4.1 同角三角函数的基本关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过课前自主落实基础，结合三角函数定义推导平方关系与商数关系，搭建从概念到应用的学习支架，衔接三角恒等变换后续内容。 其亮点是采用梯度进阶式教学，通过题型分类（求值、齐次式等）和思维建模总结策略，培养数学思维与表达能力，如例2齐次式弦化切体现转化思想，助力学生提升解题能力，教师可直接使用丰富资源高效教学。

第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.理解 同角三角函数的基本关系式. 2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α+cos2α=_____ 商数关系 tan α=________ 1 (1)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的.如sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠kπ+(k∈Z)成立. (2)变形形式 ①1=sin2α+cos2α; ②sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α; ③sin α=±,cos α=±; ④sin α=cos αtan α; ⑤(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. |微|点|助|解| 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意角α,sin2+cos2=1都成立. ( 　) (2)当sin α=时,cos α=. ( 　) (3)由于平方关系对任意角都成立,故sin2α+cos2β=1也成立. ( 　) (4)当α≠kπ+,k∈Z时,cos2α=. ( 　) 基础落实训练 √ × × √ 2.化简 =(　　) A.cos B.-cos C.sin D.-sin √ 3.已知3sin α+cos α=0,则tan α=__________. - 解析:因为3sin α+cos α=0,所以cos α=-3sin α. 所以tan α===-. 4.已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为__________. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用同角三角函数的基本关系求值 [例1]　(1)已知sin α=,α∈,则tan α=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为sin α=,α∈,则cos α=-=-, 所以tan α==-.故选B. √ (2)(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=__________. - 解析:由且θ∈, 解得故sin θ-cos θ=-. 　　利用同角三角函数的基本关系求值的策略 (1)已知三角函数值及角的终边所在象限:可直接利用同角三角函数的基本关系求值. (2)已知三角函数值,而角的终边所在象限未知:需要对角的终边所在的象限进行分类讨论,再求值. (3)所给三角函数值含字母,且角的终边所在的象限未知:需要对字母取值的符号进行讨论,进而确定角的终边可能在的象限,再讨论求值. |思|维|建|模| 针对训练 1.已知x∈,tan x=-,则cos等于(　　) A. B.- C.- D. 解析:∵tan x==-,∴cos x=-sin x.由sin2x+cos2x=sin2x+sin2x= sin2x=1,得sin2x=.又x∈,∴sin x=. ∴cos=cos=-sin x=-. √ 2.设cos(-80°)=k,那么tan 100°等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析:∵cos(-80°)=cos 80°=k,∴sin 80°==, ∴tan 100°=-tan 80°=-.故选B. √ 题型(二)　齐次式的求值问题 [例2]　已知tan α=2. (1)求的值; 解:法一(代入法):∵tan α=2, ∴=2.∴sin α=2cos α. ∴==-. 法二(弦化切):∵tan α=2,∴ ====-. (2)求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值. 解:2sin2α-sin αcos α+cos2α= ===. 已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α,cos α的齐次式,可根据同角三角函数的商数关系,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切,整体代入. (2)对于形如或 的分式,分子、分母同时除以cos α,cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值. (3)对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. |思|维|建|模| 针对训练 3.已知tan θ=2,则sin θsin=(　　) A. B. C.- D.- 解析:sin θsin=-sin θcos θ=-=-=-.故选D. √ 4.已知方程sin2α+2sin αcos α-2sin α-4cos α=0,则cos2α-sin αcos α= (　　) A.- B. C.- D. 解析:因为方程sin2α+2sin αcos α-2sin α-4cos α=0,所以sin α(sin α+2cos α)-2(sin α+2cos α)=0,即(sin α+2cos α)(sin α-2)=0,则sin α+2cos α=0或sin α-2=0(舍去).所以tan α=-2.所以cos2α-sin αcos α=== =,故选B. √ [例3]　已知sin α+cos α=(0<α<π),求sin αcos α和sin α-cos α的值. 题型(三)　利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 解:因为sin α+cos α=(0<α<π), 所以(sin α+cos α)2=, 即sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 所以sin αcos α=-. 由上知,α为第二象限角,所以sin α-cos α>0. 所以sin α-cos α= ==. “sin α±cos α,sin αcos α”的应用策略 (1)sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2= 1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=. (2)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”.利用此关系求sin α+cos α或sin α-cos α的值时,要注意判断它们的符号. |思|维|建|模| 5.若sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为(　　) A. B.- C. D.- 针对训练 解析:∵(cos α-sin α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×=, ∴cos α-sin α=±.又<α<,sin α>cos α, ∴cos α-sin α=-. √ 6.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=__________. - 解析:∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即2sin αcos α=-<0. 又α∈(0,π),则sin α>0,cos α<0,∴α∈. 故sin α-cos α==, 可得sin α=,cos α=-,tan α=-. [例4]　化简:(1); 题型(四)　利用同角三角函数关系化简、证明 解:原式===1. (2)· (其中α是第三象限角). 解:(原式=· =· =· =·. 又因为α是第三象限角,所以sin α<0. 所以原式=·=-1. 1.三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. |思|维|建|模| 2.证明三角恒等式的常用方法 证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法: (1)从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则. (2)证明左、右两边等于同一个式子. (3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立. |思|维|建|模| 7.求证:2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0. 针对训练 证明:∵左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1=2(sin2θ+cos2θ) (sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)- (3sin4θ+3cos4θ)+1=-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1=-(sin2θ+cos2θ)2+1= -1+1=0=右边,∴原等式成立. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若sin α=-,且α为第三象限角,则tan α=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为sin α=-,且α为第三象限角,所以cos α=-,所以tan α=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图,点P为角α的终边与单位圆O的交点, tan(α+π)= (　　) A.- B. C.- D. 解析:由单位圆可知,cos α=,且α为第一象限角,根据同角三角函数的基本关系可得sin α==.所以tan α==.所以tan(α+π)= tan α=.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.化简的结果是(　　) A.cos 160° B.±|cos 160°| C.±cos 160° D.-cos 160° 解析:==|cos 160°|=-cos 160°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知sin α-3cos α=0,则3sin αcos α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:由已知得tan α=3,所以3sin αcos α===.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若sin θ,cos θ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根,则实数m的值是 (　　) A.1+ B.1- C.-1± D.-1- 解析:由题意,得Δ=(2m)2-4×4m>0, 解得m>4或m<0. 又由根与系数的关系得 故-2×=1,即m2-2m-4=0, 解得m=1±, 因为m>4或m<0,所以m=1-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]若sin α与cos α是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,α∈,则下列结论正确的是(　　) A.m= B.sin αcos α= C.α=或 D.α=或 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意有 又sin2α+cos2α=1, 解得或 所以sin αcos α=,α=或.故A、C正确,B、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:甲等价于sin2α=1-sin2β=cos2β,等价于sin α=±cos β,所以由甲不能推导出sin α+cos β=0,所以甲不是乙的充分条件;由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,平方可得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知=4,则tan α=__________. 2 解析:∵==4,∴tan α=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)化简:1+cossintan(π+α)的结果为__________. cos2α 解析:1+cossintan(π+α)=1-sin α·cos α·tan α= 1-sin α·cos α·=1-sin2α=cos2α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知α∈,tan α=2,则cos α=__________. - 解析:∵tan α=2,∴sin α=2cos α.又∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.又∵α∈,∴cos α=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)国际数学家大会已经有了一百多年历史,每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与.21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行,有来自100多个国家的4 200多位数学家参加了本次大会.这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》,该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形,若图中所示的角为α(0°<α<45°),且大正方形与小正方形的面积之比为25∶1,则cos α=_____. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为, 因此小正方形的边长为,大正方形的边长为. 因为大正方形与小正方形的面积之比为25∶1, 所以===5,则cos α-sin α=, 两边平方得2cos αsin α=,而0°<α<45°,即有cos α>sin α>0, 于是cos α+sin α==,解得cos α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知<α<π,tan α-=-. (1)求tan α的值;(6分) 解:令tan α=x,则x-=-, 整理得2x2+3x-2=0,解得x=或x=-2. 因为<α<π,所以tan α<0.故tan α=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求的值.(4分) 解:= =tan α+1=-2+1=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)(1)分别计算cos4-sin4和cos2-sin2,cos的值,你有什么发现?(3分) 解:cos4-sin4 = =cos2-sin2=-==cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)分别计算cos4-sin4和cos2-sin2,cos的值,你有什么发现?(3分) 解:cos4-sin4 = =cos2-sin2=-=0=cos. (3)证明:∀x∈R,cos2x-sin2x=cos4x-sin4x.(2分) 解:证明:cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x. (4)推测∀x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.(2分) 解:推测cos2x-sin2x=cos 2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)求证:-=. 证明:法一:左边= = = = ==右边.所以原等式成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二:左边 = == =(sin x+1-cos x-cos x-1+sin x)==右边. 所以原等式成立. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $