1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等比数列 §3 等比数列的概念及其通项公式 3.1 等比数列的概念及其通项公式 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能利用公式进行简单运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等比数列的概念 逐点清(二)　等比数列的通项公式 逐点清(三)　等比数列的通项公式 与指数型函数的关系 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等比数列的概念 01 　　如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比值都是________常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）. 多维理解 同一个 2 |微|点|助|解| （1）定义强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项. （2）等比数列的公比q可正可负，但不能为0，等比数列中任一项不为0. （3）常数列（除0，0，0，…外）都是公比为1的等比数列. 1.下列通项公式中代表等比数列的是 （　　） A.an=c B.an=n+1 C.an=n2 D.an=2n √ 微点练明 解析：利用逐个检验，A中，c如果为0，显然不是等比数列；B，C不符合常数；D中，==2为常数，符合. 2.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是 （　　） A.8 B.10 C.12 D.16 √ 解析：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 3.判断下列数列是否为等比数列，并写出公比. （1）1，3，32，33，…，3n-1，…； 解：记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，…. ∵==3（n≥2，n∈N+）， ∴数列为等比数列，且公比为3. （2）-1，1，2，4，8，…； 解：记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…， ∵=-1≠=2，∴此数列不是等比数列. （3）a1，a2，a3，…，an，…. 解：当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 逐点清(二)　等比数列的通项 公式 02 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an=______（a1≠0，q≠0）. 多维理解 a1qn-1 |微|点|助|解| （1）在已知首项a1，公比q的条件下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. （2）可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. （3）an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. 1.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于 （　　） A.1 B.2 C.-2 D.-1 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2. 微点练明 2.在递增等比数列{an}中，a3=4，且3a5是a6和a7的等差中项，则a10= （　　） A.256 B.512 C.1 024 D.2 048 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为3a5是a6和a7的等差中项，所以6a5=a6+a7，即6a5=a5q+a5q2.又因为a5≠0，所以q2+q-6=0，解得q=2或q=-3.又因为等比数列{an}是递增数列，所以q=2.又因为a3=4，所以a10=a3q7=4×27=512.故选B. 3.已知等比数列{an}为递增数列，且=a10，2（an+）=5an+1，求数列{an}的通项公式. 解：设等比数列{an}的公比为q， 由2（an+an+2）=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=， 由=a10=a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增， 所以q=2.=a10⇒（a1q4）2=a1q9⇒a1=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 4.在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q=，∴a1=32.又an=1，∴32×=1， 即26-n=20，∴n=6. 逐点清(三)　等比数列的通项公式 与指数型函数的关系 03 （1）当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）=·qx（x∈R）当x=n时的函数值，即an=f（n）. （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为_________； ②当或时，等比数列{an}为___________. ③当q=1时，等比数列{an}为_________. ④当q<0时，等比数列{an}为摆动数列. 递增数列 递减数列 常数列 [典例]　（1）根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是 （　　） A.an=n B.an= C.an=2-n D.an=log2n √ 解析：等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. （2）[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 （　　） A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 D.q>1 {an}为递增数列，且{an}为递增数列 q>1 √ √ √ 解析：若a1=-2，q=2>1，则{an}的各项为-2，-4，-8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为-16，-8，-4，-2，…，是递增数列，则q=<1，B不正确，D正确；若a1=-16，q=∈（0，1），则{an}的各项为-16，-8，-4，…，显然是递增数列，C不正确. 　　|思|维|建|模| （1）具备“an=kan（k≠0）”形式，如an=2n-1，an=3×为等比数列. （2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，如a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，{an}递增；a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，{an}递减. 1.数列{an}是各项均为实数的等比数列，则“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 针对训练 解析：∵a2>a1>0，∴a1q>a1>0，可得q>1，于是数列{an}为递增数列；反之不成立，例如数列是递增数列，但a1=-<0.∴“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A. 2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是正项等比数列，若a1=b1，a7=b7，则 （　　） A.a4=b4 B.a5<b5 C.a8>b8 D.a9<b9 √ 解析：等差数列的通项公式是关于n的一次函数，n∈N+，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数，n∈N+，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示，当公差d>0时，如图1所示，当公差d<0时，如图2所示， 由图可知当a1=b1，a7=b7时，a4>b4，a5>b5，a8<b8，a9<b9.故选D. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列三个数依次成等比数列的是 （　　） A.1，4，8 B.-1，2，4 C.9，6，4 D.4，6，8 √ 解析：42≠1×8，A错误；22≠-1×4，B错误；因为==，所以9，6，4依次成等比数列，C正确；62≠4×8，D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=-8，则公比q= （　　） A.2 B.-4 C.4 D.-2 √ 解析：依题意a4=a1q3=q3=-8，q=-2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在等比数列{an}中，a1=2，a4=.若am=2-11，则m=（　　） A.17 B.16 C.14 D.13 √ 解析：设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=2，a4=，所以2q3=，解得q=. 又am=2-11，所以2×=2-11，可得m=13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知q是等比数列{an}的公比，则“a1（1-q）>0”是“数列{an}是递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：已知q是等比数列{an}的公比，当a1=1，q=-1时，a1（1-q）>0，数列为摆动数列，推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时，不妨取an=2n，则a1=2，q=2，不满足a1（1-q）>0.故“a1（1-q）>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6= （　　） A.14 B.12 C.6 D.3 √ 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即 解得所以a6=a1q5=3，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]下列数列为等比数列的是 （　　） A.{2n} B.{n2} C.{3-n} D.{2·2n} √ √ 解析：A项，an=2n，则=不为定值，不满足；B项，an=n2，则=不为定值，不满足；C项，an=3-n，则==为定值，且a1=，满足；D项，an=2·2n，则==2为定值，且a1=4，满足.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3-a8=7，a2+a7=11，{bn}为等比数列，满足b1=a1，b4=a15，则 （　　） A.{an}的首项与公差相等 B.a2，a5，a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3，b5，b6成等差数列 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3-a8=3a1+d=7，a2+a7=2a1+7d=11，解得a1=2，d=1，故A错误；可得an=2+n-1=n+1，所以a2=3，a5=6，a11=12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1=a1=2，b4=a15=16，所以q=2，则bn=2n，故C正确；b3=8，b5=32，b6=64，不是等差数列，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在数列{an}中，a1=，∀m，n∈N+，am+n=aman，则a6等于（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由于∀m，n∈N+，有am+n=aman，且a1=，令m=1，则an+1=a1an=an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an=a1qn-1=×=，故a6==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）在等比数列{an}中，若a1=1，=2a6，则公比q=________.  2 解析：∵=2a6，a1=1，∴（q3）2=2q5，得q=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q=________.  3 解析：因为正项等比数列{an}，3a1，a3，2a2成等差数列， 所以 解得q=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知等比数列{an}满足a1-a3=-，a2-a4=-，则使得a1a2…an取得最小值的n为________.  3或4 解析：设公比为q，则q==3，∴a1-a3=-8a1=-，∴a1=，a2=，a3=，a4=1，…，∴n=3或n=4时，a1a2…an取得最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）能说明“若等比数列{an}满足a1<a2，则等比数列{an}是递增数列”是假命题的一个等比数列{an}的通项公式可以是 _______________________________________.  an=-（-2）n-1，n∈N+（答案不唯一） 解析：由题意可知，若“等比数列{an}是递增数列”，需满足 当a1<0时，公比0<q<1；或a1>0时，公比q>1；又因为命题为假命题，所以公比q<0即可满足题意，不妨取，首项a1=-1，公比q=-2， 则a2=2，满足a1<a2，此时数列{an}是摆动数列，通项公式为an= a1qn-1=（-1）（-2）n-1=-（-2）n-1，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）已知等比数列{an}的首项为a1=27，公比q=. （1）求a8；（4分） 解：由等比数列的通项公式可知a8=a1q7=27×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）判断18是不是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.（6分） 解：an=27×=，设18是数列中的第n项，则=18， 化简得32-n=2，因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）（1）一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式；（5分） 解：法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意得 解得∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列，∴q===.∴an=a3qn-3=12×=×. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）已知等比数列{an}中，a5=3，a7=27，求q及an.（5分） 解：由a7=a5q2，得q2==9， ∴q=±3，则a1=， 当q=3时，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4； 当q=-3时，an=a1qn-1=×（-3）n-1=-（-3）n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列；（5分） 证明：任取数列中的相邻两项an=1，an+1=1， 则==1，且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）这个数列中的任一项是其后第5项的；（5分） 证明：任取数列中的一项am=1，则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=，得证. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）数列中任两项之积仍为数列中的项.（5分） 证明：任取数列中两项=1，=1，则=1·1=1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N+，n1≠n2，∴n1+n2-2>0，且n1+n2-2∈N+， ∴符合已知数列中的项的特点，即为数列中的项. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $