7 4.2 平面向量及运算的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 　 第二章 §4　平面向量基本定理及坐标表示 知识目标 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示．　 2．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．　 3．能用坐标表示平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用． 素养目标 通过平面向量的坐标表示的学习，培养学生数学抽象素养；通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　平面向量的坐标表示 1 知识点二　平面向量运算的坐标表示 2 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点三　平面向量平行的坐标表示 3 知识点一　平面向量的坐标表示 返回 问题导思 问题1．如图所示，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标 平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作 ＝a，请问 向量a能用向量i，j表示吗？ 提示：a＝xi＋yj. 问题2．在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？ 提示：对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置不确定． 新知构建 (x，y) (x，y) 2．点的坐标与向量坐标间的关系 在平面直角坐标系中，点P的位置被它的位置向量___所唯一确定，设点P的坐标为(x，y)，容易看出 ＝xi＋yj＝(x，y)，即点P的位置向量 的坐标(x，y)也就是点P的______；反之，点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标． 坐标 微提醒 (1)每个向量都有唯一的坐标．(2)相等的向量坐标相同．(3)注意点的坐标与向量的坐标的区别． 　(一题多问)(链教材P101例3)在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标： (1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度； 解：因为向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度， 所以向量a对应坐标系中的角度为30°且模长为3， 例1 (2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度； 解：因为向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度， 所以向量b对应坐标系中的角度为135°且模长为4， (3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度； 解：因为向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度， 所以向量c对应坐标系中的角度为－120°且模长为3， (4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度． 解：因为向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度， 所以向量d对应坐标系中的角度为－45°且模长为4， 规律方法 求向量坐标的方法 求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题 时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性 质进行计算．如图所示，设向量a＝(a1，a2)，a的 方向相对于x轴的旋转角为θ，由三角函数的定义可知a1＝|a|cos θ，a2＝|a|sin θ. 对点练1．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)， 返回 知识点二　平面向量运算的坐标表示 返回 问题导思 问题3．设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，你能得到向量a＋b，a－b，λa的坐标吗？ 提示：因为a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j， 所以a＋b＝x1i＋y1j＋x2i＋y2j＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 同理：a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1). 问题4．如图所示，在平面直角坐标系中，设点A(x1，y1)，B(x2，y2). (2)若M是AB的中点，试求出点M的坐标． 新知构建 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).   数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝________________ 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的___ 向量减法 a－b＝_________________ 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的___ 向量数乘 λa＝____________ 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的______ 向量坐标 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝_______________ 一个向量的坐标等于其______的坐标减去______的坐标 (x1＋x2，y1＋y2) 和 (x1－x2，y1－y2) 差 (λx1，λy1) 乘积 (x2－x1，y2－y1) 终点 起点 微提醒 (1)当向量起点在原点时，终点坐标就是向量的坐标． (2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段AB的中点坐标公式． (3)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为 . (链教材P103例6)已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时， 例2 当平行四边形为ACDB时， 当平行四边形为ACBD时， 故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0). 规律方法 1．进行平面向量的坐标运算：应先将向量用坐标表示出来．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标． 2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．　　 √ √ (2)在四边形ABCD中，A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点，则 ＝ A．(4，2) B．(－4，－2) C．(8，4) D．(－8，－4) √ 返回 知识点三　平面向量平行的坐标表示 返回 问题导思 问题5．若a∥b(b≠0)，则存在实数λ，使得a＝λb，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b如何用坐标表示呢？ 提示：向量a∥b(b≠0)等价于存在实数λ，使得a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，所以 消去λ可得，x1y2－x2y1＝0. 新知构建 在平面直角坐标系中，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是_______________． x1y2－x2y1＝0 微思考 当b≠0时，向量a，b共线的充要条件能写成 的形式吗？ 提示：当y1≠0且y2≠0时，b≠0，向量a，b共线的充要条件能写成 的形式． A．5 B．6 C．7 D．8 例3 √ A．2 B．－2 C．11 D．－11 √ √ 规律方法 1．根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线(平行)向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解． 2．若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．　　 对点练3．(多选)已知向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，若a∥b，则以下结论正确的是 A．m＝1时，a与b同向 B．m＝－1时，a与b同向 C．m＝2时，a与b反向 D．m＝－2时，a与b反向 √ √ 因为a∥b，则m(m＋1)＝2，即m＝1或m＝－2，当m＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a＝b，a与b的方向相同，故A成立；当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a＝－2b，a与b的方向相反，故D成立．故选AD. 返回 综合应用 返回 例4 平面向量的坐标运算的应用 √ 规律方法 用向量法解决几何问题时，如果出现矩形、菱形、等腰三角形等特殊图形，可以建立合适的坐标系，将问题中涉及的向量用坐标表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量的坐标运算，得到相应结论，再将向量问题转化为几何问题．　　 对点练4．(多选)如图所示，给出下列四个结论： 其中正确结论的序号是 A．① B．② C．③ D．④ √ √ √ 返回 课堂小结 知识 1．平面向量的坐标表示. 2．平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示. 3．平面向量共线(平行)的坐标表示 方法 化归与转化、待定系数法 易错误区 两个向量共线的坐标表示的公式易记错 随堂演练 返回 √ A．(1，4) B．(－1，－4) C．(1，6) D．(－1，－6) √ 3．已知向量a＝(－2，1)，b＝(m，3)，且a∥b，那么a－b等于 由题设得－2×3－m＝0，故m＝－6，则a－b＝(－2，1)－(－6，3)＝(4，－2).故选C． √ －1 返回 课时测评 返回 1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则 可以表示为 A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．若向量e1＝(2，λ)，e2＝(1，3)能作为平面内所有向量的一组基，则λ的取值范围为____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由题意知，点A在原点，AB与x轴正半轴成30°角， 可得∠BAx＝30°，∠DAx＝90°＋30°＝120°. 设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－1 B．0 C．1 D．25 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若α＝1，点P在直线y＝x上，求实数β；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点P在直线y＝x上，故5＋5β＝4＋7β， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若α＋β＝1，求点P的坐标x，y满足的关系式．(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(开放题)已知向量a＝(1，1)，b＝(x，tx＋2).若存在实数x，使得a与b的方向相反，则t的一个取值为________________________________． 2(答案不唯一，大于1的实数均可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)(一题多问)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求a＋2b－3c；(4分) 解：因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 所以a＋2b－3c＝(3，2)＋(－2，4)－(12，3)＝(－11，3). (2)求满足a＝xb＋yc的实数x和y的值；(5分) 解：因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，a＝xb＋yc， 即(3，2)＝(－x，2x)＋(4y，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．(8分) 解：因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 则a＋kc＝(3，2)＋(4k，k)＝(4k＋3，k＋2)，2b－a＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 1．平面向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把_________称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝_________． 所以a＝＝. 所以b＝＝. 所以c＝(3cos (－120°)，3sin (－120°))＝(－，－). 所以d＝(4cos (－45°)，4sin (－45°))＝(2，－2). 则x1＝|a|cos 60°＝2×＝1，y1＝|a|sin 60°＝2×＝； x2＝|b|cos 150°＝1×＝－，y2＝|b|sin 150°＝1×＝； x3＝|c|cos (－135°)＝3×＝－，y3＝|c|sin (－135°)＝3×＝－. 因此a＝(1，)，b＝，c＝. (1)写出和的坐标； 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)； ＝－＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2). 提示：＝(＋)＝，即M点的坐标为. (，) 由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)； 由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)； 由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)， 对点练2．(1)(多选)已知a＝，b＝，下列选项中关于a，b的坐标运算正确的是 A．a＋b＝ B．a－2b＝ C．若＝a且A，则B D．2a＋3b＝ 向量a＝，b＝，则a＋b＝，故A错误；a－2b＝(－1，2)－(4，10)＝，故B正确；令O为坐标原点，则＝＋＝(2，3)＋(－1，2)＝(1，5)，点B(1，5)，故C错误；2a＋3b＝(－2，4)＋(6，15)＝，故D正确．故选BD. 因为A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分别为边AB，CD的中点，所以E，F(，)，所以＝－＝(4，2).故选A． ＝ ＝ (链教材P104例8)(1)已知＝，向量a＝，若∥a，则实数y的值为 因为＝，a＝，∥a，所以3×2＝1×，解得y＝8.故选D. (2)(多选)向量＝，＝，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值可能为 由已知可得＝－＝－＝，＝－＝－＝.因为A，B，C三点共线，所以∥，所以－7＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.故选BC． 如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点F.若＝2x＋3y，则x＋y＝ A．1 B． C．－ D．－ 建立如图所示的平面直角坐标系，则＝(2，0)，＝(0，2)，可得＝2x＋3y＝(4x，6y).由△DEF∽△BAF，得＝＝，所以＝.因为＝(1，2)，所以＝，所以解得所以x＋y＝＋＝.故选B. ①＝a＋b；②＝－a＋b；③＝a－b；④＝a＋b. 设每个小方格长度为1，则可得a＝，b＝.①＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝y＝，故＝a＋b，故①正确；②＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝－，故＝a－b，故②错误；③＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝－，故＝a－b，故③正确；④＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝，故＝a＋b，故④正确．故选ACD. 1．若向量a＝，b＝，c＝a－3b，则c＝ A． B． C． D． 因为向量a＝，b＝，所以c＝a－3b＝－3＝.故选C． 2．已知点A(1，3)，B(2，7)，向量＝(0，－2)，则＝ 由已知得＝(1，4)，又＝(0，－2)，所以＝－＝(－1，－6).故选D. A．(－8，－2) B． C．(4，－2) D． 4．已知向量a＝，b＝，若ma＋b与a－b共线，则m的值为________． 由a＝，b＝，可得ma＋b＝，a－b＝.由ma＋b与a－b共线，可得3＋2m－1＝0，解得m＝－1. 设平面直角坐标系原点为O，由题得＝2i＋3j，＝4i＋2j，则＝－＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.故选C． 2．(多选)已知O为坐标原点，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是线段AB的三等分点，则P的坐标可能为 A．(，1) B．(，5) C．(，－1) D．(－，7) ＝－＝(4，－6)，又因为点P是线段AB的三等分点，则＝＝(，－4)或＝＝(，－2)，所以＝＋＝(，－1)或＝＋＝(，1)，即P点的坐标为(，－1)或(，1).故选AC． 3．已知向量＝，＝，＝，若B，C，D三点共线，则m＝ A．－16 B．16 C． D．－ 由题意得＝－＝，＝－＝，因为B，C，D三点共线，所以∥，则m＋1＝－15，得m＝－16.故选A． 4．(多选)下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基的是 A．e1＝，e2＝ B．e1＝，e2＝ C．e1＝，e2＝ D．e1＝，e2＝ 易知能作为基的两个平面向量不能共线，因为≠，≠，≠，则选项A，C，D中两个向量均不共线，而B项中e2＝＝2e1，则B错误．故选ACD. 5．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么下列结论正确的是 A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 对于A，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确；对于B，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，故B错误；对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确；对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥，又＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，故D错误．故选AC． 6．已知点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(3，3)，且＝2，那么点C的坐标为__________． 设点C的坐标为，则＝(x－2，y－1)，＝，因为＝2＝，则解得所以点C的坐标为. ∪ 由题意得e1≠ke2，当e1＝ke2(k∈R)时，解得所以λ≠6.故λ的取值范围为∪. 8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb，则＝________． 则O，A，B，C，所以a＝＝，b＝＝，c＝＝(－1，－3).因为c＝λa＋μb，所以＝λ(－1，1)＋μ(6，2)＝.所以⇒所以＝4. 9．(10分)如图所示，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标及点C的坐标． 则x1＝||cos 30°＝1×＝，y1＝||sin 30°＝1×＝， 所以B(，). 所以C. 同理可得x2＝||cos 120°＝1×(－)＝－，y2＝||sin 120°＝1×＝， 所以D(－，). 所以＝(，)，＝(－，). 由于＝＝－＝， 10．已知向量a，b满足2a－b＝，a－2b＝，λa＋μb＝，则λ＋μ＝ 设a＝，b＝，又2a－b＝，a－2b＝，所以且解得即a＝，b＝.所以λa＋μb＝λ(1，2)＋μ＝＝，则解得故λ＋μ＝0.故选B. 11．(多选)已知向量＝，＝，＝，若点A，B，C能构成三角形，则实数m的值可以是 A．－2 B． C．1 D．－1 向量＝，＝，＝，则＝－＝(2，－1)－(1，3)＝(1，－4)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，3)＝(m，m－5)，当A，B，C三点共线时，∥，则m－5＋4m＝0，解得m＝1，而点A，B，C能构成三角形等价于点A，B，C不共线，因此m≠1，所以选项A，B，D满足，C不满足．故选ABD. 12．已知点A，B，C，若第四象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是 A． B． C． D． 因为点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，所以＝(5，7).＝＋＝＋＋λ＝＋λ＝＋λ＝，所以P(5＋5λ，4＋7λ)，因为点P在第四象限，所以5λ＋5>0，7λ＋4<0，解得－1<λ<－.故选C． 13．(13分)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，P(x，y)，且点P满足＝α＋β，其中α，β∈R. 解：由题意可知：＝(x－2，y－3)，＝(3，1)，＝(5，7)，因为α＝1， 所以＝＋β， 故(x－2，y－3)＝(3，1)＋β(5，7)， 即化简可得 解得β＝. 解：由＝α＋β，得 代入α＋β＝1，得消去β， 得3x－y＝11. 因为a与b方向相反，所以b＝λa(λ<0)，所以所以x＝λ＝，由<0，得t>1，所以存在实数t＝2，x＝－2，使得a与b方向相反．故答案为：2(答案不唯一，大于1的实数均可). 故可得－x＋4y＝3，2x＋y＝2，解得x＝，y＝，故实数x，y分别为，. 因为(a＋kc)∥(2b－a)，所以2(4k＋3)＝－5(k＋2)，解得k＝－， 故实数k的值为－. $$