2.5.2&2.5.3向量数量积的坐标表示及利用数量积计算长度与角度（教学课件）数学北师大版必修第二册

§5从力的做功到向量的数量积 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度 第二章 平面向量及其应用 1 2 3 掌握平面向量数量积的坐标表示。（重点） 能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。（重点） 进一步理解向量数量积的几何意义。（难点） 读教材 阅读课本P110-P112，5分钟后完成下列问题： 1.能否用向量，的坐标表示向量的数量积 ？怎样表示？ 2.向量垂直与向量的数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？ 3.已知向量的坐标可以求该向量的模吗？ 4.已知两向量的坐标如何求它们的夹角？ 5.向量数量积能解决几何问题吗？ 单击此处添加备注 3 温故知新 已知两个向量, ,根据所学知识回答以下问题： 问题1: 若,是两个互相垂直且分别与轴、轴的正半轴同向的单位向量, 则, 如何用, 表示？ 答： , . 问题2: 能否用,的坐标表示 ？怎样表示？ 答： 能, . 问题3: 向量垂直与向量的数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？ 答： ,能. 向量的坐标表示使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 温故知新 1.向量数量积的坐标表示： 如图，在平面直角坐标系中，设分别是轴轴方向上的单位向量， 已知向量， 则 因为， 所以. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 两向量垂直时：若， 则 . x o B(x2,y2) A(x1,y1) y 探索新知 一、向量数量积的坐标表示 典例讲解 例1 已知向量, .求： （1） ; （2） ; （3）若,求； . 解： （1）（法一）,, ， . （法二） . （2） , , . （3） . . 方法总结 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性 质,解题时通常有两种方法: 法一：先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算; 法二：先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 典例讲解 提分笔记 1.已知向量与同向,, . （1）求向量 的坐标; （2）若,求 . 解： （1）由题意可设 . ,,解得, . （2） , . 典例讲解 2.已知向量，，·(2)＝0，则(　　). A．　　　　B．　　　　C．6　　　　D．12 解：2－， 由·(2－)＝0，得＝0， 所以10＋2－＝0，解得＝12. D 基础巩固题 2.向量模的坐标表示： ①设，则， ②设，则，这也是 平面直角坐标系中两点间的距离公式. 探索新知 一、向量数量积的坐标表示 例2：已知，要使的值最小，求实数的值. 解：由已知得， ∴， 故当时，取得最小值. 典例讲解 提分技巧： 求向量<m></m>的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即<m></m>， 求模时，不要忘记开方. （2）<m></m>或<m></m>，此性质可用来求向量 的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 典例讲解 1.已知平面向量，，求 及其模的大小. 解： ， ， ， . 2. 已知向量，，，则 等于( ). A. B. C.5 D.25 解：， . ， ， 即 ， ，， . C 基础巩固题 2.利用向量求点到直线的距离： 例3：(1)已知定点和向量，点是直线外一点，请写出点到直线的距离的向量表示. 解：如图，设⊥，作向量， 则表示向量在向量上的投影数量， 是点到直线的距离. 探索新知 一、向量数量积的坐标表示 向量法求点到直线的距离公式 例3：(2)已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，求点到直线的距离. 解：如图，设，即作向量， 设，由于直线的方向向量=(2,1), 又，则， 即，令，得，， 由于，于是， 由(1)知，点到直线的距离 . 探索新知 一、向量数量积的坐标表示 典例讲解 1.已知点，直线的一个方向向量为，求点 到 直线 的距离. 解： 任取，因为，所以 ， 根据点到直线的距离的向量公式可得，点到直线的距离为 , . 2.已知的三个顶点的坐标分别为,,，求点到直线 的距离. 解 因为，所以可取,使得，即 ， 根据点到直线的距离的向量公式可得,点到直线的距离为 , . 基础巩固题 用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知：四边形是平行四边形， 求证：. 证明：如图，四边形是平行四边形，所以=+，=+， 因此==()•()=+2+， 同理 =+2+=-2+， 所以+ =+++， . 即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 知识拓展 3.向量夹角的坐标表示： 设，与的夹角为， 则， 所以. 探索新知 一、向量数量积的坐标表示 解：设向量与的夹角为， 则. 例4 （1）已知，求向量与的夹角的余弦值. 典例讲解 （2）已知单位向量的夹角为60°，求向量的夹角. 解：因为，所以， =，=, 于是cos<,>==-，又<,>， 所以与的夹角为. 典例讲解 方法总结 解决向量夹角问题的方法及注意事项： （1）非零向量<m></m>，</m>的夹角的求解方法： 由cos<</m>直接求出<m></m> . （2）注意事项：利用三角函数值<m></m> 求<m></m> 的值时，应注意角<m></m> 的取 值范围是<m></m> .利用<m></m>判断<m></m> 的值时，要注意 ： 当<m></m>时，有两种情况：一是<m></m> 为钝角，二是<m></m> 为<m></m> . 当<m></m>时，也有两种情况：一是<m></m> 为锐角，二是<m></m> 为<m></m> . 提分笔记 典例讲解 已知是原点,点,,若为钝角,则 的取值范围是( ). A. B. C. D. [解析] 由题意得，， ， 则，解得 , 且与不共线，即，解得 , 综上， ,故选C. C 变 式 训 练 例5：如图，已知，试用向量的方法判断的形状. 解：依题意知， 于是 所以，， 即是直角三角形. 典例讲解 典例讲解 在四边形中，已知，，， . （1）判断四边形 的形状； （2）若，求向量与 夹角的余弦值. （1）判断向量与，与的关系,即可判断 四边形 的形状； （2）设出点的坐标,由可得点的坐标，即可求得和 ,进而 求解即可. 变 式 训 练 分析 典例讲解 解：（1）因为,,所以 . 又因为, , 所以四边形 是等腰梯形. （2）设,所以, . 因为,所以解得 所以,,, . 设向量与的夹角为 ,则 , 故向量与夹角的余弦值为 . 探索新知 二、建系法在向量中的应用 例6 如图,在矩形中,,,为的中点,点在边 上, 若,则 的值是____. 四边形 是矩形,有垂直关系,可以建系,先确 定相关点的坐标,然后求向量, ,再求数量积. 解： 以为坐标原点,所在直线为轴，所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,,, . 设,因为,解得 , 所以 . 分析 典例讲解 方法总结 在解数学题时,当结论复杂,难以直接将条件联系起来时,可考虑先解 决问题的一部分,或把结论分解为简单的几部分,以便各个击破,从而使问 题得到解决. 提分笔记 典例讲解 在中,,,,若,则( ). A. B. C.18 D. 解： （法一）由，，，得， . 故 ． C （法二）如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系， 则，，.由题意得 ，又 ，所以 ，则 ． 课堂检测 例7 在平面直角坐标系中，已知向量，， ，且 ． （1）若已知，，，求 的范围； （2）若，求四边形 的面积． （1）由可得与的关系，求出 的数量积， 再转化为二次函数的最值求解； （2）求出，，根据条件求出,的值，进而确定出， 的坐 标，然后求面积． 分析 典例讲解 解：（1）由题意得 ， ∵，，所以 ，即 ． ∵， ， ∴的取值范围是， . （2）由题意得， . 因为 ，所以 ， 典例讲解 即 . 由 解得或 当时，， ， ； 当时，， ， ． 故四边形 的面积为16． 典例讲解 方法总结 用向量解决平面几何问题的步骤: （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 提分笔记 已知函数为二次函数，,,分别为函数 图 象上的三点，为 图象上的任意一点. （1）求 的最小值； （2）若是以为直径的圆的一条直径，求 的取值范围. 解： （1）根据题意，设，代入,, 三点的坐标可得 解得所以 . 设，则,， ， 所以 . 典例讲解 变 式 训 练 典例讲解 因为，所以 .所以，当 时，等号成立. 故的最小值为 . （2）设的中点为 ， 因为为圆的直径，所以, ， 则, ， 所以 ， 因为，当 时等号成立， 所以，所以的取值范围为 . 课堂检测 1.已知向量，，若与垂直，则 等于( ). C A.1 B. C.2 D.4 2.若向量,的夹角为锐角,则实数 的取值范围是( ). A A.,, B. C.,, D. 3.已知向量,的夹角为,,,则 ___. 4.如图所示，在平面直角坐标系中,是原点，已知点, . （1）求, ; （2）求 . 课堂检测 解:（1）由 , , 得, . （2）因为, ， , 所以 ,故 . 4.如图所示，在平面直角坐标系中,是原点，已知点, . （1）求, ; （2）求 . $