1.5.2 第2课时 余弦函数图象与性质的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦函数图象与性质的应用，通过习题讲评式教学，衔接余弦函数基本性质，构建“图象应用—单调性应用—最值值域问题”的知识脉络，为学生搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于以“思维建模”提炼方法，如利用图象解不等式的四步步骤、换元法求二次函数值域等，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。题型多样且结合图象分析，助力学生用数学眼光观察问题，用数学语言表达解题过程，既提升学生解题能力，也为教师提供系统的教学资源与方法指导。

余弦函数图象与性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　余弦函数图象的应用 题型(二) 余弦函数的单调性及应用 题型(三)　与余弦函数有关的最值、值域问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　余弦函数图象的应用 01 [例1]　已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m=_______; 若f(x)<0,则x的取值集合为__________________________________. 1 解析:当x=时,f(x)=2cos +1=1, ∴m=1.f(x)<0,即cos x<-,作出y=cos x 在x∈[0,2π]上的图象,如图所示. 由图知x的取值集合为 . 利用图象解不等式cos x>a的步骤 (1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上cos x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)写出定义域内的解集. |思|维|建|模| 针对训练 1.函数y=的定义域是____________________________. ,k∈Z 解析:要使函数有意义,只需2cos x-≥0, 即cos x≥.由余弦函数图象知(如图), 所求函数的定义域为,k∈Z. 2.已知方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围. 解:作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.由图象,可知当≤<1,即-1<a≤0时,y=cos x,x∈的图象与y=的图象有两个交点, 即方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根, 故实数a的取值范围为. 题型(二) 余弦函数的单调性及应用 02 [例2]　(1)函数y=1-2cos x的单调递增区间是____________________. [2kπ,2kπ+π](k∈Z) < 解析:因为y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (2)比较大小:cos_____cos. 解析:cos =cos=cos,cos=cos =cos=cos .因为y=cos x在[0,π]上是单调递减的,又<, 所以cos >cos,即cos<cos. 利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小. |思|维|建|模| 针对训练 3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围为 (　　) A. B.(-π,0] C. D.(-π,π) 解析:函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减, 故-π<a≤0. √ 4.cos 110°与sin 10°,-cos 50°的大小关系是__________________________. sin 10°>cos 110°>-cos 50° 解析:因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos 130°. 而y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以sin 10°>cos 110°>-cos 50°. 题型(三)　与余弦函数有关的最值、值域问题 03 [例3]　(1)已知函数y=4cos x-1,x∈,此函数的最小值为_______, 最大值为__________. -1 3 [2,10] 解析:∵x∈,∴当x=0时,函数y=4cos x-1取得最大值为4-1=3;当x=时,函数y=4cos x-1取得最小值为0-1=-1. (2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域是__________. 解析:y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当t=-1时,函数取得最大值10;当t=1时,函数取得最小值2, 所以函数的值域为[2,10]. 求余弦函数的最值、值域的常用方法 (1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性. (2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性. |思|维|建|模| 针对训练 5.函数y=cos2x-3cos x+2的最小值是 (　　) A.2 B.0 C. D.6 解析:设t=cos x, ∴y=t2-3t+2=-(-1≤t≤1), 可知当t=1时取得最小值0. √ 6.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(　　) A.2 B.3 C. +2 D.2 解析:根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],再根据它的值域为[a,b],可得b-a=1-(-2)=3,故选B. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于(　　) A. B.- C.- D.-2 解析:函数的最大值为M=-1=-,最小值为m=--1=-,所以M+m=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数y=cos x在(a,b)上单调递增,则y=cos x在(-b,-a)上 (　　) A.单调递增 B.单调递减 C.单调递增或单调递减 D.以上都不对 √ 解析:∵函数y=cos x为偶函数,∴在关于y轴对称的区间上单调性相反. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知定义在区间[0,2π]上的函数f(x)=则不等式f(x)≤0的解集为(　　) A. B.　 C. D.[π,2π] 解析: 作出函数图象,如图中实线部分,由函数图象得不等式f(x)≤0在区间[0,2π]上的解集为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数f(x)=sin-|lg x|零点的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析:f(x)的零点个数,即为y=sin=cos x与y=|lg x|图象的交点个数, 在同一平面直角坐标系下,两函数图象如图所示. 由图可知,两函数共有4个交点,故f(x)有4个零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.满足cos α≥的角的集合为(　　) A. B. C. D. √ 解析:cos α≥结合余弦函数的性质可得2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z,故满足cos α≥的角的集合为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]关于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)是周期函数 D.函数f(x)在区间(-π,0)上单调递减 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为cos π=-1,1+cos π=0,所以f(x)的定义域不是R,A选项错误. 由1+cos x≠0,得cos x≠-1.所以x≠2kπ+π,k∈Z. 所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z},f(x)的定义域关于原点对称, f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,B选项正确. 因为f(x+2π)===f(x),所以f(x)是周期函数,C选项正确. 当x≠2kπ+π,k∈Z时,1+cos x>0恒成立, 因为y=1+cos x在(-π,0)上单调递增, 所以f(x)=在区间(-π,0)上单调递减,D选项正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若函数y=cos x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析:如图所示为y=cos x的图象, 当y=时,x=+2kπ(k∈Z) 或x=+2kπ(k∈Z), 当y=-1时,x=π+2kπ(k∈Z). 结合图象可知b-a的最小值为π-=,b-a的最大值为-==,∴b-a的取值范围是. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)函数y=的值域是_____________. 解析:∵-1≤cos x≤1,且1-cos x≠0, ∴0<1-cos x≤2,∴y=≥, 即函数y=的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知x∈,则函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为___________. 解析:因为x∈,所以cos x∈. 又y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4=3cos 2x-4cos x+1=3-,所以当cos x=时, ymin=-,当cos x=-时,ymax=. 故函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)比较大小:(1)cos______cos; < 解析:cos=cos=cos,cos=cos=cos. ∵π<<<<2π,又y=cos x在[π,2π]上单调递增,∴cos<cos, 即cos<cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)sin_____cos. < 解析:sin =sin=cos=cos=cos,cos=cos . ∵0<<<π, 又y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos >cos ,即sin<cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为_________. 解析:由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一平面直角坐标系画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示. 观察图象知x∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=2cos x-1. (1)完成下列表格,并用“五点(画图)法”在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图;(5分) x 0 π 2π f(x)           1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:表格如下: x 0 π 2π f(x) 1 -1 -3 -1 1 用“五点(画图)法”在直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图如下. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求不等式f(x)>--1在全体实数上的解集.(5分) 解:由已知f(x)=2cos x-1>--1,得 cos x>-, 得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z, 即不等式f(x)>--1在全体实数上的解集为,k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数y=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及最小正周期. 解:因为-1≤cos x≤1,由题意知b≠0,当b>0时,-b≤-bcos x≤b,所以a-b≤a-bcos x≤a+b. 所以解得 所以y=-4bsin ax=-4sinx. 最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 当b<0时,b≤-bcos x≤-b,所以a+b≤a-bcos x≤a-b.所以解得 所以y=-4bsin ax=4sinx.最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f=0, △ABC的内角A满足f(cos A)≤0,求角A的取值范围. 解:∵当0<A<时,cos A>0,又f(cos A)≤0=f,f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴cos A≤.∴≤A<. ∵当<A<π时,cos A<0,又f(cos A)≤0=f,f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴cos A≤-.∴≤A<π. 当A=时,cos A=0,由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,即f(cos A)=0,满足题意. 综上所述,角A的取值范围是∪. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $