2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量在几何证明、长度计算及物理问题中的应用，通过习题讲评式教学，以向量基本运算为基础搭建学习支架，衔接向量概念与实际应用的知识脉络。 其亮点在于融合几何与物理情境，采用基向量法、坐标法等多元策略，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言（模型观念）。例如几何证明中两种方法对比，物理问题中速度、力的向量建模，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法. 2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 向量在平面几何证明中的应用 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 题型(三) 平面向量在物理中的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)向量在平面几何证明中的应用 01 [例1]　如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB, BC的中点.求证:AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以⊥,即AF⊥DE. 证明:法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0. 又=+=-a+b,=+=b+a, 所以·=·= -a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥,即AF⊥DE. 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明. ②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. |思|维|建|模| 1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O, DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 针对训练 证明:∵⊥,⊥,∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求几何中的长度问题 02 [例2]　已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为AB的中点,求证:CD=AB; 解:证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D.∴||= . ∵||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 解:∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴设=λ. 即(x,-m)=λ,则 解得λ=,x=.∴F. ∴||= ,即AF= . 利用向量法解决长度问题的策略 　　向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. |思|维|建|模| 2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 针对训练 解:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b| = = ==2, ∴5-2a·b=4, ∴a·b=. 又||2=|a+b|2 =a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, ∴||=,即AC=. 题型(三) 平面向量在物理中的应用 03 [例3]　(1)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上影子的速度为60 m/s,则鹰的飞行速率为 (　　) A.20 m/s B.40 m/s C.60 m/s D.30 m/s √ 解析:如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度, =v2表示鹰的飞行速度,由题意知,||= |v1|=60 m/s,且A=30°,所以||=|v2|== 40 m/s.故选B. (2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态, 若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示. ①求F3的大小; ②求F2与F3夹角的大小. 解析:①由题意|F3|=|F1+F2|,因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π, 所以|F3|=|F1+F2|==. ②设F2与F3的夹角为θ, 因为F1=-(F2+F3),两边平方得 1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-. 所以θ=π. 向量方法解决物理问题的步骤 |思|维|建|模| 3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感受到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感受到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向. 针对训练 解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感受到风速为-a,设实际风速为ν,那么此时人感受到的风速为ν-a, 设=-a,=-2a,=ν,因为+=, 所以=ν-a,这就是感受到由正北方向吹来的风速. 因为+=,所以=ν-2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时,感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=a,即|ν|=a.所以实际风速是每小时a千米的西北风. 4.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|= 6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功. 解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角 坐标系,如图所示, 则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3), 所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4). 又位移s=(4,4), 故合力F所做的功为 W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 即合力F所做的功为24 J. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 (　　) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 解析:由向量加法法则可知,人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 (　　) 解析:因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)= 2lg 5+2lg 2=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 √ 解析:由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥,故四边形为菱形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和.其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则该时刻的真风为 (　　) 等级 名称 风速 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵视风风速a=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速b=(3,3)-(2,0)=(1,3), ∴真风风速n=a+b=(-3,-1)+(1,3)=(-2,2),真风风速大小|n|=2≈2.828, ∴该时刻的真风为轻风. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是(　　) A.- B.- C.- D.- 解析:因为=+,=+,且=-, 所以·=(+)·(+)=-=-1=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　) A. B.4 C. D.6 解析:如图所示,以B为原点,为x轴正方向, 为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0,0), A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d),所以=(2d-p,0),=(d-p,2).所以+3=(5d-4p,6).所以|+3|=≥6 (当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为(　) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 解析:∵·=0,∴∠A的角平分线与BC垂直.∴AB=AC. ∵cos A=·=,∴∠A=30°,则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为__________. 3 解析:由题意得,速度的大小为|v|==, 又||==3,故所用时间t==3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=__________. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0), B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2 =0,解得a=1(舍负). 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是_____. 2 解析:建立如图所示的坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0), B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)= 2x=2, 即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),则·=(2,)· (-1,2)=2×(-1)+×2=-2+4=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为__________. 解析:设D为BC的中点,则2=+,所以(2)2=(+)2.所以4=(2a-b)2. 所以||===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求: (1)F1,F2分别对质点所做的功;(5分) 解:根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15), 故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J); F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J). (2)F1,F2的合力F对质点所做的功.(5分) 解:根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4), 故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD. 证明:法一:因为=+,=-,所以·=(+)· (-)=||2-||2=0.所以⊥,即AC⊥BD. 法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.因为=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),=+= (a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·=c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点, 四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 证明:设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点, 可设=λ(0≤λ≤1). 则=- =-λ=-λ(+) =(1-λ)-λ. 又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ] =(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)··+λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2 =0.因此⊥,故PA⊥EF. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $