1.2.1 第3课时 等差数列的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

1.2.1 第3课时 等差数列的综合问题 [课时跟踪检测] 1.已知{an}为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是 （　　） A. B.{kan} C.{anan+1} D.{} 解析：选B　若等差数列通项公式为an=n，此时=，anan+1=n（n+1），kan=kn， =， -=-不为常数， 所以不是等差数列； an+1an+2-anan+1=（n+1）（n+2）-n（n+1）=2（n+1）不为常数， 所以{anan+1}不是等差数列； kan+1-kan=k（n+1-n）=k为常数， 所以{kan}是等差数列； -=-不为常数， 所以{}不是等差数列.故选B. 2.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2 026= （　　） A.4 050 B.4 052 C.4 054 D.4 056 解析：选B　设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1=a1，b5=a2，b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，则b2 026=2 026×2=4 052. 3.已知数列{an}中，a1=1且an+1=（n∈N+），则a10= （　　） A. B. C.- D. 解析：选D　由an+1=（n∈N+）可得=+，即-=， 所以为以=1为首项， 公差为的等差数列， 所以=1+×9=， 所以a10=.故选D. 4.已知数列{an}中，a1=5，3an+1=3an-2（n∈N+），则an= （　　） A.n+ B.-n+ C.-n- D.n- 解析：选B　依题意a1=5，3an+1=3an-2（n∈N+），所以an+1=an-，即an+1-an=-， 所以数列{an}是首项为5，公差为-的等差数列，所以an=-n+5+=-n+.故选B. 5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是 （　 ） A.132 B.133 C.134 D.135 解析：选D　设所求数列为{an}，该数列为11，26，41，56，…，所以数列{an}为等差数列，且首项为a1=11，公差为d=26-11=15，所以an=a1+（n-1）d=11+15（n-1）=15n-4，则2≤an≤2 024，即2≤15n-4≤2 024，解得≤n≤135，则满足≤n≤135的正整数n的个数为135，因此该数列共有135项. 6.[多选]已知方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m-n的值等于 （　　） A.- B.- C. D. 解析：选BD　设方程（x2-2x+m）（x2-2x+n）=0的四个根分别为a1，a2，a3，a4，则数列a1，a2，a3，a4是首项为的等差数列，设其公差为d，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，①若a1，a4为方程x2-2x+m=0的两根，则a2，a3为方程x2-2x+n=0的两根，由根与系数的关系可得a1+a4=+a4=2，可得a4=，d==，则a2=，a3=，此时m=a1a4=，n=a2a3=，则m-n=-；②若a1，a4为x2-2x+n=0的两根，则a2，a3为方程x2-2x+m=0的两根，同理可得m=，n=，则m-n=.综上所述，m-n=±. 7.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=4n-3，n∈N+，将{an}，{bn}各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列{cn}，则c2 023= （　　） A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 解析：选D　根据题意，得{an}：1，4，7，10，13，…；{bn}：1，5，9，13，17，….故{cn}：1，4，5，7，9，10，13，…，把{cn}中的项按6个一组划分，则第k组可表示为12（k-1）+1，12（k-1）+4，12（k-1）+5，12（k-1）+7，12（k-1）+9，12（k-1）+10（k∈N+），又2 023=337×6+1，故c2 023是第338组的第一个数，则c2 023=12×337+1=4 045. 8.[多选]已知数列{an}满足an+1=且a1=2，则下列说法正确的是 （　　） A.a3=- B.数列{an}是周期数列 C.是等差数列 D.数列的通项公式为an= 解析：选ACD　对于A，由a1=2，得a2==，a3==-，A正确； 对于B、C，由an+1+1=，得== =+，则-=，数列是首项为， 公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，=+（n-1）=，则an+1=，解得an=，D正确. 9.（5分）已知三个数成等差数列，若这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为　　　　.  解析：设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得或 故这三个数为-2，2，6或6，2，-2. 答案：-2，2，6或6，2，-2 10.（5分）已知数列{an}满足a1=1，若点在直线x-y+1=0上，则an=　　　　　　　.  解析：由题设可得-+1=0，即-=1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为=n， 所以an=n2（n∈N+）. 答案：n2（n∈N+） 11.（5分）已知函数f（x）在（-1，+∞）上具有单调性，且函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则a1+a100等于　　　　.  解析：由题意函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，则函数f（x）的图象关于x=-1对称，且在（-1，+∞）上具有单调性，因为f（a50）=f（a51），所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1+a100=a50+a51=-2. 答案：-2 12.（10分）已知数列{an}满足2an+（n-1）an-1=nan+a1（n∈N+，且n≥2），证明：数列{an}为等差数列. 证明：将2an+（n-1）an-1=nan+a1（n≥2）中的n替换为n+1得2an+1+nan=（n+1）an+1+a1. 两式相减并整理得（n-1）an+1=（2n-2）an-（n-1）an-1（n≥2）， 即（n-1）an+1-（n-1）an=（n-1）an-（n-1）an-1， 由n≥2得an+1-an=an-an-1， 即2an=an+1+an-1（n≥2）， 故数列{an}为等差数列. 13.（10分）已知无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2；（4分） （2）求{bn}的通项公式；（3分） （3）{bn}中的第506项是{an}中的第几项？（3分） 解：（1）数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列. 因为a1=3，d=-5， 所以an=3+（n-1）×（-5）=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1=a3=-7，b2=a7=-27. （2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn=am，则m=3+4（n-1）=4n-1， 所以bn=am=a4n-1=8-5（4n-1）=13-20n， 即{bn}的通项公式为bn=13-20n（n∈N+）. （3）由（2）得m=4n-1=4×506-1=2 023， 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 14.（10分）已知正项数列{an}满足a1=1，+=2，且a4-a2=. （1）求数列{}的通项公式；（5分） （2）求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.（5分） 解：（1）由已知得-=-， 所以数列{}是等差数列，设其公差为d. 由a4-a2=，得-=2. 所以2d=2，即d=1， 所以=+（n-1）d=n. （2）由an>0，得an=， 所以原不等式可化为+1<2， 两边平方可得n+6+2<4n， 即2<3n-6， 所以4（n+5）<（3n-6）2， 整理得（n-4）（9n-4）>0， 解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $