第4章 2.4 积化和差与和差化积公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

２． ４　 积化和差与和差化积公式 关键能力　 攻重难 例１：（１）ｓｉｎ π１２ － ｃｏｓ π １２ ＝ ｓｉｎ π １２ － ｓｉｎ ５π １２ ＝ ２ｃｏｓ π １２ ＋ ５π １２ ２ ｓｉｎ π １２ － ５π １２ ２ ＝ ２ｃｏｓ π４ ｓｉｎ － π( )６ ＝ －槡２２ ． （２）ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ７０° ＋ ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ５０° ＝ １２ （ｓｉｎ ９０° － ｓｉｎ ５０°）－ １ ２ （ｃｏｓ ６０° － ｃｏｓ ４０°）＝ １ ４ － １ ２ ｓｉｎ ５０° ＋ １ ２ ｃｏｓ ４０° ＝ １ ４ － １ ２ ｓｉｎ ５０° ＋ １ ２ ｓｉｎ ５０° ＝ １ ４ ． 对点训练１：原式＝ － １２ （ｃｏｓ ４０° － ｃｏｓ ０°）＋ １ ２ （ｃｏｓ １００° ＋ ｃｏｓ ０°）＋ １２ （ｓｉｎ ７０° － ｓｉｎ ３０°） ＝ １ ＋ １２ （ｃｏｓ １００° － ｃｏｓ ４０°）＋ １ ２ ｓｉｎ ７０° － １ ４ ＝ ３４ ＋ １ ２ （－ ２ｓｉｎ ７０°ｓｉｎ ３０°）＋ １ ２ ｓｉｎ ７０° ＝ ３４ － １ ２ ｓｉｎ ７０° ＋ １ ２ ｓｉｎ ７０° ＝ ３ ４ ． 例２：∵ ｃｏｓ α － ｃｏｓ β ＝ １２ ， ∴ －２ｓｉｎ α ＋ β２ ｓｉｎ α － β ２ ＝ １ ２ ，① 又∵ ｓｉｎ α － ｓｉｎ β ＝ － １３ ， ∴ ２ｃｏｓ α ＋ β２ ｓｉｎ α － β ２ ＝ － １ ３ ．② ∵ ｓｉｎ α － β２ ≠０， ∴由①②得－ ｔａｎ α ＋ β２ ＝ － ３ ２ ， ∴ ｔａｎ α ＋ β２ ＝ ３ ２ ． 对点训练２：１３３０ 　 因为ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ２ ３ ，ｓｉｎ（α － β）＝ １ ５ ，所 以ｓｉｎ（α ＋ β）＋ ｓｉｎ（α － β）＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ ２３ ＋ １ ５ ＝ １３ １５，所以 ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ １３３０ ． 例３：【证明】　 （１）左边＝ （ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ ５Ａ）＋ ２ｓｉｎ ３Ａ（ｓｉｎ ３Ａ ＋ ｓｉｎ ７Ａ）＋ ２ｓｉｎ ５Ａ ＝ ２ｓｉｎ ３Ａｃｏｓ ２Ａ ＋ ２ｓｉｎ ３Ａ２ｓｉｎ ５Ａｃｏｓ ２Ａ ＋ ２ｓｉｎ ５Ａ ＝ ２ｓｉｎ ３Ａ（ｃｏｓ ２Ａ ＋ １） ２ｓｉｎ ５Ａ（ｃｏｓ ２Ａ ＋ １）＝ ｓｉｎ ３Ａ ｓｉｎ ５Ａ ＝ 右边． （２）左边＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ２ｃｏｓ １２０°ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｂ ＋ ２ｃｏｓ １２０°ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ａ － ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ ｓｉｎ Ｂ － Ａ ２ ２ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ２ ｓｉｎ Ｂ － Ａ ２ ＝ ｔａｎ Ａ ＋ Ｂ２ ＝右边． 对点训练３：由Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ １８０°，得Ｃ ＝ １８０° －（Ａ ＋ Ｂ）， 即Ｃ２ ＝ ９０° － Ａ ＋ Ｂ ２ ，∴ ｃｏｓ Ｃ ２ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ ２ ． ∴ ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ ＋ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ ２ ＝ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ ·ｃｏｓ Ａ － Ｂ ２ ＋ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ ２ ·ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ ２ ＝ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ ｃｏｓ Ａ － Ｂ ２ ＋ ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ( )２ ＝ ２ｃｏｓ Ｃ２·２ｃｏｓ Ａ ２·ｃｏｓ － Ｂ( )２ ＝ ４ｃｏｓ Ａ２ ｃｏｓ Ｂ ２ ｃｏｓ Ｃ ２ ， ∴原等式成立． 例４：因为函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ５２ ｘ ２ｓｉｎ ｘ２ － １２与ｇ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３的图象在（０，π）内至少有一个公共点， 所以 ｓｉｎ ５２ ｘ ２ｓｉｎ ｘ２ － １２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３在（０，π） 内至少有一个解， 即ｓｉｎ ５２ ｘ － ｓｉｎ ｘ ２ ＝２ｓｉｎ ｘ ２ ［ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ －３］， 所以２ｃｏｓ ３２ ｘｓｉｎ ｘ ＝ ２ｓｉｎ ｘ２ ［ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３］， ２ｃｏｓ ３２ ｘｃｏｓ ｘ ２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３， ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３， 所以ａ ＝（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）＋ １１ ＋ ｃｏｓ ｘ，令１ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ ｔ，ｔ∈（０，２）， 所以ａ≥２，当且仅当ｘ ＝ π２时等号成立，所以ａ的取值范围 是［２，＋ ∞）． 对点训练４：ｃｏｓ ｘ ＋ ２π( )３ ＋ ｃｏｓ ｘ － π( )６ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ ２π( )３ ＋ ｘ － π( )６[ ]２ ｃｏｓ ｘ ＋ ２π( )３ － ｘ － π( )６[ ]２ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ ｃｏｓ ５π１２， ｃｏｓ ５π１２ ＝ ｃｏｓ π ４ ＋ π( )６ ＝ ｃｏｓ π４ ｃｏｓ π６ － ｓｉｎ π４ ｓｉｎ π６ ＝槡槡６ － ２４ ． 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ ·ｃｏｓ ５１２π ＝槡槡６ － ２２ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ ． 因为ｘ∈ － π２ ， π[ ]２ ， 所以ｘ ＋ π４ ∈ － π ４ ， ３ ４[ ]π ．所以ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ ∈ －槡２２ ，[ ]１                                                                      ， —５２３— 所以ｆ （ｘ）的最大值为槡槡６ － ２２ ，最小值为槡槡 ６ － ２ ２ × －槡２( )２ ＝ 槡１ － ３２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｙ ＝ １２ ［ｓｉｎ（ｘ ＋ ｙ）－ ｓｉｎ（ｘ － ｙ）］，故选Ｄ． ２． Ｂ　 ｓｉｎ（４５° ＋Ａ）－ ｓｉｎ（４５° － Ａ）＝２ｃｏｓ ９０°２ ｓｉｎ ２Ａ ２ ＝ ２ｃｏｓ ４５°ｓｉｎ Ａ 槡＝ ２ｓｉｎ Ａ． ３． Ｂ　 ｓｉｎ ７５° － ｓｉｎ １５° ＝２ｃｏｓ ７５° ＋１５°２ ｓｉｎ ７５° －１５° ２ ＝ ２ × 槡２ ２ × １ ２ ＝ 槡２ ２ ．故选Ｂ． ４． Ｂ　 原式＝ － ２ｓｉｎ ２αｓｉｎ（－ α）２ｃｏｓ ２αｓｉｎ α ＝ ２ｓｉｎ ２αｓｉｎ α ２ｃｏｓ ２αｓｉｎ α ＝ ｔａｎ ２α． ５．方法一：左边＝ ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － １２ ｛ｓｉｎ ［（α ＋ β）＋ α］－ ｓｉｎ β｝ ＝ ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － １２ ［ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ（α ＋ β）ｓｉｎ α］＋ １ ２ ｓｉｎ β ＝ １２ ［ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － ｃｏｓ（α ＋ β）ｓｉｎ α］＋ １ ２ ｓｉｎ β ＝ １ ２ ｓｉｎ ［（α ＋ β）－ α］＋ １ ２ ｓｉｎ β ＝ ｓｉｎ β ＝右边． 方法二：左边 ＝ ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － [１２ ２ｃｏｓ ２α ＋ β ＋ β２ ｓｉｎ ２α ＋ β － β ]２ ＝ ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － ｃｏｓ（α ＋ β）ｓｉｎ α ＝ ｓｉｎ ［（α ＋ β）－ α］＝ ｓｉｎ β ＝右边． § ３　 二倍角的三角函数公式 ３． １　 二倍角公式 必备知识　 探新知 知识点　 ２ｓｉｎ αｃｏｓ α　 ｃｏｓ２α － ｓｉｎ２α　 ２ｃｏｓ２α － １ １ － ２ｓｉｎ２α 关键能力　 攻重难 例１：（１）原式＝ ２ｓｉｎ π１２ ｃｏｓ π １２ ２ ＝ ｓｉｎ π６ ２ ＝ １ ４ ． （２）原式＝ ｃｏｓ（２ × ７５０°）＝ ｃｏｓ １ ５００° ＝ ｃｏｓ（４ × ３６０° ＋ ６０°）＝ ｃｏｓ ６０° ＝ １２ ． （３）原式＝ ｔａｎ（２ × １５０°）＝ ｔａｎ ３００° ＝ ｔａｎ（３６０° － ６０°） 槡＝ － ｔａｎ ６０° ＝ － ３． （４）原式＝ ２ｓｉｎ ２０°·ｃｏｓ ２０°·ｃｏｓ ４０°·ｃｏｓ ８０°２ｓｉｎ ２０° ＝ ２ｓｉｎ ４０°·ｃｏｓ ４０°·ｃｏｓ ８０°４ｓｉｎ ２０° ＝ ２ｓｉｎ ８０°·ｃｏｓ ８０° ８ｓｉｎ ２０° ＝ ｓｉｎ １６０°８ｓｉｎ ２０° ＝ １ ８ ． 对点训练１：（１）Ｂ 　 （２）槡３１６ 　 （１） 槡 ｓｉｎ ７０° １ － ｓｉｎ ５０° ｓｉｎ ４０° ＝ ｃｏｓ ２０° ｓｉｎ２２５° ＋ ｃｏｓ２槡 ２５° － ２ｓｉｎ ２５°ｃｏｓ ２５° ２ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ２０° ＝ ｃｏｓ ２５° － ｓｉｎ ２５° ２ｓｉｎ ２０° ＝槡２ｓｉｎ（４５° － ２５°）２ｓｉｎ ２０° ＝槡 ２ ２ ，故选Ｂ． （２）ｃｏｓ π９ ｃｏｓ ２π ９ ｓｉｎ ３π ９ ｃｏｓ ４π ９ ＝ ｓｉｎ π９ ｃｏｓ π ９ ｃｏｓ ２π ９ ｓｉｎ ３π ９ ｃｏｓ ４π ９ ｓｉｎ π９ ＝ １ ２ ｓｉｎ ２π ９ ｃｏｓ ２π ９ ｓｉｎ π ３ ｃｏｓ ４π ９ ｓｉｎ π９ ＝ １ ４ ｓｉｎ ４π ９ ｃｏｓ ４π ９ ｓｉｎ π ３ ｓｉｎ π９ ＝ １ ８ ｓｉｎ ８π ９ ｓｉｎ π ３ ｓｉｎ π９ ＝ １ ８ ｓｉｎ π ９ ｓｉｎ π ３ ｓｉｎ π９ ＝ １ ８ ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ １６，故答案为槡 ３ １６ ． 例２：（１）７２５ 　 （２）－ １ ２ 　 （１）方法一：由ｃｏｓ π ４ －( )α ＝ ４５ ， 得槡２２ （ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）＝ ４ ５ ．两边同时平方，得 １ ２ （ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α） ２ ＝ １６２５ ．故１ ＋ ｓｉｎ ２α ＝ ３２ ２５ ． 所以ｓｉｎ ２α ＝ ７２５ ． 方法二：由二倍角公式，得ｃｏｓ２ π４ －( )α ＝ １ ＋ ｃｏｓ π２ － ２( )α ２ ＝ １ ＋ ｓｉｎ ２α２ ＝ １６ ２５，所以ｓｉｎ ２α ＝ ７ ２５ ． 方法三：因为ｃｏｓ π４ －( )α ＝ ４５ ，所以ｓｉｎ ２α ＝ ｃｏｓ π２ － ２( )α ＝ ｃｏｓ ２ π４ －( )α ＝ ２ｃｏｓ２ π４ －( )α － １ ＝ ２ × １６２５ － １ ＝ ７２５ ． （２）由题设得ｔａｎ（π ＋ ２α）＝ ｔａｎ ２α ＝ － ４３ ．由二倍角公式， 得ｔａｎ ２α ＝ ２ｔａｎ α １ － ｔａｎ２α ＝ － ４３ ，整理得２ｔａｎ ２α － ３ｔａｎ α － ２ ＝ ０，解得 ｔａｎ α ＝ ２或ｔａｎ α ＝ － １２ ．因为α是第二象限的角，所以ｔａｎ α ＝ － １２ ． 对点训练２：由ｔａｎ α ＋ １ｔａｎ α ＝ ５ ２ ，得 ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α ＝ ５２ ． 则２ｓｉｎ ２α ＝ ５ ２ ，即ｓｉｎ ２α ＝ ４ ５ ， 因为α∈ π４ ， π( )２ ，所以２α∈ π２ ，( )π ， 所以ｃｏｓ ２α ＝ － １ － ｓｉｎ２２槡 α ＝ － ３５ ，ｓｉｎ ２α ＋ π( )４ ＝ ｓｉｎ ２α·ｃｏｓ π４ ＋ ｃｏｓ ２α·ｓｉｎ π ４ ＝ ４ ５ × 槡２ ２ － ３ ５ × 槡２ ２ ＝ 槡２ １０ ． 例３：因为２α － β ＝ ２（α － β）＋ β，ｔａｎ（α － β）＝ １２                                                                       ， —６２３— 〉 ABCD ３ 　 　 已知两个电流瞬时值函数式分别是Ｉ１ ＝ １２ｓｉｎ ωｔ － π( )６ ，Ｉ２ ＝ １０ｓｉｎ ωｔ ＋ π( )６ ，求合成后的电流Ｉ ＝ Ｉ１ ＋ Ｉ２ ． KLMN%OPQ １．计算ｓｉｎ ７°ｃｏｓ ２３° ＋ ｓｉｎ ８３°ｃｏｓ ６７°的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １２ Ｂ． １ ２ Ｃ．槡３２ Ｄ． －槡 ３ ２ ２． ｃｏｓ α －槡３ｓｉｎ α化简的结果可以是 （　 　 ） Ａ． １２ ｃｏｓ π ６ －( )α Ｂ． ２ｃｏｓ π３ ＋( )α Ｃ． １２ ｃｏｓ π ３ －( )α Ｄ． ２ｃｏｓ π６ －( )α ３．求值：１２ ｃｏｓ π １２ ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ π １２ ＝ 　 　 　 　 ． ４． ｆ（ｘ）＝ ｜ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ ｜的最小正周期为　 　 　 　 ． ５．已知ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )３ ． （１）求ｆ（ｘ）的最小正周期； （２）求ｆ（ｘ）的单调递增区间． 请同学们认真完成练案［３１                     ］ ２． ４　 积化和差与和差化积公式 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导积化和差、和差化积公 式的过程． ２．会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明．（数学运算） 通过证明及应用积化和差与和差化积公 式，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算 素养． )*+,%-.+ 知识点　 积化和差、和差化积公式 名称 公式 积化和差 ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ １２ ［ｓｉｎ（α ＋ β）＋ ｓｉｎ（α － β）］，ｃｏｓ αｓｉｎ β ＝ １ ２ ［ｓｉｎ（α ＋ β）－ ｓｉｎ（α － β）］， ｃｏｓ αｃｏｓ β ＝ １２ ［ｃｏｓ（α ＋ β）＋ ｃｏｓ（α － β）］，ｓｉｎ αｓｉｎ β ＝ － １ ２ ［ｃｏｓ（α ＋ β）－ ｃｏｓ（α － β）］ 和差化积 ｓｉｎ ｘ ＋ ｓｉｎ ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ ｙ２ ｃｏｓ ｘ － ｙ ２ ，ｓｉｎ ｘ － ｓｉｎ ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ ｙ ２ ｓｉｎ ｘ － ｙ ２ ， ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｙ ＝ ２ｃｏｓ ｘ ＋ ｙ２ ｃｏｓ ｘ － ｙ ２ ，ｃｏｓ ｘ － ｃｏｓ ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ ＋ ｙ ２ ｓｉｎ ｘ － ｙ ２ !") /012%345 ●678%ogkädkägoij¨ƒTsv;<IJ １．（１）化简：ｓｉｎ π１２ － ｃｏｓ π １２； （２）求值：ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ７０° ＋ ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ５０°． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 求ｓｉｎ２２０° ＋ ｃｏｓ２５０° ＋ ｓｉｎ ２０°·ｃｏｓ ５０°的值． ●67E%ogkädkägoij¨ƒvsv;<IJ ２．已知ｃｏｓ α － ｃｏｓ β ＝ １２ ，ｓｉｎ α － ｓｉｎ β ＝ － １ ３ ，求ｔａｎ α ＋ β( )２ 的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 已知ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ２３ ，ｓｉｎ（α － β）＝ １ ５ ，则ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： lj‘¥-@AB[ V€nF/Ÿ?^, _6TWj-§j9 :šþʚ?zD c0TWj-§j9 :?› ' ( O ± A jt±“j-§j9 :#-@¿ ． 归纳提升： １̈ ©LMl¥‘¥` a? %59BœL –—cì?ª=Õ# Cuð‘ˆÐ FŒ TU?¡LӑŸc ì?udãd³”- v¿0æ ． （２） 0cå«rå« c0 / Ÿ X - !å «3r!03QB“ §j9:¥ª#-@ ¿?g Œ B “ j - @¿ ． !"* 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%xJogkäz kägoijŽŒj ３．证明：（１）ｓｉｎ Ａ ＋ ２ｓｉｎ ３Ａ ＋ ｓｉｎ ５Ａｓｉｎ ３Ａ ＋ ２ｓｉｎ ５Ａ ＋ ｓｉｎ ７Ａ ＝ ｓｉｎ ３Ａ ｓｉｎ ５Ａ； （２）ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ（１２０° ＋ Ｂ）＋ ｃｏｓ（１２０° － Ｂ）ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ（１２０° ＋ Ａ）－ ｓｉｎ（１２０° － Ａ）＝ ｔａｎ Ａ ＋ Ｂ ２ ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 在△ＡＢＣ中，求证：ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ ＋ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ ２ ＝ ４ｃｏｓ Ａ ２ ｃｏｓ Ｂ ２ ｃｏｓ Ｃ ２ ． ●67]%xJogkäz kägoij„…HTFG‡6 　 　 不同角的正余弦和差及乘积出现时，通常利用和差化积与积化和差公式进行化简 与求值，此时需熟悉并能正确地应用好此公式． ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ５２ ｘ ２ｓｉｎ ｘ２ － １２与ｇ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ａ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）－ ｃｏｓ ｘ － ３的图象在 （０，π）内至少有一个公共点，求ａ的取值范围． ［归纳提升］ 归纳提升： JK§jwxŸ-¤ Ž59B´µxŸ³ HTý?P&§jw xOû?ÂFc|0 ìt}~%tOx ‰JxI?LxŸ ³H - !u3 c 0 !›3?ꟌWJ '?] O ž 0 ­ Ÿ gJ ． 归纳提升： １． ¶F0cå«tå «c0/Ÿ?%G… z]4«/Ÿ-žŸ Tý?nh/Ÿ#- @¿ ． ２． ‘h§j9:-¥ רY¥©¦ëd- 4âá １̈ ©žÏ ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＋ ｃ -§j9: c0 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） ＋ ｃ Ê ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）＋ ｃ -žŸ?¡‘ ¥×¨Y¥© ． ２̈ ©žÏ ｙ ＝ ａｓｉｎ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ Ê ｙ ＝ ａｃｏｓ２ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＋ ｃ -§ j9:?]œý ｓｉｎ ｘ ＝ ｔ Ê ｃｏｓ ｘ ＝ ｔ ?c0 @M ｔ -èÙ9:‘ ¥×¨Y¥© ． !!" 〉 ABCD ４ 　 　 求函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ２π( )３ ＋ ｃｏｓ ｘ － π( )６ ，ｘ∈ － π２ ，π[ ]２ 的最值． KLMN%OPQ １．下列四个等式中，不正确的是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｓｉｎ ｘｓｉｎ ｙ ＝ １２ ［ｃｏｓ（ｘ － ｙ）－ ｃｏｓ（ｘ ＋ ｙ）］ Ｂ． ｃｏｓ ｘｃｏｓ ｙ ＝ １２ ［ｃｏｓ（ｘ － ｙ）＋ ｃｏｓ（ｘ ＋ ｙ）］ Ｃ． ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｙ ＝ １２ ［ｓｉｎ（ｘ － ｙ）＋ ｓｉｎ（ｘ ＋ ｙ）］ Ｄ． ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｙ ＝ １２ ［ｓｉｎ（ｘ － ｙ）－ ｓｉｎ（ｘ ＋ ｙ）］ ２． ｓｉｎ（４５° ＋ Ａ）－ ｓｉｎ（４５° － Ａ）可化简为 （　 　 ） Ａ． －槡２ｓｉｎ Ａ Ｂ．槡２ｓｉｎ Ａ Ｃ． １２ ｓｉｎ Ａ Ｄ． － １ ２ ｓｉｎ Ａ ３． ｓｉｎ ７５° － ｓｉｎ １５°的值为 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ． － １ ２ ４．化简ｃｏｓ α － ｃｏｓ ３αｓｉｎ ３α － ｓｉｎ α的结果为 （　 　 ） Ａ． ｔａｎ α Ｂ． ｔａｎ ２α Ｃ． ｃｏｔ α Ｄ． ｃｏｔ ２α ５．求证：ｓｉｎ（α ＋ β）ｃｏｓ α － １２ ［ｓｉｎ（２α ＋ β）－ ｓｉｎ β］ ＝ ｓｉｎ β． 请同学们认真完成练案［３２                       ］ § $ 二倍角的三角函数公式 ３． １　 二倍角公式 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．理解倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在 联系．（数学抽象） ２．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单 的恒等变形． 通过推导二倍角公式以及三角恒等变 换，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学 运算素养． !!!