1.1.1 数列的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

第一章 数　列 数列的概念及其函数特性 §1 数列的概念 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 1.1 课时目标 1.理解数列的概念和表示方法；能根据数列的前几项写出数列的一个 通项公式. 2.会由通项公式写出数列的任一项，理解数列是一种特殊函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　数列的概念与分类 逐点清(二)　数列的表示方法与通项公式 逐点清(三)　根据数列的前几项求通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　数列的概念与分类 01 1.数列的概念 多维理解 定义 按一定_______排列的一列数叫作数列 项 数列中的_________叫作这个数列的项 表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列______，其中a1是数列的第1项，也叫数列的_____；an是数列的第n项，也叫数列的______ 次序 每一个数 {an} 首项 通项 2.数列的分类 类别 含义 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 有限 无限 |微|点|助|解| （1）{an}与an的含义完全不同：{an}表示一个数列，an表示数列的第n项. （2）如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. （3）同一个数在数列中可以重复出现. 1.下列各项表示数列的是（　　） A.a，b，c，…，x，y，z B.2 020，2 021，2 022，…，2 026 C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.a+b，a-b，ab，2a 微点练明 √ 解析：数列必须由数组成，A、C、D中均不是数. 2.[多选]下列有关数列的说法正确的是 （　　） A.数列{an}中，若a3=3，则从第二项起，各项都不等于3 B.数列-2，0，2与数列2，0，-2是同一个数列 C.数列4，7，3，4的首项为4，末项为4 D.数列中的每一项都与它的序号有关 √ √ 解析：常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确；数列-2，0，2与2，0，-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；由数列的定义可知首项为4，末项也为4，故C正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选CD. 3.判断下列说法的正误，并说明理由. （1）{0，1，2，3，4}是有穷数列； 解：错误.{0，1，2，3，4}是集合，不是数列. （2）所有自然数能构成数列； 解：正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列. （3）-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列. 解：错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成. 逐点清(二)　数列的表示方法 与通项公式 02 1.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：_______、图象法、_________. 2.数列与函数的关系 数列可以看作定义域为正整数集N+（或其子集）的函数. 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成__________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 多维理解 列表法 通项公式 an=f（n） |微|点|助|解| （1）已知通项公式an=f（n），那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项. （2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=（-1）n还可以写成an=（-1的形式等. （3）不是所有数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. 1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则该数列的前4项依次为（　　） A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 √ 微点练明 解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0. 2.下列四个数中，是数列{n（n+1）}中的一项的是 （　　） A.380 B.392 C.321 D.232 √ 解析：n=19时，n（n+1）=380. 3.若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的 （　　） A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 √ 解析：因为1=37×0，37=37×1，314=37×2，321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37（n-1）.由37（n-1）=398解得n=15，所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，n∈N+. （1）写出数列的前3项； 解：在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. （2）判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 解：令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-（舍去）， 故45是数列{an}中的第5项.令2n2-n=3，得2n2-n-3=0， 解得n=-1或n=，故3不是数列{an}中的项. 逐点清(三)　根据数列的前几项 求通项公式 03 [典例]　写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）a，b，a，b，…； 解：因为数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为an= 也可记为an=+（-1）n+1，n∈N+. （2），，，，…； 解：由这个数列的前4项为，，，， 其分母都是序号n加上1， 分子都是分母的平方减去1， 故an=，n∈N+. （3）-，，-，，…； 解：由这个数列的前4项为-，，-，， 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，故an=，n∈N+. （4）0.3，0.33，0.333，0.333 3，…. 解：因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-， 而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an=，n∈N+. [变式拓展] 　若典例（4）变为-3，33，-333，3 333，…，求这个数列的通项公式. 解：因为-3=（-1）1××（10-1）， 33=（-1）2××（100-1），-333=（-1）3××（1 000-1）， 所以an=，n∈N+. |思|维|建|模| 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式. （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或（-1）n+1处理符号，有时也可用分段形式. （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： （1）1，3，7，15，31，…； 解：由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…，可得an=2n-1. （2），，，，，…； 解：由=，=，=，=，=，…， 可得an=. 针对训练 （3）-，，-，，-，…； 解：由-，，-，，-，…，可知奇数项为负数， 偶数项为正数，可得an=（-1）n×. （4）2×3，3×4，4×5，5×6，…. 解：由2×3=（1+1）×（1+2），3×4=（2+1）×（2+2）， 4×5=（3+1）×（3+2），5×6=（4+1）×（4+2），…， 可得an=（n+1）（n+2）. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列说法正确的是 （　　） A.数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7} B.数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列 C.数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：对A，{1，3，5，7}表示集合，不是数列；对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么 （　　） A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 √ √ 解析：分别令2n2-n的值为30，45，66，90，可知只有当2n2-n=45时，n=5或n=-（舍去）；当2n2-n=66时，n=6或n=-（舍去），故45，66是数列{an}的一项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在数列{an}中，若an=则a4+a5的值为（　　） A.17 B.23 C.25 D.41 √ 解析：依题意，a4+a5=23+（2×5-1）=17. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知数列，，…，，，则是这个数列的（　　） A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第23项 √ 解析：=，故是这个数列的第23项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.数列0，，，，…的通项公式可能是（　　） A. B. C.n+ D.n- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，当n=1时，=1≠0，故A错误；对于B，当n=2时，=≠，故B错误；对于C，当n=1时，n+=2≠0，故C错误； 对于D，因为数列0，，，，…可以写成 1-，2-，3-，4-，…，故其通项公式可以写成an=n-，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知数列{an}的通项公式为an=a·3n-1，且a2=8，则a4= （　　） A.1 B.2 C.26 D.80 √ 解析：因为a2=8，代入通项公式可得a2=a·32-1=9a-1=8，解得a=1， 所以an=3n-1，所以a4=34-1=80. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知数列0，lg 2，lg 3，lg 4，…，根据该数列的规律，数列中小于1的项有 （　　） A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 √ 解析：根据规律可得该数列的通项公式为an=lg n，由lg n<1得，n<10.∵n∈N+，∴该数列中小于1的项有9项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知数列{an}的通项公式an=（n∈N+），记f（n）=（1-a1）（1-a2）·…·（1-an），通过计算f（1），f（2），f（3），归纳出f（n）的 表达式是（　　） A.f（n）= B.f（n）= C.f（n）= D.f（n）= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意an=（n∈N+），则f（1）=1-a1=1-=， f（2）=（1-a1）（1-a2）===，f（3）=（1-a1）· （1-a2）（1-a3）==，可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍.故归纳出f（n）的表达式是f（n）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知数列{an}的通项公式为an=n2+b，且2和7是{an}中的两项，则b= （　　） A.-3 B.-2 C.1 D.3 √ 解析：设ak=k2+b=2，am=m2+b=7，其中k，m∈N+，且k<m， 所以am-ak=m2-k2=（m-k）（m+k）=7-2=5.因为k，m∈N+，且k<m，则m-k，m+k∈N+，所以m-k，m+k为5的两个约数，显然m-k<m+k，所以解得则a2=4+b=2，解得b=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知数列，3， ，…， ，那么9是该数列的第_______项.  14 解析：令=9，解得n=14.由此可知9是该数列的第14项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=________，若an=，则n=________.  12 解析：∵an=，∴a10==. 由an==，得n2+2n-168=0， 解得n=12或n=-14（舍去）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点.  n2-n+1 解析：观察图中5个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n个图中点的个数为（n-1）n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）分别写出下列数列的一个通项公式： （1）4，-，2，-，…；（2分） 解：原数列可写成，-，，-，…， 可得该数列的一个通项公式为 an=（-1）n+1（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）1，1，，，，…；（2分） 解：原数列可写成，，，，，…， 可得该数列的一个通项公式为an=（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用（-1）n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的一个通项公式为an=（-1）n（n∈N+）. （3）-1，3，-5，7，-9，…；（3分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （4），3，，，3，….（3分） 解：原数列可写成，，，，，…，可得该数列的一个通项公式为an=（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（15分）已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30. （1）求数列的前三项，60是此数列的第几项；（6分） 解：由an=n2-n-30，得a1=1-1-30=-30，a2=22-2-30=-28，a3=32-3-30=-24. 设an=60，则60=n2-n-30， 解得n=10或n=-9（舍去）. ∴60是此数列的第10项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）n为何值时，an=0，an>0，an<0.（9分） 解：令an=n2-n-30=0，解得n=6或n=-5（舍去），∴a6=0. 令n2-n-30>0，解得n>6或n<-5（舍去），∴当n>6（n∈N+）时，an>0. 令n2-n-30<0，解得0<n<6，∴当0<n<6（n∈N+）时，an<0. 综上，当n=6时，an=0；当n>6（n∈N+）时，an>0； 当0<n<6（n∈N+）时，an<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. （1）写出它的第10项；（4分） 解：a10===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）判断是不是该数列中的项；（6分） 解：令an==，当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0，解得n=-或n=5， 因为n∈N+且n为偶数，所以原方程无解；当n为奇数时，因为n∈N+， 所以an<0，所以不是该数列中的项.综上所述，不是该数列中的项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）求an+1及a2n.（5分） 解：an+1==；a2n==. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $