1.5.1 第2课时 正弦函数图象与性质的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数图象与性质的应用，通过习题讲评式教学，从解不等式、求交点等基础例题切入，结合图象分析与性质应用，搭建从正弦函数基础到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于设置“思维建模”环节，提炼解题步骤（如解不等式四步法）和策略（如比较大小转化同名函数），培养数学思维中的推理能力与逻辑分析。题型涵盖选择、填空、解答，实例丰富（如换元法求值域），助力学生用数学语言表达问题，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

正弦函数图象与性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　正弦函数图象的应用 题型(二) 正弦函数的单调性及应用 题型(三)　与正弦函数有关的最值、值域问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　正弦函数图象的应用 01 [例1]　(1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 (　　) A. B. C. D. 解析:因为2sin x-1≥0, 所以sin x≥. 在同一平面直角坐标系下,作函数y=sin x, x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图. 由函数的图象知,sin =sin=. 所以sin x≥的解集为. √ (2)函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin x,x∈(0,4π]与直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D. √ 利用图象解不等式sin x>a的步骤 (1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上sin x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)写出定义域内的解集. |思|维|建|模| 针对训练 1.函数y=|sin x|的最小正周期为 (　　) A.π B.2π C.4π D.没有周期性 解析:y=|sin x|的图象如图, y=|sin x|是由y=sin x位于x轴上方部分不变, 下方部分沿着x轴翻折后得到, 故y=|sin x|的最小正周期为π. √ 2.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是(　　) A.(0,π) B. C. D. 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图,如图. 因为sin =,所以sin=-, sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.故选C. √ 题型(二) 正弦函数的单调性及应用 02 [例2]　比较下列各组数的大小. (1)sin和cos; 解:∵cos=sin, 又<<π<+<,y=sin x在上单调递减,∴sin>sin,即sin>cos . (2)sin和sin. 解:∵cos=sin ,∴0<cos <sin<1<. 而y=sin x在内单调递增, ∴sin<sin. 1.解决函数单调性问题的策略 解决正弦函数的单调性问题时,若求y=Asin 2x的单调区间,先由y=sin x的单调区间确定y=sin 2x的单调区间,再由A的符号确定y=Asin 2x的单调区间. 2.比较大小的解题策略 (1)比较同名三角函数值的大小时,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小. (2)对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后再比较大小. |思|维|建|模| 针对训练 3.[多选]函数f(x)=sin 2x的单调递减区间可以是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) √ √ 解析:由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴函数f(x)=sin 2x的单调递减区间是(k∈Z),B正确. ∵函数f(x)的周期是kπ(k≠0), ∴A也正确.故选AB. 4.比较大小:sin_______sin. > 解析:因为函数y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0, 所以sin>sin. 题型(三)　与正弦函数有关的最值、值域问题 03 [例3]　(1)函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是(　　) A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] 解析:∵x∈,∴sin x∈[-1,1]. ∴-2sin x+1∈[-1,3]. √ (2)函数y=sin2x-4sin x的最小值是__________. 解析:令sin x=t,当x∈R时,t∈[-1,1], 则y=t2-4t,t∈[-1,1]. ∵y=t2-4t=(t-2)2-4, ∴当t∈[-1,1]时,y=t2-4t单调递减. ∴当t=1时,y=t2-4t取最小值,ymin=12-4×1=-3. ∴当sin x=1,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin2x-4sin x的最小值是-3. -3 (3)函数y=的值域为____________. 解析:由题得函数的定义域为R,y===2-, 设t=sin x,t∈[-1,1],所以f(t)=2-,t∈[-1,1]. 由复合函数单调性得函数f(t)在[-1,1]上单调递增, 所以f(t)min=f(-1)=2-=-, f(t)max=f(1)=2-=. 所以函数y=的值域为. |思|维|建|模| (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质. (2)形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b. (3)形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解. 针对训练 5.函数y=3sin x的值域是__________. 解析:因为x∈R,所以sin x∈[-1,1]. 因为指数函数y=3t在定义域内是单调递增的, 所以3sin x∈.所以函数的值域为. 6.函数y=sin在x∈上的最大值为__________. 1 解析:由x∈,得x+∈,即x+=时,函数有最大值,ymax=sin =1. 7.设|x|≤,则函数f(x)=1-sin2x+sin x的最小值为____________.  解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-+.∵|x|≤,∴-≤sin x≤. ∴当sin x=-时,f(x)min=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数y=3sin x+5的最大值为(　　) A.2 B.5 C.8 D.7 解析:∵-≤x≤0,∴-1≤sin x≤0. ∴2≤3sin x+5≤5,即2≤y≤5. ∴函数y=3sin x+5的最大值为5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设函数f(x)=sin x,下列结论不成立的是 (　　) A.f>0 B.-1≤f(x)≤1 C.最小正周期是2π D.f>f 解析:对于A,f=sin=>0,故A正确; 对于B,-1≤sin x≤1,故B正确; 对于C,f(x)=sin x的最小正周期为2π,故C正确; 对于D,由于f(x)=sin x在上单调递增, 则f<f,故D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.定义在R上的奇函数f(x)的周期是π,当x∈时,f(x)=sin x, 则f的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析:依题意,f(x)是定义在R上的奇函数,且是周期为π的周期函数, f=f=f=-f=-sin=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.方程sin x=的根的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 √ 解析:在同一平面直角坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集是(　　) A. B. C. D. √ 解析:如图所示,不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]对于函数f(x)=sin 2x,下列选项错误的是 (　　) A.f(x)在上是单调递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 解析:因为函数y=sin x在上是单调递减的,所以f(x)=sin 2x在上是单调递减的,故A错误;因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B正确;f(x)的最小正周期为π,故C错误;f(x)的最大值为1,故D错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列四个结论正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)在[-π,π]上有4个零点 D.f(x)的最大值为2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,故A正确.当x∈时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,故B错误.当x=0时, f(x)=0,当x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令f(x)=0,得x=π.又∵f(x)是偶函数,∴函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误. ∵sin|x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2. 当x=+2kπ(k≥0,k∈Z)或x=-+2kπ(k≤0,k∈Z)时,f(x)能取得最大值2,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)比较大小:sin __________sin . < 解析:∵sin=sin ,sin=sin , 又0<<<,y=sin x在上是单调递增的,∴sin<sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)函数y=sin(x+π)在上的单调递增区间为__________. 解析:由x∈,得x+π∈.令t=x+π,由函数y=sin t在上的图象,知其单调递增区间为,则≤x+π≤2π,解得≤x≤π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为________________. 或 解析:因为y=sin x+,令y=1,即sin x+=1,则sin x=,所以x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).因为x∈[0,2π],所以x=或x=.所以函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)=-4sin2x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为__________. 解析:设t=sin x,则y=-4t2+4t=-4+1,∵y∈[0,1],x∈[0,a],∴t必须取到.∴a≥.又x=π时,t=0,y=0,∴a≤π.∴≤a≤π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)关于x的不等式<sin x≤的解集为 ____________________________________________________. 解析:作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象, 作出直线y=和y=,如图所示. 由图可知,在[0,2π]上当<x≤或≤x<时,不等式<sin x≤成立,所以原不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13. (10分)已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出函数的简图;(8分) 解:y=sin x+|sin x| = 函数图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.(2分) 解:由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次, 则函数的最小正周期是2π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)比较下列三角函数值的大小. (1)sin与sin;(5分) 解:sin=-sin , sin=-sin=-sin. ∵<<<,且y=sin x在上单调递减,∴sin >sin. ∴-sin<-sin, 即sin<sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)sin 196°与cos 156°.(5分) 解:sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°)= -cos 24°=-sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在0°~90°上单调递增, ∴sin 16°<sin 66°. ∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $