6 2.4 积化和差与和差化积公式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.4　积化和差与和差化积公式 　 第四章 §2　两角和与差的三角函数公式 知识目标 1．理解根据公式Sα±β，Cα±β推导出积化和差与和差化积公式．　 2．了解积化和差与和差化积公式的应用． 素养目标 通过对积化和差、和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过利用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养． 知识点一　三角函数的积化和差 1 知识点二　三角函数的和差化积 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　三角函数的积化和差 返回 问题导思 问题1．利用Cα±β公式探究积化和差公式，能用cos (α±β)表示cos αcos β及sin αsin β吗？ 提示：能．由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， 运用方程思想得，cos αcos β＝ [cos (α＋β)＋cos (α－β)]；sin αsin β＝ － [cos (α＋β)－cos (α－β)]. 问题2．利用Sα±β公式探究积化和差公式，能用sin (α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？ 提示：能．类似地由sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，运用方程思想得，sin αcos β＝ [sin (α＋β)＋sin (α－β)]，cos αsin β＝ [sin (α＋β)－sin (α－β)]. 新知构建 积化和差公式 cos αcos β＝_________________________； sin αsin β＝__________________________； sin αcos β＝_______________________； cos αsin β＝________________________． 微提醒 (1)积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘以常数的形式．(2)在积化和差公式中角α，β均为任意角．(3) 积化和差公式的记忆口决：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦相乘取负号． (链教材P160例8，P160例9)求值： (1)sin 37.5° cos 7.5°； 例1 (2)cos 15°sin 105°； (3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 规律方法 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果．　　 对点练1．把下列各式化为和差形式： (1)sin αsin 3α； (2)cos (α＋β)cos (α－β)； 返回 知识点二　三角函数的和差化积 返回 问题导思 新知构建 和差化积公式 sin x＋sin y＝__________________； sin x－sin y＝__________________； cos x＋cos y＝__________________； cos x－cos y＝____________________． 微提醒 (1)和差化积公式的记忆口诀：“正加正，正在前，余加余，余并肩．正减正，余在前，余减余，负正弦”. (2)在和差化积公式中角x，y均为任意角． (链教材P161例10，P161例11)把下列各式化为积的形式： (1)sin 104°＋sin 16°； 例2 规律方法 在应用和差化积时，必须是一次同名(正切除外).若是异名，必须用诱导公式化为同名．若是高次函数，必须利用公式降为一次．　　 √ 返回 综合应用 返回 例3 积化和差与和差化积公式的综合应用 所以原式成立． 所以原式成立． 所以原等式成立． 规律方法 1．证明三角恒等式的关注点 (1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值． (2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密． 2．解决与三角形有关的综合问题的三个关键点 (1)熟记积化和差与和差化积的公式． (2)三角形中的隐含条件：比如sin (A＋C)＝sin B等． (3)三角函数值域的有界性．　　 所以原式成立． 对点练4．在△ABC中，若B＝30°，求cos A sin C的取值范围． 因为－1≤sin (A－C)≤1， 返回 课堂小结 知识 1．三角函数的积化和差. 2．三角函数的和差化积 方法 公式法、整体代换法 易错误区 由于公式记忆不正确而造成错误 随堂演练 返回 1．sin 15°sin 75°等于 √ 2．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝ －2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－ cos 4θcos θ；④cos 5θ＋cos 3θ＝2cos 4θcos θ，其中正确的等式个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，①错误；cos 3θ－cos 5θ＝2sin 4θsin θ，②错误；sin 3θ－sin 5θ＝－2cos 4θsin θ，③错误；④正确．故选B． √ π 返回 课时测评 返回 1．将sin 93°＋sin 27°化为积的形式，下列结论正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在△ABC中，若sin A sin B＝ (1＋cos C)，则△ABC是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．化简：sin 25°·cos 65°＋sin 20°·sin 70°＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若sin x＋sin 3x＋sin 5x＝a，cos x＋cos 3x＋cos 5x＝b，则tan 3x＝____ . (结果用a，b表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(开放题)已知在△ABC中，A>C，且B＝60°，问能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1，求出A和C的值？若能，则求出，否则说明理由． 解：能求出A和C的值， 因为在△ABC中，B＝60°，所以A＋C＝120°， 又因为log4sin A＋log4sin C＝－1， 所以cos (A－C)＝0， 又因为0°<A－C<120°，所以A－C＝90°， 又因为A＋C＝120°，所以A＝105°，C＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．4sin 40°－tan 40°的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求tan θ的值．(8分) 解得tan θ＝2或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(开放题)若定义在R上的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)＝1，则满足上述条件的函数f(x)可以为_____________________________________．(写出一个即可) f(x)＝1(答案不唯一，f(x)＝cos ωx也可 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)在△ABC中，sin B＋sin C＝1. (1)证明：△ABC不是直角三角形；(7分) 证明：若sin B＝1，则sin C＝0，显然不成立，则角B不是直角，同理角C不是直角． 综上所述，△ABC不是直角三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求角A的最大值．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 三 角 恒 等 变 换 返回 [cos (α＋β)＋cos (α－β)] －[cos (α＋β)－cos (α－β)] [sin (α＋β)＋sin (α－β)] [sin (α＋β)－sin (α－β)] 解：sin 37.5 °cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)] ＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝. 解：cos 15°sin 105°＝[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)] ＝[sin 120°－sin (－90°)]＝×＋×1＝＋. 解：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. 解：sin αsin 3α＝－[cos (α＋3α)－cos (α－3α)]＝－(cos 4α－cos 2α) ＝cos 2α－cos 4α. 解：cos (α＋β)cos (α－β)＝{cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]} ＝(cos 2α＋cos 2β)＝cos 2α＋cos 2β. (3)sin cos . 解：sin cos ＝[sin (＋A＋B)＋sin (A－B)] ＝[cos (A＋B)＋sin (A－B)] ＝cos (A＋B)＋sin (A－B). (3)cos x＋cos y＝2cos cos ； (4)cos x－cos y＝－2sin sin . 问题3．在积化和差公式中，令则α＝，β＝，能得到什么样的关系？ 提示：(1)sin x＋sin y＝2sin cos ； (2)sin x－sin y＝2cos sin ； 2sin cos 2cos sin 2cos cos －2sin sin 解：sin 104°＋sin 16°＝2sin ·cos ＝2sin 60°cos 44° ＝cos 44°. (2)cos ＋cos . 解：cos ＋cos ＝2cos cos ＝2cos αcos ＝cos α. 对点练2．(1)化简的结果为 A．tan α B．tan 2α C． D． 原式＝＝tan 2α.故选B． (2)已知α－β＝，cos α＋cos β＝，则cos ＝__________． 因为α－β＝，所以cos α＋cos β＝2cos cos ＝2cos ·cos ＝，所以cos ＝. (1)(一题多解)求证：tan －tan ＝； 证明：法一：因为tan －tan ＝－＝ ＝＝＝＝， 法二：因为＝ ＝＝－＝tan －tan . (2)△ABC中，求证：2sin cos ＋sin B－sin C＝4sin sin cos . 证明：左边＝2sin cos ＋2sin ·cos ＝2cos ＝4sin sin cos ＝右边， 对点练3．证明：＝. 证明：原式＝ ＝ ＝＝＝. 解：cos A sin C＝[sin (A＋C)－sin (A－C)] ＝[sin B－sin (A－C)]＝－sin (A－C). 所以－≤－sin (A－C)≤， 所以cos A sin C的取值范围是. A． B． C． D．1 sin 15°sin 75°＝－[cos 90°－cos (－60°)]＝.故选B． 3．函数f(x)＝sin sin 的最小正周期为________． f(x)＝sin cos x＝[sin (2x＋)＋sin ]＝sin ＋，所以最小正周期T＝＝π. 4．＝________． 原式＝＝tan 30°＝. A．cos 43° B．cos 33° C．cos 53° D．cos 63° sin 93°＋sin 27°＝2sin cos ＝cos 33°.故选B． 2．2sin sin －sin ＋cos ＝ A．0 B．sin C．2cos D．2sin 2sin sin －sin ＋cos ＝cos (－)－cos －cos ＋cos ＝cos －cos －cos ＋cos ＝－cos (π－)＋cos ＝2cos .故选C． 3．函数f(x)＝cos x sin 的最大值为 A． B．1 C． D． 因为f(x)＝[sin －sin (x－x－)]＝sin ＋，所以f(x)max＝＋＝.故选D． 由已知得sin A sin B＝－[cos (A＋B)－cos (A－B)]，则－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝(1＋cos C)，又A＋B＝π－C，所以cos (A＋B)＝－cos C，代入上式，化简得cos (A－B)＝1.又A，B为△ABC的内角，所以A－B＝0.所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．故选B． 5．(多选)若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则下列结论中正确的是 A．α－β＝－ B．α－β＝ C．tan ＝ D．tan ＝－ 因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin cos ＝，因为α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以∈(0，π)，∈，从而sin ≠0，于是tan ＝，所以＝，从而α－β＝.故选BC． sin 25°·cos 65°＋sin 20°·sin 70°＝[sin (25°＋65°)＋sin (25°－65°)]＋[cos (20°－70°)－cos (20°＋70°)]＝(sin 90°－sin 40°)＋(cos 50°－cos 90°)＝－sin 40°＋cos 50°－0＝－sin 40°＋sin 40°＝. 7．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan 的值为______． 由sin α＋sin β＝，得2sin cos ＝，由cos α＋cos β＝，得2cos cos ＝，所以tan ＝. 由和差化积公式得sin 5x＋sin x＝2sin cos ＝2sin 3x cos 2x，cos 5x＋cos x＝2cos cos ＝2cos 3x cos 2x，sin x＋sin 3x＋sin 5x＝2sin 3x cos 2x＋sin 3x＝sin 3x(2cos 2x＋1)，cos x＋cos 3x＋cos 5x＝2cos 3x cos 2x＋cos 3x＝cos 3x，故＝＝tan 3x，故tan 3x＝. 所以sin A sin C＝， 所以[cos (A－C)－cos (A＋C)]＝， 10．已知sin ＋sin α＝－，－<α<0，则cos 等于 A．－ B． C．－ D． 因为sin ＋sin α＝2sin cos ＝－，所以sin ＝－，cos ＝cos ＝－sin ＝－＝.故选B． A． B． C． D． 原式＝4sin 40°－＝ ＝ ＝ ＝＝＝.故选D． 12．对任意x，y∈R，恒有sin x＋cos y＝2sin (＋)cos ，则sin cos 等于 A． B． C． D． 由方程组解得所以sin cos ＝＝(－)＝.故选B． 13．(13分)已知sin θsin ＝. (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求cos 的值；(5分) 解：sin θsin ＝{cos [(θ＋)－θ]－cos [(θ＋)＋θ]} ＝＝－cos ＝， 可得cos ＝－. 解：因为sin θsin ＝sin θ＝， 所以sin 2θ＋sin θcos θ＝， 则＝＝， 令x＝0，则f＋f＝2f，所以f＝f，所以函数f为偶函数，可取f＝1，则f＝f＝f＝f＝1，所以∀x，y∈R，f＋f＝2ff，所以函数f＝1符合题意．故答案为f＝1.(答案不唯一，f＝cos ωx也可). 若A＝，则1＝sin B＋sin C＝sin B＋sin (－B)＝sin B＋cos B， 则1＝(sin B＋cos B)2＝1＋sin 2B，则B＝，矛盾，则角A不是直角． 解：1＝sin B＋sin C＝2sin cos ＝2sin cos ＝2cos cos ≤2cos ，故cos ≥，即0<≤， 即0<A≤，又A＝，B＝C＝满足条件，则角A的最大值是. $$