2 1.3 综合应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.3　综合应用 　 第四章 §1　同角三角函数的基本关系 知识目标 1．理解同角三角函数的基本关系式及其变形．　 2．会运用弦切互化求值．　 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、证明． 素养目标 通过同角三角函数基本关系的综合应用，培养学生逻辑推理、数学运算素养． 题型一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 1 题型二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 2 课时测评 6 题型四　三角恒等式的证明 4 内容索引 随堂演练 5 题型三　三角函数式的化简 3 题型一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 返回 (链教材P148例4)已知sin θ＋cos θ＝ .求sin θcos θ的值． 例1 变式探究 1．(变结论)已知本例条件不变，若0<θ<π，求sin θ－cos θ的值． 所以sin θ＞0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＞0， 2．(变结论)已知本例条件不变，若0<θ<π，求tan θ的值． 规律方法 关于sin θ±cos θ与sin θcos θ的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．常涉及的三角恒等式有： 1．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 2．(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ. 3．(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2. 4．(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．　　 √ √ 返回 题型二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 返回 (一题多解)(链教材P149例5)已知tan α＝2，求下列各式的值： 例2 (2)2sin2α－sinαcos α＋cos2α. 规律方法 已知tanα的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 1．对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入． 规律方法 3．对于形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，将其看成分母为1的分式，先将分母1变形为sin2α＋cos2α，再转化为形如 的式子求值．　　 √ √ 返回 题型三　三角函数式的化简 返回 化简： 例3 规律方法 三角函数式的化简技巧 1．化切为弦：即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． 2．对于含有根号：常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．　　 3．对于化简含高次的三角函数式：往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 对点练3．化简： 返回 题型四　三角恒等式的证明 返回 例4 所以等式成立． 所以等式成立． 规律方法 证明三角恒等式常用的方法 1．化繁为简法：从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． 2．左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． 3．化异为同法：即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． 证明：法一(作差法)：因为sin x≠0， 所以cos x≠－1， 法二：由sin 2x＋cos 2x＝1， 所以sin 2x＝1－cos 2x＝(1＋cos x)(1－cos x)， 因为sin x≠0，所以cos x≠－1， 返回 课堂小结 知识 1．同角三角函数基本关系式的变形. 2．同角三角函数的综合应用 方法 “1”的代换、配方法、整体代换法、化繁为简法、左右归一法、变更命题法 易错误区 忽略题目中本身的取值范围导致出错 随堂演练 返回 1．化简 的结果是 A．cos160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° √ 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.故选C． √ 3．已知sinα＋cos α＝3cos αtan α，则cos2αtanα √ 3 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 若α是第二象限角，则tan α ＝ A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知tan x＝2，则sin x cos x＋1等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 tan x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(2024·上海高一下月考) (1)证明：2cos2θ＋sin4θ＝cos4θ＋1；(4分) 证明：(1)因为2cos2θ＋sin4θ－(cos4θ＋1)＝2cos2θ－1＋(sin2θ－cos2θ)(sin2θ＋cos2θ)＝2cos2θ－1＋sin2θ－cos2θ＝sin2θ＋cos2θ－1＝0， 所以2cos2θ＋sin4θ＝cos4θ＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)α为第二象限角，求sin α－cos α；(5分) 又由α为第二象限角，sin 2α＋cos 2α＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)2sin αcos α－cos 2α.(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)判断α是第几象限角；(7分) 解：选择①：因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝ ， 所以sin αcos α＝－ <0，又因为0<α<π， 所以sin α>0，进而可得cos α<0， 由此可知α是第二象限角． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为0<α<π，所以sin α>0，进而可得cos α<0， 由此可知α是第二象限角． 又因为0<α<π，所以α是第二象限． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求值：sin2α－3sinαcos α.(10分) 又由sin α>0，cos α<0，可知sin α－cos α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选择③：因为α是第二象限角，所以cos α≠0， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 三 角 恒 等 变 换 返回 即sin2θ＋2sinθcos θ＋cos2θ＝， 所以sinθcos θ＝－. 解：因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 解：因为sin θ＋cos θ＝＞0，sin θcos θ＝－<0，0<θ<π， 所以sin θ－cos θ＝＝＝. 解：因为sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝， 解得sin θ＝，cos θ＝， 所以tan θ＝＝－. 对点练1．(1)设sin θ－cos θ＝，则sin θ·cos θ＝ A．－ B．－ C． D． 因为(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ，sin θ－cos θ＝，所以sin θcos θ＝.故选D． (2)已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝ A． B．－ C． D．－ 由题意可得2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，则2＝1－2sin θcos θ＝，由0<θ≤，可知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－.故选B． 法二(弦化切)：因为tan α＝2，所以＝＝＝＝－. (1)； 解：法一(代入法)：因为tanα＝2，所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 解：2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝＝ ＝＝＝. 2．对于形如或的分式，分子、分母同时除以cosα或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值． 对点练2．(1)已知＝2，则tan α＝ A．－ B．－ C． D．3 依题意，2＝＝，解得tan α＝.故选C． (2)若sin α－3cos α＝0，则等于 A．1 B．2 C．3 D．4 由sin α－3cos α＝0，得sin α＝3cos α，所以＝＝＝＝2.故选B． (1)－； 解：原式＝ ＝＝＝－2tan2α. 解：原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α ＝＝＝. (2)； 解：原式＝＝＝1. (3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α. 解：原式＝(＋)(1－cos α) ＝＝＝＝sin α. (1)； 解：原式＝＝＝1. (2)(＋)(1－cos α)； (3)·. 解：原式＝· ＝· ＝· ＝·＝＝ (链教材P149例7)(一题多解)求证：＝. 证明：法一：左边＝＝＝＝＝右边． 法二：右边＝＝ ＝＝＝＝左边． 4．变更命题法：如要证明＝，可证ad＝bC． 5．比较法：如证明“左边－右边＝0”或“＝1”．　　 对点练4．(一题多解)求证：＝(其中sin x≠0). 因为－＝＝＝0， 所以＝. 所以＝. ＝＝|cos160°|＝－cos 160°.故选D． A． B． C．1 D． A．－ B． C．－ D． 因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3cos α·，即sin αcos α＋cos 2α＝3cos αsin α，即cos 2α＝2cos αsin α，显然cos α≠0，所以cos α＝2sin α，则tan α＝，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，所以cos 2αtan α＝×＝.故选D． 4．如果tan α＝1，那么＝________． 由tan α＝1，得＝＝＝3. 1. ·cos 215°＝ A． B． C．1 D． 原式＝·cos 215°＝cos 215°＋sin 215°＝1.故选C． 因为α是第二象限角，则tan α<0，所以tan α＝tan α＝tan α＝－＝－1.故选B． A． B． C．2 D．3 sin x cos x＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝.故选B． 4．若α∈，2sinα＋cos α＝，则tan α＝ A．－ B．－ C．－ D．－ 由2sin α＋cos α＝得：cos α＝－2sin α，所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋(－2sinα)2＝5sin2α－sinα＋＝1，解得：sin α＝或sin α＝－，又α∈，所以sin α>0，即sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝＝－.故选C． 5．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是 A．sin θcos θ<0 B．sin θ－cos θ＝ C．cos θ＝ D．sin θ＝ 由sin θ＋cos θ＝　①，以及sin2θ＋cos2θ＝1，对等式①两边平方得1＋2sinθcos θ＝，sin θcos θ＝－　②，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，由②得cos θ<0，由①②sin θ，cos θ可以看作是一元二次方程x2－x－＝0的两个根，解得sin θ＝，cos θ＝－，sin θ－cos θ＝，故A正确，B正确，C错误，D正确．故选ABD． 6．化简：sin2x＝________． sin2x＝sin2x＝＝tan x． 7．已知角α终边过点，且＝，则实数m＝______． 因为角α的终边过点，所以tan α＝，所以＝＝＝＝，解得m＝3. 8．已知x∈(0，π)，若＝，则＝___________. 由＝知1－cos x≠0，于是＝＝＝＝＝. (2)已知＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，求证：＝.(6分) 证明：因为＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z，所以－1<sinx<1，cos x<0，所以 ＝ ＝ ＝|| ＝. 10．已知α是第四象限的角，化简＋的结果是 A． B．－ C．－ D． 原式＝＋＝＋＝＋＝，因为α是第四象限的角，所以cos α>0，所以原式化简的结果是.故选D． 11．(多选)已知α∈，且sin α＋cos α＝，则 A．<α<π B．sin αcos α＝－ C．cos α－sin α＝ D．cos α－sin α＝－ 对于A，B，sin α＋cos α＝两边平方得，sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，故B正确，因为α∈，所以sin α>0，故cos α<0，所以<α<π，故A正确；对于C，D，(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1＋＝，因为sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，故cos α－sin α＝－，故C错误，D正确．故选ABD． 12．(多选)已知＝3，－<α<，则 A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝－ C．sin 4α－cos 4α＝ D．＝ 对于A，因为＝3，所以sin α＋cos α＝3sin α－3cos α，所以sin α＝2cos α，所以tan α＝＝2，所以A正确；对于B，因为sin α＝2cos α，－<α<，所以0<α<，因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以4cos 2α＋cos 2α＝1，5cos 2α＝1，所以cos α＝，sin α＝，所以sin α－cos α＝，所以B错误； 对于C，因为cos α＝，sin α＝，所以sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝－＝＝，所以C正确；对于D，因为＝3，所以＝＝＝＝，所以D正确．故选ACD． 可得sin 2α＋(－3sin α)2＝1，解得sin α＝(负值舍去)， 再由cos α＝－3sin α得出cos α＝－， 进而得出sin α－cos α＝－＝. 13．(13分)已知tan ＝－，求下列式子的值： 解：利用诱导公式化简得tan (π＋α)＝tan α＝－， 又由tan α＝＝－，得cos α＝－3sin α， 故得出2sin αcos α－cos 2α＝－. 解：由2sin αcos α－cos 2α＝， 分子分母同除以cos 2α可得， 再由(1)中tan α＝－可得＝－， 14．(5分)(新情境)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若＝5，则sin α＋cos α的值为 A． B． C． D． 设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为a sin α，a cos α，故S1＝a2，S2＝a2－4×a sin α·a cos α＝a2(1－2sin αcos α)，则＝＝5，所以sin αcos α＝，又α为锐角，则sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α＝＝.故选A． 15．(17分)(开放题)从①sin α＋cos α＝，②sin α－cos α＝，③tan (2π＋α)＝－2，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．已知0<α<π，且满足____________． 选择②：因为(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－<0， 选择③：因为tan (2π＋α)＝tan α，所以tan α＝－2<0， 与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝，cos α＝， 所以sin2α－3sinαcos α＝－3·＝. 解：选择①：由(1)得sin αcos α＝－， 所以(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝， 所以sin α－cos α＝＝， 所以sin2α－3sinαcos α＝－3·＝. 选择②：由(1)得sin αcos α＝－， 所以(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝， 所以sin α＋cos α＝±，与sin α－cos α＝联立解得sin α＝， 又因为sin2α＋cos2α＝1，tanα＝， 所以sin2α－3sinαcos α＝ ＝＝＝＝. $$