1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用 [课时跟踪检测] 1.等差数列{an}的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则x的值为 （　　） A.5x+15 B.2x+1 C.2 D.0 答案：D 2.设{an}是等差数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C　由{an}是等差数列，可得d=a2-a1>0，所以数列{an}是递增数列，充分性成立；若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2，即必要性成立. 3.在等差数列{an}中，已知a4=2，a8=14，则a15等于 （　　） A.32 B.-32 C.35 D.-35 解析：选C　由a8-a4=（8-4）d=4d，得d=3，所以a15=a8+（15-8）d=14+7×3=35. 4.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m的值为 （　　） A.12 B.8 C.6 D.4 解析：选B　由等差数列的性质，得a3+a6+a10+a13=（a3+a13）+（a6+a10）=2a8+2a8=4a8=32，∴a8=8，又d≠0，∴m=8. 5.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为 （　　） A. B.± C.- D.- 解析：选D　由等差数列的性质，得a1+a7+a13=3a7=4π，∴a7=.tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan =tan= -. 6.已知等差数列{an}递增且满足a1+a8=6，则a6的取值范围是 （　　） A.（-∞，3） B.（3，6） C.（3，+∞） D.（6，+∞） 解析：选C　因为{an}为等差数列，设公差为d，又数列{an}递增，所以d>0.所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6，则2a6-6=3d>0，解得a6>3. 7.设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则由an+bn所组成的数列的第37项的值为 （　　） A.0 B.37 C.100 D.-37 解析：选C　设cn=an+bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，设其公差为d，则c1=a1+b1=25+75=100，c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故cn=100（n∈N+）.从而c37=100. 8.[多选]若数列{an}是等差数列，公差d>0，则下列对数列{bn}的判断正确的是 （　　） A.若bn=-an，则数列{bn}是递减数列 B.若bn=，则数列{bn}是递增数列 C.若bn=an+an+1，则数列{bn}是公差为d的等差数列 D.若bn=an+n，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列 解析：选AD　由an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）且d>0，得bn=-an=-dn+（d-a1），即数列{bn}是递减数列，故A正确；由bn==[dn+（a1-d）]2，当d>a1时，如d=1，a1=-2，数列{bn}先减后增，故B错误；由bn=an+an+1=2dn+（2a1-d），则数列{bn}是公差为2d的等差数列，故C错误；由bn=an+n=（d+1）n+（a1-d），则数列{bn}是公差为d+1的等差数列，故D正确. 9.[多选]《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 （　　） A.冬至的日影子长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影子长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D.清明的日影子长为8.5尺 解析：选ACD　依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}（n∈N+，n≤12）是等差数列，因此，a1+a4+a7=37.5，而a1+a7=2a4，解得a4=12.5，又a12=4.5，设数列{an}的公差为d，于是得解得a1=15.5，d=-1，A正确；a10-a9=-1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确；而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确；a8=a1+（8-1）d=8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确. 10.（5分）设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　　　.   解析：∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，∴2ln 3=ln 9a+ln 3b， ∴ln 32=ln（9a·3b）=ln 32a+b， ∴32=32a+b， ∴2a+b=2. 答案：2 11.（5分）数列{an}中，a1=2，an=2an-1（n∈N+，2≤n≤10），则数列{an}的最大项为　　　　.  解析：法一　∵a1=2，an=2an-1，∴an≠0，∴=2>1，∴an>an-1，即{an}递增，∴{an}的最大项为a10=2a9=4a8=…=29·a1=29×2=210=1 024. 法二　用累乘法.由an=2an-1，得=2，于是an=··…···a1=2×2×2×…×2×2=2n， 显然{an}是递增数列，故{an}的最大项为a10=210=1 024. 答案：1 024 12.（5分）在如表所示的5×5矩形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格应填的数是　　　　.  * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 解析：记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y.由第3行得a33=，由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113①.由第1列得a21=3y，则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x， 所以2×74-3y=3×103-4x，即4x-3y=161②， 解①②，得x=50，y=13，所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格应填的数是142. 答案：142 13.（10分）若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列.若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项. （1）求和1的调和中项；（4分） （2）已知调和数列{an}，a1=6，a4=2，求{an}的通项公式.（6分） 解：（1）设和1的调和中项为b，依题意得3，，1成等差数列， 所以==2，解得b=， 故和1的调和中项为. （2）依题意，是等差数列，设其公差为d， 则3d=-⇒d=， 所以=+（n-1）d=+（n-1）=， 故an=. 14.（10分）已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24. （1）求a20的值；（4分） （2）若bn=an-，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.（6分） 解：（1）因为a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24， 所以a3=6，a4=8，则公差d=2， 所以a20=a3+17d=40. （2）由（1）得an=a3+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n， 所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0，即3n->0，得n>， 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 15.（10分）有一批小家电原销售价格为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电，则去哪一家商场购买花费较少？ 解：设某单位需购买小家电n台. 在甲商场购买时，所买小家电的售价构成等差数列{an}，an=780+（n-1）×（-20）=-20n+800，由an=-20n+800≥440，解得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价（800-20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600（元）.比较在甲、乙两家家电商场的费用（800-20n）n-600n=20n（10-n）.当n<10时，（800-20n）n>600n，到乙商场购买花费较少；当n=10时，（800-20n）n=600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10<n≤18时，（800-20n）n<600n，到甲商场购买花费较少；当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买小家电台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买小家电10台时，到两家商场购买花费相同；当购买小家电台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 学科网（北京）股份有限公司 $