精品解析：2022年山东省泰安市岱岳区英雄山中学中考数学一模试卷

2022年山东省泰安市岱岳区英雄山中学中考数学一模试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 我国冬奥会于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ②④ 2. 世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为（ ） A. 5.17×109 B. 5.17×108 C. 0.517×1010 D. 0.517×109 3. 下列运算正确的是（ ） A. x·x2= x2 B. x2﹣y2 =(x﹣y) 2 C. (﹣2x2) 3 =﹣8x6 D. x2+ x2= x4 4. 如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（　　） A. 25° B. 50° C. 65° D. 75° 5. 下列说法正确的个数是（　　） ①0.01的立方根是0.000001； ②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等； ③正三角形既是中心对称又是轴对称图形； ④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形； ⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（　　） A. ﹣4≤y＜5 B. ﹣4＜y＜5 C. ﹣3≤y≤5 D. ﹣4＜y＜﹣3 8. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为（ ） A. 50° B. 54° C. 58° D. 62° 9. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 单项式的系数为___________． 12. 菱形的边长为5，则它的周长为____________． 13. 若是方程的根，则____________． 14. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为__________．（参考数据：，，） 15. 已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 _____边形． 16. 为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．（参考数据：） 17. 如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是______． 三、解答题（共8小题，满分62分） 18. 计算：( 2﹣π)0+ + |﹣9|﹣tan30° 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为______人，_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21. 已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值． 22. 如图，为的对角线． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形为菱形． 23. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 24. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 25. 已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年山东省泰安市岱岳区英雄山中学中考数学一模试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 我国冬奥会于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：①不是中心对称图形，故①不合题意； ②是中心对称图形，故②符合题意； ③不是中心对称图形，故③不合题意； ④不是中心对称图形，故④不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 2. 世界卫生组织2022年5月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例达5.17亿，数据“5.17亿”可用科学记数法表示为（ ） A. 5.17×109 B. 5.17×108 C. 0.517×1010 D. 0.517×109 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. x·x2= x2 B. x2﹣y2 =(x﹣y) 2 C. (﹣2x2) 3 =﹣8x6 D. x2+ x2= x4 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、平方差公式、积的乘方法则和合并同类项的知识逐项判断即可． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、平方差公式、积的乘方法则和合并同类项的知识，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. 如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（　　） A. 25° B. 50° C. 65° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明，可得，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：在与中， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5. 下列说法正确的个数是（　　） ①0.01的立方根是0.000001； ②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等； ③正三角形既是中心对称又是轴对称图形； ④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形； ⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根，中心对称和轴对称图形定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形），矩形的判定，三角形内心（三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心）逐项判断即可求解． 【详解】①0.000001的立方根是0.01，故①错误； ②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等或互补，故②错误； ③正三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故③错误； ④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形，故④错误； ⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，故⑤错误； 所以，正确的个数为0个． 故选：A 【点睛】本题考查了立方根，轴对称图形，中心对称图形，矩形、中点四边形，三角形内心，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 7. 已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（　　） A. ﹣4≤y＜5 B. ﹣4＜y＜5 C. ﹣3≤y≤5 D. ﹣4＜y＜﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】先将二次函数的解析式化为顶点式，可得当时，该二次函数有最小值-4，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，然后把和分别代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标为，图象开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值-4， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 8. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为（ ） A. 50° B. 54° C. 58° D. 62° 【答案】B 【解析】 【分析】根据AD∥BC以及平角求出∠1与∠2，再利用四边形内角和求出即可求出∠3． 【详解】解：由折叠可知：， ， ， ， ， ，， 设交BC于点H， 由四边形内角和可知：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及轴对称的性质，掌握平行线性质以及轴对称的性质是解题关键． 9. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=． 方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=． 【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， 有题意可知， ∴， ∴S圆=． 方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D， ∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， ∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=， ∵OD⊥AB，AB为弦， ∴AD=BD=， ∴AD=OAcos30°， ∴OA=， ∴S圆=． 故答案为A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键． 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点（3，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由可得， 根据图象，抛物线与直线有交点， ∴有实数根，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上所述，正确的为②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 单项式的系数为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】的系数是3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 12. 菱形的边长为5，则它的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的四条边相等，即可求出． 【详解】∵菱形的四条边相等． ∴周长：， 故答案为：20． 【点睛】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键． 13. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 14. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为__________．（参考数据：，，） 【答案】2.05 【解析】 【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可． 【详解】解：∵AB=AC=2.5m，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴AD=AC•sin55°=2.5×0.82≈2.05（m）， 故答案为2.05． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 _____边形． 【答案】六 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为，进行计算即可． 【详解】解：； ∴这个多边形为六边形； 故答案为：六． 16. 为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成60°角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．（参考数据：） 【答案】9 【解析】 【分析】先算出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在Rt△ABC中，AB＝6m，∠CAB＝60°， ∴AC＝ABcos60°＝6×=3（m）， 在Rt△DHG中，HG＝2.4m，∠HDG＝60°， ， ∵∠GDE＝90°， ∴∠FDE＝180°−∠HDG−∠GDE＝30°， ∵∠DFE＝90°， ∴∠DEF＝90°−∠FDE＝60°， 在Rt△DFE中，DE＝2.4m， ∴DF＝DEsin60°＝2.4×， ∴ ∴在这一路段边上最多可以划出9个车位， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值． 【详解】解：当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图所示： ∵AC为圆的切线， ∴OD⊥AC， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴ODBC， O为AB中点， ， 为中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD＝BC＝6， 同理可得PO＝AC＝8， ∴PQ＝OP−OQ＝8−6＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查切线的性质及直角三角形的判定，先确定出当PQ最得最小值时点P的位置是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分62分） 18. 计算：( 2﹣π)0+ + |﹣9|﹣tan30° 【答案】10 【解析】 【分析】根据零指数幂的计算法则、二次根式化简、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【解析】 【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可； 【详解】解：原式=， 将a=5代入得：原式=2×5+1=11. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键． 20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为______人，_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30； （2）补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去A、B、D的人数可得C等级的人数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到m值； （2）求出C等级的人数，即可补全统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）8÷20%=40人， （40-4-8-16）÷40×100%=30%， 则m=30； （2）40-4-8-16=12人 （3）如图， 共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种， 所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键． 21. 已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程组， 把②代入①得：， 解得：，代入①中， 解得：， 把，代入方程得，， 解得：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 22. 如图，为的对角线． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的作法作图即可； （2）证，得到，根据垂直平分线的性质证四边相等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 24. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．） 【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大． 【解析】 【分析】（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可； （2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案． 【详解】解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 所以，甲种图书售价为每本元， 答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元． （2）设甲种图书进货本，总利润元，则 ． 又∵， 解得：． ∵随的增大而增大， ∴当最大时最大， ∴当本时最大， 此时，乙种图书进货本数为（本）． 答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键． 25. 已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）； （2）结论成立． 理由：如图2中， ，， ， ， ， ，， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， ，，， ，， ， ， ，， ， ． （2）略 （3）如图3中， 由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $