1.4.3 诱导公式与对称-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦诱导公式与对称，通过单位圆对称性构建角α与-α、π±α的正弦余弦关系，课前自主落实基础公式，课堂分对称理解、给角求值、条件求值题型梯度进阶，形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于用单位圆图示直观呈现终边对称关系，培养几何直观（数学眼光），通过“负化正、大化小、小化锐”步骤与“函数名不变，符号看象限”口诀发展逻辑推理（数学思维），题型从基础到综合提升数学语言表达能力，助力学生构建知识体系，教师可高效开展梯度教学。

4.3 诱导公式与对称 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系. 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系. 3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于x轴对称 公式 sin(-α)=_______,cos(-α)=_______ 性质 正弦函数v=sin α是_______,余弦函数u=cos α是_______ -sin α cos α 奇函数 偶函数 2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于原点对称 公式 sin(α+π)=________,cos(α+π)=________, sin(α-π)=________,cos(α-π)=________ -sin α -sin α -cos α -cos α 3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系 终边关系 图示 点P与P' 关于y轴对称 公式 sin(π-α)=_______,cos(π-α)=________ sin α -cos α (1)诱导公式中α可以是任意角. (2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. (3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α. |微|点|助|解| 基础落实训练 1.化简:cos(3π-α)= (　　) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α 解析:cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α.　 2.计算:sin 210°=(　　) A. B.- C. D.- 解析:sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D. 3.角与角的终边关于__________对称.  原点 √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对称的理解 [例1]　画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系. (1),; 解:如图①,角与的终边与单位圆的交点关于y轴对称. (2),-; 解:如图②,角与-的终边 与单位圆的交点关于x轴对称. (3)-,; 解:如图③,角-与的终边 与单位圆的交点重合. (4)-,. 解:如图④,角-与的终边 与单位圆的交点关于原点对称. 判断两角终边位置关系的步骤 |思|维|建|模| 建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 针对训练 1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标. 解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为. 题型(二)　给角求值 [例2]　计算下列各式的值. (1)sin 750°. 解:sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=. (2)sin-cos. 解:原式=-sin-cos=-sin-cos= sin +cos =+=1. (3)cos+cos +cos+cos+cos+cos. 解:原式=cos+cos+cos+cos+cos+cos= cos+cos+cos-cos-cos-cos=0. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 |思|维|建|模| 针对训练 2.计算下列各式的值. (1)cos(-660°)+sin 390°; 解:cos(-660°)+sin 390°=cos(-720°+60°)+sin 30°=+=1. (2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°; 解:sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035° =sin(30°-360°)-cos(240°+720°)-cos(1 080°-45°)=sin 30°-cos 240°-cos(-45°) =sin 30°+cos 60°-cos 45°=+- =1-. (3)sin+cos +cos. 解:sin+cos+cos =sin+cos+cos =-sin+cos+cos =-sin-cos-cos =--- =--. 题型(三)　条件求值 [例3]　已知cos=,求下列各式的值. (1)cos; 解:cos=cos =-cos=-. (2)cos. 解:cos=cos =cos=cos=. 　　[变式拓展] 若本例的条件不变,求cos-sin2的值. 解:因为cos=cos =-cos=-,sin2 =sin2=1-cos2 =1-=, 所以cos-sin2 =--=-. 解决条件求值问题的两个技巧 |思|维|建|模| [提醒]　设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. 3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于(　　) A. B.± C. D.- 针对训练 解析:由cos(π+α)=-,得cos α=, ∵π<α<2π,∴α=. 故sin(2π+α)=sin α=sin=-sin=-. √ 4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)=__________. 解析:由sin(π-x)=,得sin x=. 当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时, = ==sin2x=; 当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时, ===sin2x=.综上,原式=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.cos的值是(　　) A.- B. C.- D. 解析:cos=cos=cos=cos=-cos=-. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如果cos(5π+A)=-,那么cos A=(　　) A. B.- C.- D. 解析:由cos(5π+A)=-,得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-,即cos A=.故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知sin(π-α)=,则sin(α-2 025π)的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析:由sin(π-α)=sin α,得sin α=.所以sin(α-2 025π)=sin[(α-π)-2 024π]= sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α=-. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.sin 2 024°最接近 (　　) A.- B.- C. D. √ 解析:sin 2 024°=sin(12×180°-136°)=sin(-136°),其中-136°为第三象限角, 且当α为第三象限角时,sin α<0, 其中sin(-135°)=-sin 45°=-, 又sin(-120°)=-sin 60°=-, 而-135°较-120°离-136°更近, 综上,sin 2 024°最接近-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是(　　) A.sin B.cos C.sin D.cos √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对于A,当n=2k,k∈Z时, sin=sin=sin π =sin=-sin ,所以A错误; 对于B, cos=cos=sin ,所以B正确; 对于C,sin=sin,所以C正确; 对于D, cos=cos=cos=-cos=-sin,所以D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]下列化简正确的是 (　　) A.sin(π+1)=-sin 1 B.=1 C.=tan α D.=-1 √ √ √ 解析:由诱导公式可得sin(π+1)=-sin 1,故A正确; ==1,故B正确;==-tan α,故C不正确; ==-1,故D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若角α顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边一点P的坐标为,则角α为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:因为sin=sin=sin=-sin=-<0,cos=cos= -cos=-<0,所以点P在第三象限.所以角α为第三象限角.故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)化简:sin+cos(-2 640°)的值为__________. 0 解析:sin+cos(-2 640°) =-sin+cos 2 640° =sin+cos(360°×7+120°) =+cos(180°-60°) =-cos 60°=-=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若cos=,则cos的值为__________. - 解析:因为cos=, 所以cos=-cos =-cos=-cos=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一,高斯函数f(x)=[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[3.65]=3,[-1.27]=-2.若函数f(k)=(k∈Z),则f(k)的值域为__________. {0,1} 解析:当k为偶数时,sin=sin, 所以f(k)==1; 当k为奇数时,sin=-sin, 所以f(k)=[0]=0.所以f(k)的值域为{0,1}. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为__________. - 解析:因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z), 所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈, 所以cos β∈,故cos β的最大值为-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)计算:. 解:原式= ===-1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)若cos α=,α是第四象限角, 求的值. 解:由cos α=,α是第四象限角,不妨取角α终边上一点为(2,y),易知r=3. 由x2+y2=r2,得y=-=-,得sin α=-.故 ==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)化简下列各式: (1);(5分) 解:原式= ====-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).(5分) 解:原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°) +cos(180°+60°)sin(180°+30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sin x,x∈R.当0≤x<π时,f(x)=0,求f. 解:∵f(x+π)=f(x)+sin x, ∴f=f=f+sin =f+sin=f+sin+sin =f+sin+sin =f+sin +sin+sin. ∵当0≤x<π时,f(x)=0, ∴f=0+sin+sin+sin =sin+sin+sin =sin-sin +sin=sin=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $