2.6.1 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦定理，通过向量运算探索三角形边长与角度关系，课前自主落实公式及变形，课堂分题型研究已知两边及一角、三边解三角形等应用，构建从基础到迁移的学习支架，衔接向量与三角形知识。 其亮点是采用梯度进阶式教学，结合数学思维（推理、运算）与数学语言（公式应用、模型构建），如题型分类及思维建模步骤，助学生形成逻辑推理能力，教师可借结构化内容提升效率，学生掌握解题方法与实际应用能力。

§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 余弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.通过向量的运算探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理. 2.能利用余弦定理解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 余弦定理及变形 公式表达 a2=__________________;b2=__________________; c2=__________________ 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和______这两边与它们夹角余弦的积的两倍 变形 cos A=_________________;cos B=_______________ cos C=_______________ b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 减去 1.余弦定理的特点 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. 2.余弦定理的特例(勾股定理) 在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角. 3.△ABC的面积公式 (1)S△ABC=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高); (2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. |微|点|助|解| 基础落实训练 1.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则c等于(　　) A. B.8 C.10 D.7 解析:由余弦定理得c===7. √ 2.在△ABC中,若a=,b=3,c=2,则A=(　　) A.30° B.60° C.45° D.90° 解析:因为a=,b=3,c=2,所以由余弦定理得cos A===. 又0°<A<180°,则A=60°.故选B. 3. 在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos C=__________. √ 解析:∵a2-c2+b2=ab,∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴2cos C=1.∴cos C=. 4.在△ABC中,已知a=9,b=2,C=150°,则△ABC的面积为________. 解析:由面积公式得S△ABC=absin C=×9×2sin 150°=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值; 解:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形. 解:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,A=B=30°,C=120°;当a=6时,由余弦定理得cos A==0,又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°.综上,当a=3时,A=30°,C=120°;当a=6时,A=90°,C=60°. 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. |思|维|建|模| 针对训练 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=,B=60°,则c=(　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故选C. √ 2.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若cos B=, c=5,a=3,则b=(　　) A. B. C. D. 解析:由cos B=,c=5,a=3以及余弦定理得b== =,故选D. √ 题型(二)　已知三边(三边关系)解三角形 [例2]　(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,b=2,c=,则C=(　　) A.120° B.90° C.60° D.45° 解析:由余弦定理可得cos C===-,由于0°<C<180°,故C=120°,故选A. √ (2)在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(+1)∶2,则最大角为(　　) A.45° B.60° C.75° D.90° 解析:由题意可知c<b<a或a<b<c,不妨设c=2x,则a=(+1)x, ∴cos B=,即=,整理得b2=6x2. ∴cos C===.∴C=45°. ∴A=180°-60°-45°=75°. √ 已知三角形的三边求角的基本步骤 求第一个角 求第二个角 求第三个角 |思|维|建|模| 3.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 针对训练 解析:法一:∵BC<AC,BC<AB,三边相等时,A=, ∴A<,结合选项可知A正确. √ 法二:∵cos A= ===, 且A∈(0,π),∴A=. 4.已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC中各角的度数. 解:已知a∶b∶c=2∶∶(+1),可令a=2,b=,c=+1,由余弦定理的推论,得 cos A===, ∵0°<A<180°,∴A=45°. cos B===, ∵0°<B<180°,∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. [例3]　(1)两座灯塔A和B与观察站C的距离分别为3 km,5 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与B之间的距离为 (　　) A.6 km　　 B.4 km 　 C.7 km　　 D.5 km 题型(三)　余弦定理的综合应用 解析:作出示意图如图,由题意可得∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,解得AB=7 km,故灯塔A与B之间的距离为7 km. √ (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2=a2-bc, 且·=-4,则角A=________,△ABC的面积为________. 解析:∵b2+c2=a2-bc,∴cos A==-.又A∈(0,π),∴A=. 又∵·=bc·cos A=-4,∴bc=8. ∴△ABC的面积S=bc·sin A=2. (1)余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式. (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同,在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择. (3)因为余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,此时,由cos α=m(-1<m<1)来确定α是唯一的,因此用余弦定理求解三角形的内角时就不必分情况讨论了. |思|维|建|模| 针对训练 5.在△ABC中,bcos A=acos B,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析:因为bcos A=acos B,所以b·=a·. 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2.所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形. √ 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c=2,则△ABC面积的最大值为__________. 解析:由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4,即ab≤4,当且仅当a=b=2时取等号.所以S=absin C=ab≤×4=,故△ABC面积的最大值为. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=4,c=3,则B+C等于(　　) A. B. C. D. 解析:在△ABC中,由余弦定理得cos A===,而0<A<π,则A=,所以B+C=π-A=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在△ABC中,a=2b=,C=60°,则S△ABC=(　　) A.2 B. C. D. 解析:因为a=2b=,所以a=,b=.又因为C=60°, 所以S△ABC=absin C=×××=.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2, cos A=,且b<c,则(　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2.又a=2,cos A=,所以B=A=30°,故选AD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 解析:由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=,则B=(　　) A. B. C. D. 解析:由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a2+b2-c2=ab,所以cos C==.又C∈(0,π),所以C=.因为sin A=,A∈(0,π),所以A=或A=.当A=时, B=;当A=时,A+C>π,不合题意.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为(　　) A. B.16 C. D.32 解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时等号成立. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知△ABC是钝角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=4,则最大的边c的取值可能是 (　　) A.5 B.6 C. D.7 解析:因为△ABC是钝角三角形,且C最大,所以cos C<0,故a2+b2-c2<0, 进而c2>25⇒c>5.所以B、C均符合要求,而D不符合两边之和大于第三边,故选BC. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=__________,△ABC的面积为__________. 解析:在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,易知c= =,△ABC的面积为×2×3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在△ABC中,a=8,c=7,cos A=,则b=_______,∠C=_______. 5 解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0, 故b=-3(舍去)或b=5,故cos∠C==,而∠C为三角形内角,故∠C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos B=cos C, a=,则S△ABC=__________. 解析:由cos B=cos C及余弦定理,得=,结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即△ABC为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,c=,所以S△ABC=bc=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, (a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求A的大小;(5分) 解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc. 而a2=b2+c2-2bccos A,∴2cos A=1. ∴cos A=.∵A∈(0,π),∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.(5分) 解:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=, ∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.　① 又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3. ∴解得b=c=. ∴△ABC为等边三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在△ABC中,点D在边BC上,AB=,CD=3,B=45°,∠ADB=60°,求AC的长. 解:由题意,作AE⊥BD交BD于E,因为AB=, CD=3,B=45°,∠ADB=60°,所以AE=AB=, 则AD===2,在△ACD中,由余弦定理可得, AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+32-2×2×3× cos 120°=19.所以AC=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD;(6分) 解:由题设及余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,　① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5-4cos A=5+4cos C.　② 由①②得cos C=. 因为0°<C<180°,所以C=60°, 从而BD=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求四边形ABCD的面积.(4分) 解:因为角A与角C互补,所以sin A=sin C. 故四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C=sin 60°=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $