精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十八中学2020-2021学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2020-2021学年乌鲁木齐市第六十八中学八年级上学期 第一次月考数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，解题的关键是掌握并应用三角形的三边关系． 【详解】解：根据三角形三边关系，可知： A：，能组成三角形，符合题意； B：，不能组成三角形，不符合题意； C：，不能组成三角形，不符合题意； D：，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A 2. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据三角板可知，， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据、，可得∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，且EF=BC，可证， 从而得AC=DF，DC=AF，再根据，，求出DC，从而求出AC的长． 【详解】∵、， ∴∠F=∠C，∠EDF=∠BAC， 在和中，∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，EF=BC， ∴， ∴AC=DF，可得DC=AF 又DC=(FC-AD)÷2=(10-3)÷2=3.5 ∴AC=AD+DC=6.5 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握三角形的全等判定及性质是解决问题的关键，同时对于线段长度的转换是比较关键的． 4. 若三角形的三边长分别为4，a，9，则a的取值范围是（ ） A. 5＜a＜9 B. 5＜a＜13 C. 4＜a＜13 D. 5≤a≤13 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系即可得到． 【详解】解：根据题意得，， 的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5. 如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则等于（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可进行解答． 【详解】解：∵CE是△ACD的中线，， ∴， ∵AD是△ABC的中线， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的中线将三角形分为两个等底同高的三角形是解题的关键． 6. 一个多边形每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，关键是掌握多边形的外角和为．由题意可知此多边形为正多边形，根据多边形外角和的性质求解即可． 【详解】解：由一个多边形每个外角都等于， 则正多边形的边数为． 故选：A． 7. 下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，以及三角形的外角性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A.如图： ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠1+∠3， ∵ab， ∴∠ACD=∠2， ∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意； B.如图：延长AD交BF于点C， ∵ab， ∴∠1=∠ACF， ∵∠ACF=∠3+∠2， ∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意； C.如图：过点A作ABa， ∴∠2+∠CAB=180°， ∵ab， ∴ABb， ∴∠1+∠BAD=180°， ∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意； D.如图：延长DA交直线b于点C， ∵ab， ∴∠2=∠DCB， ∵∠3=∠1+∠DCB， ∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 如图中，，，，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用边角边证明得到与全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得，然后根据等腰三角形顶角与底角的关系即可得解． 【详解】解：在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底角与顶角的关系，根据全等三角形对应角相等推出是解题的关键． 9. 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，Rt△PAN≌Rt△PAM，即可得出答案． 【详解】证明：连接PB，PC， ∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC， ∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°， ∵P在BC的垂直平分线上， ∴PC=PB， 在Rt△PMC和Rt△PNB中 ， ∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）， ∴BN=CM． 在Rt△PAN后Rt△PAM中， ， ∴Rt△PAN≌Rt△PAM， ∴AM=AN， ∴AB+AC=AM+CM+AN-BN=2AM=16， ∴AM=8，CM=AC-AM=11-8=3， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是______． 【答案】2＜x＜5． 【解析】 【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜1+2x＜3+8，解不等式即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜1+2x＜3+8， 解得：2＜x＜5． 故答案为2＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 11. ∠ABC的平分线交∠ACB的平分线于O，若∠A＝70°，则∠BOC＝_____． 【答案】125° 【解析】 【分析】由角平分线性质，得，，由三角形内角和定理，得，则，即可求出. 【详解】解：如图： ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为125°. 【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．解题的关键是正确求出的度数. 12. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出，由角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可得到点到的距离． 【详解】解：过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴点到的距离是3， 13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________ 【答案】131° 【解析】 【详解】解：延长CD交AB于E．∵∠C=20°，∠BAC=90°，∴∠CEB=∠C+∠BAC=110°．∵∠B=21°，∴∠BDC=∠B+∠CEB=21°+110°=131°．故答案为131°． 点睛：本题考查了三角形外角的性质，能灵活运用性质进行推理是解答此题的关键．注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 14. 如图，，要使，还需要添加一个条件是_______（填上你认为适当的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，把沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠得出，，求出和的度数，再求出和的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：延长BE和CD交于O， 把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部， ，， ，， ，， ，， ， 故答案是：． 【点睛】考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是能求出和的度数． 三、解答题（共55分） 16. 已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小． （1）求x的取值范围； （2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长． 【答案】（1）2＜x≤8 （2）当x＝8时，三角形的周长最大，为26 【解析】 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围． （2）由（1）可知，当x=8时，三角形周长最大，据此求解即可． 【小问1详解】 由三角形的三边关系，得2＜x＜18， ∵x为最小， ∴x的取值范围是2＜x≤8； 【小问2详解】 当x＝8时，三角形的周长最大， 且最大值是8+10+8＝26． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其性质是解题的关键． 17. 已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 18. 如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【答案】∠DAE=15°． 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=90°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=45°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=30°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°． 【详解】在△ABC中，∠B=60°，∠C=30° ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90° ∵AE是的角平分线 ∴∠BAE=∠BAC=45°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90° ∴在△ADB中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30° ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°﹣30°=15° 【点睛】本题重点考查了同学们对三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质等知识点的理解和掌握，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和等于180°． 19. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 20. （1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A=56°，求∠BOC的度数； （2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠A和∠P的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠BOC=118°；（2）∠A=2∠P，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到2∠PCD=∠A． 【详解】解：（1）∵∠A=56°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=124°， ∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠CBO=∠ABO，∠ACO=∠BCO， ∴∠CBO+∠BCO=（∠ABC+∠ACB）=×124°=62°， ∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=118°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCD， ∴∠ACD-∠ABC=2（∠PCD-∠PBC）， ∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC， ∴∠A=2∠P． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD=∠A是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：DE=EF； （2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数； （3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2）∠DEF=68°；（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题； （2）根据全等三角形的性质，得出∠BED=∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数； （3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数． 【详解】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE=EF； （2）当∠A=44°时，∠B=∠C=（180°﹣44°）=68°， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠BED=∠CFE， ∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°﹣68°=112°， ∴∠BED+∠CEF=112°， ∴∠DEF=180°﹣112°=68°； （3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形． 证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°， ∴∠BED+∠CEF=120°， 又∵△BDE≌△CEF， ∴∠BED=∠CFE， ∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°， ∴∠C=180°﹣120°=60°=∠B， ∴△ABC中，∠A=180°﹣60°×2=60°． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°． 22. 如图，在中，平分交的延长线于点．求证：． 【答案】 证明：延长，交于点， ∵， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键． 23. 如图，已知在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； （2）若点与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】（1） 解：结论：与全等． 理由：经过秒后，， 中，， ， 在和中， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是明确对应关系； （1）根据边角边论证两三角形全等； （2）根据对应关系不同分两种情况讨论两三角形全等，进而求得速度． 【详解】（1）略 （2）解：设点的运动速度为，经过与全等； 则可知，，， ， ， ①当且时，（）， 且， 解得， ， 舍去此情况； ②当时，（） ∴且， 解得：； ∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴当点的运动速度为时，能够使与全等． 24. 问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； （1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； （2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； （3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用证明三角形全等即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）利用（2）的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解． 【小问1详解】 证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：同（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之和为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年乌鲁木齐市第六十八中学八年级上学期 第一次月考数学试卷 满分：100分 考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 4. 若三角形的三边长分别为4，a，9，则a的取值范围是（ ） A. 5＜a＜9 B. 5＜a＜13 C. 4＜a＜13 D. 5≤a≤13 5. 如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则等于（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 一个多边形每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图中，，，，则　　 A. B. C. D. 9. 如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是______． 11. ∠ABC的平分线交∠ACB的平分线于O，若∠A＝70°，则∠BOC＝_____． 12. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离是_____________． 13. 一个零件的形状如图所示，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，则∠BDC＝__________ 14. 如图，，要使，还需要添加一个条件是_______（填上你认为适当的一个条件即可） 15. 如图，把沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，若，，则______． 三、解答题（共55分） 16. 已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小． （1）求x的取值范围； （2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长． 17. 已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 18. 如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 19. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 20. （1）如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A=56°，求∠BOC的度数； （2）如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠A和∠P的数量关系，并证明你的结论． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：DE=EF； （2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数； （3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论． 22. 如图，在中，平分交的延长线于点．求证：． 23. 如图，已知在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； （2）若点与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等？ 24. 问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； （1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； （2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； （3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $