阶段质量评价 第二章 平面向量及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

阶段质量评价 第二章　平面向量及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若D为△ABC的边AB的中点,则= (　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 解析:=+=+2=+2(+)=2-.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　) A.6 B.5 C.1 D.-6 解析:∵2a+b=(3,0),∴(2a+b)·a=3×2+0×(-1)=6.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 解析:设AB=c,AC=b,BC=a,结合余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得19=a2+4-2×a×2×cos 120°,即a2+2a-15=0, 解得a=3(a=-5舍去).故BC=3.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.若|a|=2,|b|=3,a·b=4,则|a-2b|的值是 (　　) A.24 B.2 C.-24 D.-2 解析:∵|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2=4-16+36=24,∴|a-2b|=2.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 5.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点, =-2,若=x+y,则x+y=(　　) A.1 B.6 C. D. 解析:∵=-=-=-,∴x=,y=-.∴x+y=-=.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且++2=0,则△AOB的面积是(　　) A.4 B. C. D.2 解析:根据题意,设AB的中点为D.由△ABC是等边三角形,则CD⊥AB.由AB的中点为D,则+=2.又由+ +2=0,则=-,则O是CD的中点.又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=2,则OD=,则S△AOB=×4× =2,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,弧ACB和弧ADB分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=,AC=BC=1,则弧ACB的半径为(　　) A.1 B. C.2 D. 解析:∵∠ACB=,AC=BC=1,∴由余弦定理得AB2=AC2+ BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1+1-2×=3. ∴AB=.∵弧ACB的半径即为△ABC的外接圆半径, ∴可设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得=2r, 即2r==2,解得r=1.∴弧ACB的半径为1.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动,深受大众喜爱.如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图,已知图中自行车的前轮圆A,后轮圆D的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均为边长为4的正三角形,设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,·的最大值为(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 解析:选择,为基底,=+=+,=+=-+2+, ·=-+·+2+(+)·=24+·≤24+||||= 36,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知向量m+n=(3,1),m-n=(1,-1),则(　　) A.(m-n)∥n B.(m-n)⊥n C.|m|=|n| D.<m,n>=45° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:由得∵m-n=(1,-1),∴1×(-1)≠1×1, 即m-n与n不平行,A错误. ∵(m-n)·n=1×1+(-1)×1=0,∴(m-n)⊥n,B正确. ∵|m|==2,|n|==,∴|m|=|n|,C正确. ∵cos<m,n>===,<m,n>∈[0,π],∴<m,n>=,即<m,n>=45°, D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,AD,BE,CF交于点G,则 (　　) A.=- B.=-+ C.+= D.++=0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:因为D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,所以==-, 故A错误; 由平行四边形法则可知,=+=-+,故B正确; =-=++=++=++=++ +=+,故C正确; 由题意知,点G为△ABC的重心,所以++=-(++)=- ×(+++++)=0,D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.定义运算=mn-pq.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足=0,则下列结论正确的是(　　) A.sin A+sin C=2sin B B.A∶C=1∶2 C.角B的最大值为 D.若asin A=4csin C,则△ABC为钝角三角形 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:由=0可知(a+b+c)-3(a+c-b)=0,整理可知a+c=2b. 由正弦定理可知,sin A+sin C=2sin B,从而可知A正确; 由A=B=C=满足a+c=2b,但不满足A∶C=1∶2,故B不正确; cos B===≥=(当且仅当a=c时取“=”),又0<B<π,∴B的最大值为,故C正确;由asin A=4csin C可得a2=4c2,解得a=2c,又a+c=2b,从而可得c=b,a=b,a为最大边,cos A= ==-<0,A∈(0,π),角A为钝角,故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知非零向量a=(2x,y),b=(1,-2),且a∥b,则=__________. - 解析:∵a∥b,∴-2×2x=1×y,即y=-4x. ∴=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.(5分)中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题,如图,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高48丈的标杆BC和DE,两杆相距BD=800步,D,B,H三点共线且在同一水平面上,从点B退行100步到点F,此时A,C,F三点共线,从点D退行120步到点G,此时A,E,G三点也共线,则山峰的高度AH=__________步.(古制单位: 180丈=300步) 3 280 解析:由题可知BC=DE=48×=80步,BF=100步,DG=120步,BD=800步.在Rt△AHF中,==,在Rt△AHG中,==.所以HF=AH,HG=AH,则HG-HF=800-100+120=820=AH.所以AH=3 280步. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.(5分)(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点, CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=__________;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为__________. 解析:以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0), B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,所以=,=(-1,0), =(0,1).因为=λ+μ,所以=λ(-1,0)+μ(0,1), 所以λ=,μ=1,即λ+μ=.由B(1,0),E可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(a,3-3a),则G,所以=(a,3-3a), =,所以·=a·+(3-3a)·=5a2-6a+= 5-.所以当a=时,·取得最小值,为-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(6分) 解:由题可得,ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0⇒k=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.(7分) 解:因为A,B,C三点共线,a与b不共线,所以存在实数λ,使得=λ,即2a+3b=λ(a+mb),整理得(8,3)=(λ+2mλ,mλ), 所以⇒m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.(15分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B.E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,;(7分) 解:由题意,得=-=b-a, =+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b, =+=-+=-a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)证明:B,E,F三点共线.(8分) 解:证明:因为=-a+b, =+=-+=-a+= -a+b=, 所以=.所以与共线. 又与有公共点B,所以B,E,F三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.(15分)如图,在△ABC中,=+. (1)求△ABM与△ABC的面积之比;(5分) 解:在△ABC中,=+, 则4=3+,3(-)=-, 即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点. 故△ABM与△ABC的面积之比为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y (x,y∈R),求x+y的值.(10分) 解:因为=+,∥, =x+y(x,y∈R),所以x=3y. 因为N为AB的中点,所以=-=x+y- =+y,=-=x+y- =x+(y-1). 因为∥.所以(y-1)=xy,即2x+y=1.又x=3y, 所以x=,y=.所以x+y=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)sin A+ csin(A+B)=bsin B. (1)求角B;(8分) 解:∵sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 由已知结合正弦定理可得(a-c)a+c2=b2, ∴a2+c2-b2=ac. ∴cos B===. ∵B∈(0,π),∴B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值,并求出此时△ABC的面积.(9分) 解:∵b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-b2, ∴16-b2≤3,解得b≥2,当且仅当a=c=2时取等号. ∴bmin=2,△ABC周长的最小值为6, 此时△ABC的面积S=acsin B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.(17分)某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6 km处, B位于O的北偏东60°方向10 km处. (1)求集镇A,B间的距离;(5分) 解:在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°, 根据余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos 120°= 62+102-2×6×10×=196,所以AB=14,故集镇A,B间的距离为14 km. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3 km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短.(12分) 解:依题意得,直线MN必与圆O相切.设切点为C,连接OC(图略),则OC⊥MN.设OM=x,ON=y,MN=c,在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin 120°, 得×3c=xysin 120°,即xy=2c.由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120°= x2+y2+xy≥3xy,所以c2≥6c,解得c≥6.当且仅当x=y=6时,c取得最小值6.所以当码头M,N与集镇O的距离均为6 km时,M,N之间的直线航线最短,最短距离为6 km. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $