1.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等差数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步理解等差数列，掌握等差数列的判定与证明方法.能灵活设项解等差数列.会由等差数列构造新数列. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(二)　等差数列项的设法与求解 题型(三)　由等差数列构造新数列 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列的判定与证明 题型(一)　等差数列的判定与证明 01 [例1]　已知数列{an}中，a1=2，an=2-（n≥2，n∈N+），设bn=（n∈N+）. （1）求证：数列{bn}是等差数列； 解：证明：因为an=2-，所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1，所以{bn}是首项为b1==1， 公差为1的等差数列. （2）求{an}的通项公式. 解：由（1）知bn=n，所以bn==n（n∈N+）， 解得an=1+， 所以{an}的通项公式为an=1+（n∈N+）. 　[变式拓展] 　本例条件“an=2-（n≥2，n∈N+）”变为“an+1=”，那么数列是否为等差数列？请说明理由. 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=，∴==+，∴-=， 即数列是首项为=，公差为d=的等差数列. |思|维|建|模| 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. （1）在解答题中，证明一个数列是等差数列首选定义法；其次是等差中项法. （2）通项公式法可用于选择、填空题的求解. 针对训练 1.已知，，成等差数列，并且a+c，a-c，a+c-2b均为正数，求证：lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列. 证明：∵，，成等差数列，∴=+=，即b（a+c）=2ac. 要证lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列， 即证2lg（a-c）=lg（a+c）+lg（a+c-2b）， 只需证lg（a-c）2=lg[（a+c）（a+c-2b）]， 即证（a-c）2=（a+c）（a+c-2b）， 即证（a-c）2=（a+c）2-2b（a+c）. ∵b（a+c）=2ac， ∴（a+c）2-2b（a+c）=（a+c）2-2×2ac=（a-c）2. ∴lg（a+c），lg（a-c），lg（a+c-2b）成等差数列. 题型(二)　等差数列项的设法与 求解 02 [例2]　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数. 解：法一　设这三个数首项为a1，公差为d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 法二　设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 　[变式拓展] 　本例条件变为：已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则 又该数列是递增数列，所以d>0，所以a=±，d=， 所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 　|思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算，其设元技巧为 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a-d，a+d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a-d，a，a+d，公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d. 针对训练 2.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的前三项分别为a-d，a，a+d， 由题意，得即解得∵等差数列{an}是递增数列，∴d=4.∴等差数列的首项为3，公差为4.∴an=3+4（n-1）=4n-1. 题型(三)　由等差数列构造 新数列 03 [例3]　已知{an}为等差数列，且a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它们和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ 解：设新数列为{bn}，则b1=a1=2，b5=a2=3， 根据bn=b1+（n-1）d，有b5=b1+4d，即3=2+4d， 所以d=，所以bn=2+（n-1）×=. 又因为an=a1+（n-1）×1=n+1=， 所以an=b4n-3， 即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时，4n-3=45， 故原数列的第12项为新数列的第45项. （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 解：由（1）知an=b4n-3，令4n-3=29，得n=8， 即新数列的第29项是原数列的第8项. 　　|思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： （1）定义：an+1-an是否为常数； （2）通项公式是否为关于n的一次函数. 针对训练 3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b97是数列{an}的第 （　　） A.32项　　 B.33项 C.34项　　 D.35项 √ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等差数列{bn}的公差为d1，等差数列{an}各项为a1，a1+d，a1+2d，…，等差数列{bn}各项为a1，a1+d1，a1+2d1，a1+3d1，a1+4d1，…，显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=d，b97=a1+96d1=a1+32d=a33，故选B. 4.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 （　　） A.15 B.16 C.17 D.18 √ 解析：易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an=12n-10，所以12n-10≤190，解得n≤，又n∈N+，所以n的最大值为16. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知{an}为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是 （　　） A. B.{kan} C.{anan+1} D.{} √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：若等差数列通项公式为an=n，此时=，anan+1=n（n+1），kan=kn， =，-=-不为常数，所以不是等差数列； an+1an+2-anan+1=（n+1）（n+2）-n（n+1）=2（n+1）不为常数， 所以{anan+1}不是等差数列；kan+1-kan=k（n+1-n）=k为常数， 所以{kan}是等差数列；-=-不为常数， 所以{}不是等差数列.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2 026= （　　） A.4 050 B.4 052 C.4 054 D.4 056 √ 解析：设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1=a1，b5=a2，b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，则b2 026=2 026×2=4 052. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知数列{an}中，a1=1且an+1=（n∈N+），则a10=（　　） A. B. C.- D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由an+1=（n∈N+）可得=+，即-=， 所以为以=1为首项，公差为的等差数列， 所以=1+×9=， 所以a10=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知数列{an}中，a1=5，3an+1=3an-2（n∈N+），则an= （　　） A.n+ B.-n+ C.-n- D.n- √ 解析：依题意a1=5，3an+1=3an-2（n∈N+），所以an+1=an-， 即an+1-an=-，所以数列{an}是首项为5，公差为-的等差数列， 所以an=-n+5+=-n+.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是 （　 ） A.132 B.133 C.134 D.135 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设所求数列为{an}，该数列为11，26，41，56，…，所以数列{an}为等差数列，且首项为a1=11，公差为d=26-11=15，所以an=a1+（n-1）d=11+15（n-1）=15n-4，则2≤an≤2 024，即2≤15n-4≤2 024，解得≤n≤135，则满足≤n≤135的正整数n的个数为135，因此该数列共有135项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m-n的值等于（　　） A.- B.- C. D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根分别为a1，a2，a3，a4，则数列a1，a2，a3，a4是首项为的等差数列，设其公差为d，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，①若a1，a4为方程x2-2x+m=0的两根，则a2，a3为方程x2-2x+n=0的两根，由根与系数的关系可得a1+a4=+a4=2，可得a4=，d==，则a2=，a3=，此时m=a1a4=，n=a2a3=，则m-n=-；②若a1，a4为x2-2x+n=0的两根，则a2，a3为方程x2-2x+m=0的两根，同理可得m=，n=，则m-n=.综上所述，m-n=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=4n-3，n∈N+，将{an}，{bn}各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列{cn}，则c2 023= （　　） A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据题意，得{an}：1，4，7，10，13，…；{bn}：1，5，9，13，17，….故{cn}：1，4，5，7，9，10，13，…， 把{cn}中的项按6个一组划分，则第k组可表示为12（k-1）+1， 12（k-1）+4，12（k-1）+5，12（k-1）+7，12（k-1）+9， 12（k-1）+10（k∈N+）， 又2 023=337×6+1，故c2 023是第338组的第一个数， 则c2 023=12×337+1=4 045. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知数列{an}满足an+1=且a1=2，则下列说法正确的是（　　） A.a3=- B.数列{an}是周期数列 C.是等差数列 D.数列的通项公式为an= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，由a1=2，得a2==，a3==-，A正确； 对于B、C，由an+1+1=，得== =+，则-=，数列是首项为， 公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，=+（n-1）=，则an+1=，解得an=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）已知三个数成等差数列，若这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为____________________.  -2，2，6或6，2，-2 解析：设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得或 故这三个数为-2，2，6或6，2，-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）已知数列{an}满足a1=1，若点在直线x-y+1=0上，则an=____________________.  n2（n∈N+） 解析：由题设可得-+1=0，即-=1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为=n，所以an=n2（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知函数f（x）在（-1，+∞）上具有单调性，且函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）= f（a51），则a1+a100等于________.  -2 解析：由题意函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称， 则函数f（x）的图象关于x=-1对称，且在（-1，+∞）上具有单调性，因为f（a50）=f（a51），所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1+a100=a50+a51=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知数列{an}满足2an+（n-1）an-1=nan+a1（n∈N+，且n≥2），证明：数列{an}为等差数列. 证明：将2an+（n-1）an-1=nan+a1（n≥2）中的n替换为n+1得2an+1+nan=（n+1）an+1+a1. 两式相减并整理得（n-1）an+1=（2n-2）an-（n-1）an-1（n≥2）， 即（n-1）an+1-（n-1）an=（n-1）an-（n-1）an-1， 由n≥2得an+1-an=an-an-1，即2an=an+1+an-1（n≥2）， 故数列{an}为等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2；（4分） 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列.因为a1=3，d=-5， 所以an=3+（n-1）×（-5）=8-5n.数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1=a3=-7，b2=a7=-27. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求{bn}的通项公式；（3分） 解：设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn=am，则m=3+4（n-1）=4n-1， 所以bn=am=a4n-1=8-5（4n-1）=13-20n， 即{bn}的通项公式为bn=13-20n（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）{bn}中的第506项是{an}中的第几项？（3分） 解：由（2）得m=4n-1=4×506-1=2 023， 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）已知正项数列{an}满足a1=1，+=2， 且a4-a2=. （1）求数列{}的通项公式；（5分） 解：由已知得-=-，所以数列{}是等差数列，设其公差为d.由a4-a2=，得-=2.所以2d=2， 即d=1，所以=+（n-1）d=n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.（5分） 解：由an>0，得an=，所以原不等式可化为+1<2， 两边平方可得n+6+2<4n， 即2<3n-6，所以4（n+5）<（3n-6）2， 整理得（n-4）（9n-4）>0，解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $