所以mn的所有取值为7，12，15，16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12. （1）求{an}的通项公式；（4分） 解：设数列{an}的公差为d， 由题意知解得 所以an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值.（6分） 解：由（1）可得Sn===n（1+n）. 因为a1，ak，Sk+2成等比数列，所以=a1Sk+2， 从而（2k）2=2（k+2）（k+3），即k2-5k-6=0，解得k=6或k=-1（舍去），因此k=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1=128，则a2=a1（1-x），a3=a1（1-x）2=128（1-x）2=32， 解得x=50%.设an=8，即an=128×（1-50%）n-1=8， 解得n=5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=20. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：由题意设等差数列{an}的公差为d， 由a1=2，S5=20，得5a1+10d=20， 解得d=1，故an=2+n-1=n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若等比数列{bn}的公比q=，且满足a4+b4=9，求满足an<bn的所有正整数n的值.（10分） 解：因为等比数列{bn}的公比q=，且满足a4+b4=9，而a4=5，则b4=4， 故b1===32，则bn=32×=26-n.又an<bn，则n+1<26-n， 当n=1，2，3时，n+1<26-n显然成立，由于n+1随着n的增大而增大，26-n随着n的增大而减小，当n≥4时，n+1≥5，26-n≤4，故当n≥4时，n+1<26-n无解，故满足an<bn的所有正整数n的值为1，2，3. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $