第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

在Rt△OCD中.10CI-2.COD=30 0CD=90。 e./e;D中 =4e/e,故选B. .101-4.1C1-2. $$$ D=40A$0=$ OB$即A=4 = (2)-b-A(2.1)-(3.-4) =2.A)-(3.-4)=(2-3,A+4). .A+=6. +2b=(2.1)+2(3.-4)=(2.1)+(6,-8)=(8,-7). 4.2 平面向量及运算的坐标表示 .(a-b)/(a+2b). 必备知识 探新知 :8(+4)+7(2-3)=0→22+11=0A=- 知识点1(x,y) a-6-(-x2-3.-+4)-(-4.). 知识点2(a。+x,y+)(x.-x,-y) (Ax,Ay) (-×,y:-y) 即a-b--(a+2b). 知识点3(1)x:--y=0(2)- -y: 故当A---时,xa-b与a+2b平行;平行时它们反向. 关键能力 攻重难 对点调练3:A 已知a=(-3.2).b=(4,),则a+3= ($9.2+3),2a-b=(-10,4-A).(a+3b) /(2a-b). -2/2. AV=04·sin50-4x-22. 课堂检测 固双基 1.B -(2.1)-(3.5)=(-1.-4). 所以A(22.2/2).故a=(2/2.22) i$ .B 因为向量a=(2.8).b=(-4.2).所以c=2a-b=2(2. 因为 A0C=180*-105^*=75^*$A0y=45 * 8)-(-4.2)=(8.14).故选B 所以 COv=30.又OC=AB=3. 3.A 由图可知a=c=(1.2),b=(1.-2),所以a+b-c=(1 所以C(-3#{).# -2). 所以-o-(-3). 4.A由a/b得:-(4m+5)-m=0.-5m-5=0,解得m= 105%/ -1. #-(-3}# =-0=(1-b2-2)A--0=(1 45 2k.-3). #2)---(-3-). 由题意可知AB/AC,所以(-3)x(1-k)-(2k-2)(1-2k) (3)-0+ =0. (2/.2/2)(-3#) $5 -(2-3#} 从力的做功到向量的数量积 .#(23) 5.1 向量的数量积 必备知识 探新知 对点训练1:A 由题意得,a=(2cos45)i+(2sin45)j 知识点1 1. la11blcos 2.0<8<90* 90$8180 =7+/-(1.1).故选A. 0 lallbl -lallbl 例2:A(4.6)、B(7,5)、C(1.8) 知识点2 1.投影向量 投影数量 2.1al 乘积 1bl AB=(7.5)-(4.6)=(3.-1);AC-(1,8)-(4.6)=lalcos e (-3.2); 知识点3 b·a a·(ab) a·b+a·c lal·cos6 A-(3.-1)+(-3.2)-(0.1); --(3-1)-(-3.2)=(6.-3). aa 对点训练2:(1)(5,4)(2)(-3.-3)(1)设0为坐标 关键能力 攻重难 例1:(1)-(2)见解析 原点,因为0A=(-1.-5)AB=3a=(6.9),故OB=0A+AB- (5.4),故点B的坐标为(5.4). (2)因为点A,B,C的坐标分别是(2,-4),(0,6).(-8. 【解析】(1)由已知得-(+A),-2. 10). -#--所以A·=(+A)·( 所以B=(-8,4)AC-(-10.14),故BC-14-(-8. #-)-号×(ac--#-× 4)-(-5.7)=(-3.-3). 【解析】(1)A中向量为零向量,./e:;c中 (3-1-s60°)- 例3:(1)B(2)见解析 -311-４． ２　 平面向量及运算的坐标表示 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示． ２．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则． ３．通过实例理解坐标表示的平面向量共线的条件，并能够解决有关向量共线、 直线平行及三点共线等问题． 通过学习平面向量及运算的坐 标表示，重点培养学生的数学 运算，逻辑推理素养． )*+,%-.+ 知识点１　 平面向量的坐标 　 　 在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴，ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ，ｊ作为标准正交基．对于平面内的任意 向量ａ，以坐标原点Ｏ为起点作→ＯＰ ＝ ａ，有且只有一对实数ｘ，ｙ使得ａ ＝ ｘｉ ＋ ｙｊ，我们把实数对（ｘ，ｙ）叫作向量ａ的 坐标，记作ａ ＝ （ｘ，ｙ）　 ． 知识点２　 平面向量的坐标运算 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２）， 则ａ ＋ ｂ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２，ｙ１ ＋ ｙ２）　 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２）， 则ａ － ｂ ＝ （ｘ１ － ｘ２，ｙ１ － ｙ２）　 数乘 向量 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相 应坐标的乘积 若ａ ＝（ｘ，ｙ），λ∈Ｒ，则λａ ＝ （λｘ，λｙ）　 重要 结论 一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始 点的相应坐标 已知向量→ＡＢ的起点Ａ（ｘ１，ｙ１），终点Ｂ （ｘ２，ｙ２），则→ＡＢ ＝ （ｘ２ － ｘ１，ｙ２ － ｙ１）　 知识点３　 向量平行的坐标表示 　 　 设ａ，ｂ是非零向量，且ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２）． （１）当ａ∥ｂ时，有ｘ１ｙ２ － ｘ２ｙ１ ＝ ０　 ． （２）当ａ∥ｂ且ｂ不平行于坐标轴，即ｘ２≠０，ｙ２≠０时，有　 　 　 　 　 ．即若两个向量（与坐标轴不平行）平行， 则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． "'$ /012%345 ●678%Ên(¹<Í$`a １．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，ＯＡ ＝ ４， ＡＢ ＝ ３，∠ＡＯｘ ＝ ４５°，∠ＯＡＢ ＝ １０５°，→ＯＡ ＝ ａ， →ＡＢ ＝ ｂ．四边形ＯＡＢＣ为平行四边形． （１）求向量ａ，ｂ的坐标． （２）求向量→ＢＡ的坐标． （３）求点Ｂ的坐标． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 如图，分别取与ｘ轴，ｙ轴正方向相同的两个单位向量ｉ，{ }ｊ 作为基底， 若｜ ａ ｜ ＝槡２，θ ＝ ４５°，则向量ａ的坐标为 （　 　 ） Ａ．（１，１） Ｂ．（－ １，－ １） Ｃ．（槡２，槡２） Ｄ．（－槡２，－槡２） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%Ên(¹<Í$’Á ２．已知平面上三个点Ａ（４，６）、Ｂ（７，５）、Ｃ（１，８），求→ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＢ ＋ →ＡＣ， →ＡＢ － →ＡＣ． 【分析】　 先计算出→ＡＢ，→ＡＣ的坐标，再进行向量的线性运算． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）已知点Ａ（－ １，－ ５）和向量ａ ＝（２，３），若→ＡＢ ＝ ３ａ，则点Ｂ的坐标为 　 　 　 　 ． （２）已知点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别是（２，－ ４），（０，６），（－ ８，１０），则→ＢＣ － １ ２ →ＡＣ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘€"½¾-§eÞßá w¨ À"-EΨG½¾  óÎ ‘j ã+^ ｘ ¾[€0E {?€"ÓpÀ¯0| {-j  θ    ‘½¾ ´µ ｘ ＝ ｒｃｏｓ θ，ｙ ＝ ｒｓｉｎ θ（ｒ 0€"-á） ‘|ν¾?60€ "  ½¾ 归纳提升： wƀ"½¾,ü-Š‹ （１） F˜™€"-½¾?ôuð F³e€"åt«-,üIô ùú ． （２） F˜™R€¯&³HÎ-½ ¾?ô]œ‘+€"-½¾?<= ¡ùú€"-½¾,ü ． （３） €"-¯>½¾,ü]IJ4 š·:-,üùú ． "'% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%(¹Ê‹–½¾— <Î& ３．（１）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （　 　 ） Ａ． ｅ１ ＝（０，０），ｅ２ ＝（１，－ ２） Ｂ． ｅ１ ＝（－ １，２），ｅ２ ＝（５，７） Ｃ． ｅ１ ＝（３，５），ｅ２ ＝（６，１０） Ｄ． ｅ１ ＝（２，－ ３），ｅ２ ＝ １２ ，－ ３( )４ （２）已知ａ ＝（２，１），ｂ ＝（３，－４），当λ为何值时，λａ － ｂ与ａ ＋２ｂ平行？平行时， 它们是同向还是反向？ ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 已知向量ａ ＝（－ ３，２），ｂ ＝（４，λ），若（ａ ＋ ３ｂ）∥（２ａ － ｂ）共线，则实数λ的值为 （　 　 ） 　 　 Ａ． － ８３ Ｂ． ７ ４ Ｃ． ４ ３ Ｄ． ７ ５ 归纳提升： １． €"(¯-<GI ２． ¶F€"wú-–— ‘D:¥-59 １̈ ©¶F(¯€"G n ａ ＝ λｂ（ｂ０）12 3‘h ． ２̈ ©¶F€"wú- ½¾Ô…Ÿuð‘h ． KLMN%OPQ １．已知Ｍ（２，１），Ｎ（３，５），则→ＮＭ的坐标是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．（２，－ １） Ｂ．（－ １，－ ４） Ｃ．（－ ２，１） Ｄ．（１，－ ２） ２．已知向量ａ ＝（２，８），ｂ ＝（－ ４，２）．若ｃ ＝ ２ａ － ｂ，则向 量ｃ ＝ （　 　 ） Ａ．（０，１８） Ｂ．（８，１４） Ｃ．（１２，１２） Ｄ．（－ ４，２０） ３．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为１，则 向量ａ ＋ ｂ － ｃ的坐标为 （　 　 ） Ａ．（１，－ ２） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，－ １） Ｄ．（－ １，２） ４．已知向量ａ ＝（－ １，－１），ｂ ＝（－ ｍ，４ｍ ＋ ５），且ａ∥ｂ， 则ｍ等于 （　 　 ） Ａ． － １　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ５３ Ｃ． － １或－ ５３ Ｄ． ０或－ ２ ５．已知→ＯＡ ＝（ｋ，２），→ＯＢ ＝（１，２ｋ），→ＯＣ ＝（１ － ｋ，－ １），且 相异三点Ａ，Ｂ，Ｃ共线，则实数ｋ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２０                        ］ "'&