2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的数乘与共线关系，核心内容为共线向量基本定理及应用。通过课前自主落实基础，结合微点助解和基础训练，衔接向量数乘知识，为课堂迁移应用构建学习支架。 其特色是梯度进阶式教学，分向量共线判定、三点共线证明、参数求解题型，配例题、思维建模及针对训练。以三点共线证明为例，用定理推导充要条件，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），助力学生提升逻辑推理和应用能力，教师可直接使用系统资源提高教学效率。

3.2 向量的数乘与向量共线的关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用. 2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使__________. 2.直线的向量表示 通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中_____称为直线l的方向向量. (1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线. 但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0. (2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可. |微|点|助|解| 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. ( 　) (2)若=3,则与共线. ( 　) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. ( 　) (4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). ( 　) × √ √ √ 基础落实训练 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件 √ 3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=__________b.  - 解析:因为|a|=5,|b|=7,所以=.又因为b与a的方向相反,所以a=-b. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量共线的判定 [例1]　(多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 (　　) A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b 解析:对于A,因为e1,e2不共线,所以a与b不共线,A错误;对于B,由式子可知a=-b,所以a∥b,B正确;对于C,因为a,b两向量没有倍数关系,所以a,b不共线,C错误;对于D,因为a=-b,所以a∥b成立,D正确. √ √ 　　向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. |思|维|建|模| 针对训练 1.[多选]向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 (　　) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.|a|=3|b| D.b=-3a 解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确; -3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误. √ √ √ 2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析:因为++=,所以+++=0, 即-2=.所以与共线.故选B. √ 题型(二)　三点共线的判定与证明 [例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2, =3e1-3e2,则(　　) A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 解析:因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+=e1+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C. √ (2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为(　　) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 √ 解析:由A,B,C三点共线可得,∥,∴存在m∈R,使=m, ∴λa+b=ma+mμ b,即(λ-m)a=(mμ-1)b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=, ∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D. 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. |思|维|建|模| 针对训练 3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在(　　) A.△ABC内部 B.直线AC上 C.直线AB上 D.直线BC上 解析:∵=-,=λ+,∴-=λ+. ∴-=λ.∴∥,即与共线. ∴P点一定在AC边所在直线上.故选B. √ 4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线. 证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点, ∴A,B,C三点共线. [例3]　(1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=(　　) A. B. C.- D.- 题型(三)　利用向量共线求参数 解析:由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=. √ (2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值为______. 解析:因为-e1+ke2与-2e1+e2共线, 所以存在实数λ,使-e1+ke2=λ(-2e1+e2), 则(2λ-1)e1=(λ-k)e2.又e1与e2为不共线的非零向量,所以解得k=. 利用向量共线求参数的方法 　　判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. |思|维|建|模| 5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2, =e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为__________. 针对训练 解析:因为A,C,D三点共线,设=m,且=+= 2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2, 所以5e1+2e2=m(e1+ke2), 即5e1+2e2=me1+mke2, 因此解得 6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k=__________. -4 解析:由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+kλe2.∵e1,e2不共线,∴ 解得或∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-,k=-4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.设a,b都是非零向量,下列四个条件,使=成立的充要条件是(　　) A.a=b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同 解析:表示a方向的单位向量,因此=的充要条件是a与b同向即可, 故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.[多选]已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0⇒λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知平面向量a,b,c,下列结论正确的是 (　　) A.若a∥b,则a=b B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若|a|=|b|,则a=b √ 解析:若a,b为非零向量,a∥b,但|a|不一定等于|b|,故a=b不成立,A错误;由|a+b|=|a|+|b|可知a,b同向,于是可知a,b共线,即a∥b,B正确;若b为零向量,a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,C错误;|a|=|b|,但是两个向量方向不一定相同,故不可以推出a=b,D错误.故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]已知4-3=,则下列结论正确的是(　　) A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=. 因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||. B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||,C错误.故选BD. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 解析:由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b, =a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1), 解得λ=-1或λ=2. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 解析:由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2, 故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]下列命题是真命题的是 (　　) A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量 B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量 C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上 D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:A项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;B项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则,的方向不确定,不能判断与是否共线;C项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.故选AD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点, 若=m+,则实数m的值为(　　) A. B. C. D. 解析:由题意可得=5,则=m+×5=m+. 因为B,N,P三点共线,所以m+=1,即m=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=__________. - 解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,所以=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=__________. -2 解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行,所以解得t=-4,λ=-2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=__________. 1 解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.∴-=λ(-). ∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn. (1)判断a,b是否共线;(5分) 解:若a与b共线,由题知a为非零向量, 则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n), ∴得到λ=2且λ=-2, ∴λ不存在,即a与b不共线. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a∥c,求x的值.(5分) 解:∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra, 即m+xn=3rm+2rn, 即解得x=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=90°, E,F分别是线段AB,AC上的点,且=λ,=μ, 其中λ,μ∈(0,1),M,N分别是线段EF,BC的中点. 求证:=(+). 证明:由已知一方面=++,另一方面=++, 因为M,N分别是EF,BC的中点, 所以+=0,+=0, 所以2=+++++ =+, 所以=(+). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,在△ABC中,=,=. 设=a,=b. (1)用a,b表示,;(4分) 解:由题图,=-=b-a,=-=+=(b-a)+a= b+a. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线.(6分) 解:证明:由+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B,当实数p,q满足+=1时, 连接p,q两个向量终点的直线是否通过一个定点?并证明你的结论. 解:连接p,q两个向量终点的直线过定点.证明如下:设=+,则C为定点. 设M是连接p,q两个向量终点的直线上任意一点, 则-p=t(q-p),其中t为参数. ∵+=1,∴q=. ∴=p+t =p+(+-p), 当t=时,=+=, 故连接p,q两个向量终点的直线过定点C. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $