必刷小卷3 解答题前3题强化练（3）43分练-2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题 前3道题 练大题 就是找准度！ 必刷小卷3 解答题强化练[3] 15+16+17 43分练 【循环组合 概率与统计vs三角函数vs立体几何】 训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何 训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计 训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数 训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数 训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计 训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何 ■→训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·陕西渭南模拟,13分，★★]人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解析】（1）零假设该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄无关， 而， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关. （2）设事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用技术的教师， 事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45岁， 由题意，， 则. 16. [2026·山东德州一模.15分，★★]已知为锐角三角形，. （1）求； （2）求； （3）若外接圆的周长为，求的面积. 【解析】（1）因为， 所以， 又，所以， 联立得； （2）因为，且三角形为锐角三角形，所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以，解得或， 因为角为锐角，所以， （3）因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 17. [2026·内蒙古包头模拟,15分，★★★]如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 【解析】（1）因为均为等边三角形，且为棱的中点， 所以, 又,平面， 所以平面. （2）（ⅰ）设点是底面正的中心，连接, 则为正四面体的高， 由题知，在中，， 在中，由勾股定理可得， 由等体积法得，，则， 即，则内切球的半径为3. （ⅱ）因为平面，所以点在上，且在球面上, 所以，当最小时，则, 以为坐标原点，过作平行线为轴，以为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则； 设平面的法向量， 则，令，则， 设二面角大小为， 则，所以. 即二面角的正弦值为. ■→训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·山东烟台一模.13分，★★]已知的内角的对边分别为，，且的面积为． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的值． 【解析】（1）由余弦定理得，因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 16. [2026·山东临沂一模.15分，★★]如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）因为四边形为矩形，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 因平面，所以，， 又因为四边形为正方形，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 所以向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面的夹角为， 可得， 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 17．[2026·河南实验中学模拟.15分，★★]随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 【解析】（1）由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，，得：， 由，，得：， 代入最小二乘法估计公式，得： ， ， ， 故关于的回归方程为：. （2）由题意知： 服从二项分布，即.由二项分布的概率计算公式得： ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. ■→训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·浙江强基联盟3月联考,13分，★★]如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）法一：如图，过作于，连接， 由（1）知，又因为，、平面， 所以平面，所以就是平面与平面的夹角， 因为平面，平面，所以， 因为， 则， ，则， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 法二：以为原点建立如图所示的坐标系， 则，，，， 由轴平面，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由题意，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 16．[2026·广东汕头一模.15分，★★]某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【解析】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致，A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠；B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 17．[2026·河北唐山一模.15分，★★]记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. （1）证明：； （2）若，求A. 【解析】（1）证明：因为， 所以， 整理得，由正弦定理得：. （2）由（1）得，由余弦定理得： ，， 因为，所以， 整理得，所以， 整理得.因为所以. ■→训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·重庆联盟一模.13分，★★]某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） （2）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 16．[2026·江苏扬州一模.15分，★★]如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． (1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 【解析】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN． 因为，，所以且， 因此四边形PCBN是平行四边形，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 因为，，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 而平面PMN， 所以平面平面CDB， 又平面PMN，所以平面CDB． 解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME， 又，所以，且， 又，且，所以，且． 所以四边形PCEM是平行四边形，所以， 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． （2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF， 因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB， 所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以， 因为， 所以． 连接OD，则，即点F为OB的中点． 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 于是． 设平面APD的法向量为，则，得， 取，可得． 设平面PDB的法向量为，则，得， 取，可得． 所以， 故二面角的正弦值为． 17. [2026·湖北武汉模拟.15分，★★] 设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）设射线与x正半轴的夹角为，则，， 由三角函数定义可知，， 因为，则， 所以． （2）由题知， 由，，可知初始位置，即， 得， 终边位置，即，即， 由（1）知，所以，所以当，取得最小值， 所以n的取值范围为， 因为在上单调递增，上单调递减， 所以当时，， 由， 可知时， 所以的取值范围为． ■→训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·山东德州一模,13分，★★]如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面平面，交线为平面， 所以平面，又平面，故. 又因为平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，由题设得，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，可得 又是平面的法向量， 设平面与平面所成角为， ，所以， 所以平面与平面所成角的正弦值是. 16．[2026·宁夏银川三校一模.15分，★★]在中，角，，的对边分别为，，．已知 （1）求； （2）若，的面积为，求，． 【解析】（1）中，已知， 由正弦定理可得， ∵，∴ ，△ABC中，，∴ ， ∴ （2）a=2，△ABC的面积为 ∴ ，解得bc=4. 由余弦定理可得： 化为. 联立 ，解得，∴. 17. [2026·山东临沂一模.15分，★★]某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【解析】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为，因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，, 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. ■→训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·福建莆田第二次调研.13分，★★]已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 【解析】（1）将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 16. [2026·河北石家庄模拟,15分，★★]随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. （1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； （2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【解析】（1）记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 17. [2026·陕西渭南中学模拟,15分，★★]如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（1）因为，，所以，， 在中：， 由勾股定理的逆定理得：， 因为是等腰直角三角形，且斜边， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 又，，， 因此， 在中：， 由勾股逆定理得：， 因为，且平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （2）（i）以原点，为轴，为轴，平面内垂直于方向为轴建立空间直角坐标系：则 ，，，；， 设外接球的球心，球半径为， 因为球心到各顶点距离相等， 所以，  解方程得：，，，即球心，且， 因此外接球的表面积； （ii）设直线与直线所成角为，又 ，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学解答题 前3道题 练大题 就是找准度！ 必刷小卷3 解答题强化练[3] 15+16+17 43分练 【循环组合 概率与统计vs三角函数vs立体几何】 训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何 训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计 训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数 训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数 训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计 训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何 ■→训练专项01：概率与统计+三角函数+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·陕西渭南模拟,13分，★★]人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 规范答题 16. [2026·山东德州一模,15分，★★]已知为锐角三角形，. （1）求； （2）求； （3）若外接圆的周长为，求的面积. 规范答题 17. [2026·内蒙古包头模拟,15分，★★★]如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 规范答题 ■→训练专项02：三角函数+立体几何+概率与统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·山东烟台一模,13分，★★]已知的内角的对边分别为，，且的面积为． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的值．规范答题 16. [2026·山东临沂一模,15分，★★]如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.规范答题 17．[2026·河南实验中学模拟,15分，★★]随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 (1)由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； (2)数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 规范答题 ■→训练专项03：立体几何+概率与统计+三角函数 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·浙江强基联盟3月联考,13分，★★]如图，在三棱锥中，平面，，，E为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值．规范答题 16．[2026·广东汕头一模,15分，★★]某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 规范答题 17．[2026·河北唐山一模,15分，★★]记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. （1）证明：； （2）若，求A.规范答题 ■→训练专项04：概率与统计+立体几何+三角函数 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·重庆联盟一模,13分，★★]某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） （2）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 规范答题 16．[2026·江苏扬州一模,15分，★★]如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． (1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 规范答题 17. [2026·湖北武汉模拟,15分，★★] 设点沿的圆周按逆时针方向旋转角后到点． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围．规范答题 ■→训练专项05：立体几何+三角函数+概率与统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·山东德州一模,13分，★★]如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值.规范答题 16．[2026·宁夏银川三校一模,15分，★★]在中，角，，的对边分别为，，．已知 （1）求； （2）若，的面积为，求，．规范答题 17. [2026·山东临沂一模,15分，★★]某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 规范答题 ■→训练专项06：三角函数+概率与统计+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·福建莆田第二次调研，13分，★★]已知函数（）的图象过点. （1）求的单调递增区间； （2）当，且时，证明：. 规范答题 16. [2026·河北石家庄模拟,15分，★★]随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. （1）求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； （2）在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 规范答题 17. [2026·陕西渭南中学模拟,15分，★★]如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值．规范答题 学科网（北京）股份有限公司 $