1.7.3 正切函数的图象与性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，通过课前自主落实基础概念，课堂以梯度进阶式题型（图象应用、定义域值域、单调性、奇偶周期）展开，构建从基础认知到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合“思维建模”提炼方法（如正切型函数定义域求解、单调性判断）培养数学思维，通过“微点助解”“基础训练”强化数学语言表达，题型实例丰富（如例2求定义域、例3单调性应用）。学生能梯度巩固知识，教师可依托清晰结构提升教学效率。

7.3 正切函数的图象与性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.正切函数的图象 (1)正切函数y=tan x在上的图象. (2)正切函数的图象称作__________. (3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 正切曲线 2.正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 ___________________________ 值域 R 周期性 最小正周期______ 奇偶性 __________ 对称性 对称中心__________________ 单调性 在区间______________________(k∈Z)上单调递增 π 奇函数 (k∈Z) (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是T=.若不知ω的正负,则该函数的最小正周期为T=. (2)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,并且每个单调区间均为开区间. (3)正切函数在定义域内不是单调函数. |微|点|助|解| 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数. ( 　) (2)正切函数存在闭区间[a,b],使y=tan x是增函数. ( 　) (3)若x是第一象限的角,则y=tan x是增函数. ( 　) (4)正切函数y=tan x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z). ( 　) × √ × × 2.函数y=2tan(-x)是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:y=2tan(-x)=-2tan x,为奇函数. √ 3.函数y=tan 2x的定义域为_________________________. [0,1] 解析:由正切函数的定义知,若使y=tan 2x有意义,则2x≠kπ+(k∈Z),解得x≠+(k∈Z). 4.函数y=tan x,x∈的值域是__________.  解析: 函数y=tan x在上是单调递增的, 所以ymax=tan=1,ymin=tan 0=0. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　正切函数的图象及应用 [例1]　(1)下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x)在x∈内的大致图象,那么由a到c对应的函数关系式应是(　　) A.①②③ B.①③② C.③②① D.③①② √ 解析:y=|tan x|≥0,其图象在x轴及其上方,只有图象a符合,即a对应①,排除C、D.易知y=tan x在内的图象为图b,即b对应②,故排除B选项.y=tan(-x)=-tan x在上单调递减,只有图象c符合,即c对应③,故选A. (2)函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:如图,函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是3. √ (1)作正切函数的图象时,先画一个周期的图象,再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象,通过图象的特点,可用“三点两线法”,这三点是,(0,0),,两线是直线x=±,为渐近线. (2)如果由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图象,可利用图象中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图象,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图象;同理,只要作出y=f(x)的图象,令图象“上不动,下翻上”便可得到y=|f(x)|的图象. |思|维|建|模| 针对训练 1.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为(　　) 解析:∵f(x)为奇函数,∴排除B、C.当x趋近于时,f(x)趋近于-∞,故选D. √ 2.不等式-1≤tan x≤的解集为______________________________. 解析:作出函数y=tan x在区间上的图象,如图所示.观察图象可得,在内,满足条件的x的取值范围为-≤x≤.由正切函数的周期性知,不等式的解集为 . 题型(二)　正切函数的定义域和值域 [例2]　(1)函数f(x)=tan的定义域为(　　) A. B. C. D. √ 解析:由题意可知f(x)=tan需满足2x+≠+kπ,k∈Z, 即x≠+,k∈Z.故函数f(x)=tan的定义域为,故选C. (2)函数y=2tan,x∈的值域是(　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[-,1] √ 解析:∵x∈,∴x-∈, ∴y=2tan∈[-2,2],故选C. 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. (3)处理正切函数的值域问题时,应注意正切函数自身的值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解. |思|维|建|模| 针对训练 3.函数y=的定义域为(　　) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:由题意可得1-tan x≥0,且x≠+kπ,k∈Z,即tan x≤1, ∴x∈,k∈Z. √ 4.函数y=tan2+tan+1的定义域为____________________, 值域为__________. 解析:由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z. 所以函数的定义域为. 设t=tan,则t∈R,y=t2+t+1=+≥, 所以原函数的值域是. [例3]　(1)函数y=tan的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 题型(三)　正切函数的单调性及应用 解析:由kπ-<+<kπ+(k∈Z),可得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z). 因此,函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z). √ (2)下列不等式正确的是 (　　) A.tan>tan B.tan 4>tan 3 C.tan 281°>tan 665° D.tan<tan 解析:因为tan<0,tan>0,所以A选项错误. 因为<3<π,π<4<,所以tan 3<0,tan 4>0.所以B选项正确. 因为tan 281°=tan,tan 665°=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan 281°<tan 665°.所以C选项错误. 因为tan=tan=tan,tan=tan=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan>tan. 所以D选项错误. √ 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. |思|维|建|模| 5.已知函数 y=tan ωx在上单调递减, 则(　　) A.0<ω<1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 针对训练 √ 解析:因为函数 y=tan ωx在上是单调函数, 所以最小正周期T≥π,即≥π, 解得0<|ω|≤1. 又函数y=tan ωx在上单调递减,则根据复合函数单调性判定知ω<0. 综上,-1≤ω<0.故选B. 6.在tan ,tan ,tan ,tan 中值最大的是(　　) A.tan 　 B.tan 　 C.tan D.tan 解析:因为0<<<<<<π,所以tan,tan >0且tan ,tan <0.又正切函数在上单调递增,所以tan <tan .故tan 最大. √ [例4]　(1)函数y=2tan的最小正周期是(　　) A. B. C. D.π 题型(四)　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 解析:T==. √ √ (2)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)图象的一个对称中心为 D.f(x)的最小正周期为π 解析:因为f(x)=tan,所以2x+≠kπ+,解得x≠+,k∈Z. 即函数的定义域不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A错误. 当x=时,2x+=,此时f(x)无意义,故f(x)在区间上单调递增不正确, 故B错误. 当x=时,2x+=,正切函数无意义,故为函数的一个对称中心,故C正确. 由题易知函数的最小正周期为,故D错误. 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=. (3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. |思|维|建|模| 7.关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述不正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称 C.f(x)的最小正周期是 D.f(x)在(k∈Z)上单调递增 针对训练 √ 解析:作出f(x)=|tan x|的图象如图所示, 对于A,f(-x)=|tan(-x)|=|tan x|=f(x), 故f(x)是偶函数,故A正确; 对于B,结合正切函数的性质知f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,故B正确; 对于C,f(x)的最小正周期是π,故C错误; 对于D,结合正切函数的性质知f(x)在(k∈Z)上单调递增,故D正确.故选C. 8.(2025·全国Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:令x-=k·(k∈Z),则x=+(k∈Z),即函数y=2tan图象的对称中心为,k∈Z,∴a=+(k∈Z). 又∵a>0,∴a的最小值为,故选B. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数 y=tan 的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π 解析:函数y=tan的最小正周期是T=.故选B. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数f(x)=tan图象的对称中心可能是(　　) A. B. C. D. 解析:由2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z.当k=0时,x=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数y=|tan 2x|是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析:f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.x∈[0,2π],y=+的定义域为(　　) A. B. C. D. 解析:由题意知 ∴函数的定义域为,故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知函数f(x)=tan,则(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的图象关于点对称 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由|x|+≠+kπ,k∈Z,得|x|≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan=tan=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确. 当x>0时,f(x)=tan,作出函数f(x) 在x>0时的简图,再由f(x)的图象关于 y轴对称得函数f(x)的简图,如图. 根据函数图象知,函数f(x)不具有周期性,且在区间上单调递增,函数图象不关于点对称,故B、D错误,C正确.故选AC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.下列选项大小关系正确的是 (　　) A.cos 2<sin 2<tan 2 B.tan 2<cos 2<sin 2 C.cos 2<tan 2<sin 2 D.tan 2<sin 2<cos 2 √ 解析:因为<2<,且y=sin x在上单调递减,y=cos x在 上单调递减,y=tan x在上单调递增, 所以1=sin >sin 2>sin=,0=cos>cos 2>cos =-,tan 2<tan=-. 所以tan 2<cos 2<sin 2.故选B. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.函数f(x)=a-tan 2x在x∈的最大值为7,最小值为3,则ab为(　　) A.　　　　 B.　　　　C.　　　 　D. 解析:∵x∈,∴b>-. ∴2x∈.∵函数f(x)在x∈的最大值为7,最小值为3, ∴2b<,即b<.∵根据正切函数g(x)=tan x在上单调递增, ∴f(x)=a-tan 2x在上单调递减. ∴f=a+3=7⇒a=4. ∴f(b)=4-tan 2b=3,则tan 2b=.∵2b∈,∴2b=, 即b=.∴ab=4×=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知函数f(x)=tan(7x+φ)+1的图象经过点,则(　　) A.φ= B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)的定义域为 D.不等式f(x)<2的解集为,k∈Z √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题知f=tan+1=1,则tan=0,因为|φ|<,所以φ=-,A错误. f(x)的最小正周期T==,B正确. 令7x-≠+kπ,k∈Z,则x≠+,k∈Z, 所以f(x)的定义域为,C正确. 令tan+1<2,则tan<1, 得-+kπ<7x-<+kπ,k∈Z, 即-+<x<+,k∈Z, 所以不等式f(x)<2的解集为,k∈Z,D正确.故选BCD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)函数y=tan,x∈的值域是__________. (1,] 解析:∵x∈,∴+∈,结合正切函数的性质可得1<y≤. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)比较大小:tan_______tan. <  解析:因为tan=tan, tan=tan , 又y=tan x在上单调递增, 所以tan<tan, 即tan<tan. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)函数y=3tan的单调递减区间为__________________________. (k∈Z) 解析:∵y=3tan=-3tan, ∴kπ-<-<kπ+(k∈Z), 解得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). ∴函数y=3tan的单调递减区间为(k∈Z). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图所示,函数y=tan的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F, 则△DEF的面积为__________. 解析:在y=tan中,令x=0, 得y=tan=1,故|OD|=1. 又函数y=tan的最小正周期为T=, ∴|EF|=.∴S△DEF=·|EF|·|OD|=××1=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;(4分) 解:∵ω=,∴最小正周期T===2π. 令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z). ∴f(x)图象的对称中心是(k∈Z). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.(6分) 解:令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ) ,y=f(x)的部分图象如图. (1)求A,ω,φ的值;(7分) 解:根据函数图象可知,=-=,则T==,解得ω=2. 所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f(x)过点(0,1)和点, 所以因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=π,即φ=. 所以A=1. 所以f(x)=tan. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求y=f(x)的单调递增区间.(3分) 解:由kπ-<2x+<kπ+,k∈Z, 解得-<x<+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间;(6分) 解:(由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ). 因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z. 因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan. 令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z, 得-+<x<+,k∈Z. 所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.(4分) 解:由(1)知,f(x)=tan. 由-1≤tan≤, 得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z, 即-+≤x≤+,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤的解集为. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $