精品解析：吉林省长春市解放大路学校初中部2021-2022九年级下学期4月大练习数学试题（线上）

解放大路学校初中部2021－－2022下学期九年级 数学大练习试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出每个选项中数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：分别计算各选项数的绝对值：，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是，对应选项为C． 2. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得． 3. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，则下列说法中正确的是（ ） A. 甲和乙左视图不相同，主视图相同 B. 甲和乙左视图不相同，主视图不相同 C. 甲和乙左视图相同，主视图不相同 D. 甲和乙左视图相同，主视图相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图． 根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状． 【详解】解：由题意可知甲的主视图和左视图如下图所示： 乙的主视图和左视图如下图所示： 故甲和乙左视图不相同，主视图相同， 故选：A． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集． 5. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， 可知AE=DC=150，EC=AD=1.5， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 6. 如图，、分别与相切于点、，，为劣弧上一点（不与端点重合），则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，在优弧上取点，连接、，由切线的性质可得，结合四边形内角和为，可计算出．由圆心角和圆周角的关系可得，利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取点，连接、， ∵、分别与相切于点、， ∴， ∴， ∴， 由圆内接四边形对角互补可得，． 7. 观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断． 【详解】解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD， ∴点D即为线段AB的中点， ∴CD为△ABC的边AB上的中线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、两点，若的面积等于，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点，交于点，作轴于点，设点的坐标为，则，．容易证明四边形是矩形，则，由等腰三角形的性质可得，因此点的坐标为．容易证明四边形是矩形，则，从而得到，结合的面积等于，求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作轴于点，设点的坐标为， ∵，轴于点， ∴，，， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 10. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12. 如图，，，平分，则的度数为_______． 【答案】70 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 13. 如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，，，，， ，从而得出， ，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，，，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴折叠后的图案（阴影部分）面积为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴，  ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴，  ∵抛物线的对称轴为直线，  ∴点与点关于直线对称， ∴，  ∵四边形为正方形， ∴，  ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵，  ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上，  ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 三、解答题（本大题共10小题，共78分．） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的运算法则先进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ； 将代入， 原式． 16. 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求前后两次摸出的球都是白球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用画树状图（或列表）的方法求概率，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 一共有种情况，前后两次摸出的球都是白球有种， 故前后两次摸出的球都是白球的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，分别在给定的网格中按要求画图： （1）在图①中，画等腰，且点为格点； （2）在图②中，画，使，且点，点均为格点； （3）在图③中，画，使，且点，点均为格点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）找到格点，使得，即可求解； （2）以为直角边作等腰直角三角形，得出，再构造平行四边形，即可求解； （3）根据格点的特点，找到格点，使得，进而可得，构造平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； ∵ ∴，且 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 18. 某中学为了创设“书香校园”，号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是本，八年级捐书人数比七年级多人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的倍，求七年级捐书人数是多少． 【答案】七年级捐书人数是人． 【解析】 【分析】设七年级捐书人数是人，则八年级捐书人数为人，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设七年级捐书人数是人，则八年级捐书人数为人， 根据题意得：，  解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：七年级捐书人数是人． 19. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则的值为 ． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，得出，又则四边形是平行四边形，又即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质和解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵ , ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， , 在中，∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质、锐角三角函数的应用，解题的关键是根据证明解答． 20. 图①表示的是某书店去年1~5月的各月营业总额的情况，图②表示的是该书店“党史“类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店去年1~5月的营业总额一共是万元，观察图①、图②，解答下列问题： 某书店各月营业总额条形统计图“党史”类书籍的各月营业额占书店 （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）这5个月中___________月份“党史”类书籍的营业额最低，最低金额为___________万元． 【答案】（1）； 补全统计图如下： （2） （3），． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）根据各组频率之和等于样本容量可求出“4月份”的营业总额，即可补全统计图； （2）根据“5月份”的营业总额以及“党史”所占的百分比进行计算即可； （3）求出各个月份“党史”类书籍的营业额即可． 【小问1详解】 解：“4月份”的营业总额为：（万元）， 图略； 【小问2详解】 （万元）， 答：5月份“党史”类书籍的营业额为万元； 【小问3详解】 1月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 2月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 3月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 4月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 5月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 所以3月份“党史”类书籍的营业额最少，最低金额为万元 故答案为：，． 21. 如图是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图所示，根据图像解答下列问题： （1）图中折线表示_________（填甲或乙）槽中水的深度与注水时间之间的关系，铁块的高度为_________； （2）求乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数关系； （3）当甲、乙两个水槽中水的深度相差时，直接写出注水时间的值． 【答案】（1）甲，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用和从函数图像获取信息，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键． （）根据图像分析可知水深减少的图象为甲槽的，并且水深之后增加的变慢，即可得到铁块的高度； （）设乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数关系为，根据时和时，利用待定系数法即可求解； （）先求出折线解析式为，然后根据题意得或，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由图像可知：图中折线表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，铁块的高度为， 故答案为：甲，； 【小问2详解】 解：设乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数关系为， 当时， ∴，解得：， 当时， ∴，解得：， ∴乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数关系为； 【小问3详解】 解：设折线解析式为：， ∴，解得：， ∴折线解析式为：， ∵甲、乙两个水槽中水的深度相差， ∴或， 解得：或， ∴当甲、乙两个水槽中水的深度相差时，注水时间的值为或． 22. 如图①，在等腰直角中，，，点D为的中点，，． （1）操作感知：线段与的数量关系及位置关系_________； （2）猜想论证：如图②，将绕点C顺时针旋转，旋转角度为，与分别交于点F、点G，以上结论是否成立，并说明理由； （3）拓展应用：如图③，当时，取的中点F，连接，若，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明得到，，再证明，得到； （2）证明得到，，再证明，得到； （3）过作交延长线于，由等边对等角，得到，进而求出的度数，根据为的中点，得到，根据等边对等角，三角形的内角和定理结合周角的定义求出，得到中，，，再在中利用勾股定理求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴，； 延长交于N， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，； 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作交延长线于， ∵图①，在等腰直角中，，，点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图①，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、点B重合时，过点P作的垂线交于点N，连结，以、为邻边作平行四边形，当点Q停止运动时，点P继续运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求线段 的长；（用含t的代数式表示） （2）平行四边形为矩形时，求t的值； （3）当将平行四边形的面积分为1：3两部分时，求t的值； （4）如图②，点D为的中点，连结，当直线与的边平行时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）分别根据点P在上和上两种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例即可求得； （2）根据平行四边形为矩形时，证明，利用相似比建立方程，解方程即可； （3）根据面积比得到点是的中点，且,证明，利用相似比即可得到答案； （4）根据和两种情况进行讨论，分别证明和，再结合相似三角形对应边成比例即可求得答案． 【小问1详解】 解：当点在上时，如下图所示， 根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴, 当点P在上时，如下图所示， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：当平行四边形为矩形时，如下图所示， ∵， ∴， ∴点M在上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴ ∴， ∴ ∴ ， ∴或（舍去）， 故当时，平行四边形为矩形时； 【小问3详解】 解：如下图所示，设交于点H， ∵将平行四边形的面积分为1：3两部分，， ∴， ∴点是的中点，且, ∴， ∵，， ∴, ∴ ∴, ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：当时，如下图所示，延长，交于点E， ∵，且D是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ； 当时，如下图所示， ∵点D是AC中点， ∴ ， ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形、平行四边形和直角三角形的性质，解题的关键是根据三角形相似，利用三角形对比边成比例建立方程． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线 (为常数，)的顶点坐标为点． （1）若抛物线经过点时， ①求点的坐标； ②当时，求的取值范围； （2）点和点为抛物线上两点，当时，求m的取值范围； （3）点P坐标为，点坐标为，以为直角边作等腰直角，使点与点位于轴两侧，，抛物线与边交于点，连结，当时，直接写出的值． 【答案】（1）①；②； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】(1)①将点代入抛物线解析式，求出的值，再求顶点的坐标即可； ②根据解析式可得，对称轴为直线，当时函数有最大值，当时，函数有最最小值，求出的取值范围即可； (2)分两种情况讨论：当时，,求得；当时，，求得； (3)分两种情况讨论：当时，时，将点代入抛物线，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过点， ∴ 解得， ∴， ∴顶点； ②由①可知抛物线的对称轴为直线， ∴当时函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∴当时，； 【小问2详解】 ∵, ∴抛物线的对称轴为直线, 当时， ∵， ∴, ∴， ∴； 当时，, ∵， ∴， ∴； 综上所述：或时，； 【小问3详解】 当时，， ∴, ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去） ∴； 当时，时，与抛物线有交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去） ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角形函数值，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解放大路学校初中部2021－－2022下学期九年级 数学大练习试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，则下列说法中正确的是（ ） A. 甲和乙左视图不相同，主视图相同 B. 甲和乙左视图不相同，主视图不相同 C. 甲和乙左视图相同，主视图不相同 D. 甲和乙左视图相同，主视图相同 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 6. 如图，、分别与相切于点、，，为劣弧上一点（不与端点重合），则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，，轴，双曲线的图象经过、两点，若的面积等于，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：_______． 10. 因式分解：_____． 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 如图，，，平分，则的度数为_______． 13. 如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分．） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求前后两次摸出的球都是白球的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，分别在给定的网格中按要求画图： （1）在图①中，画等腰，且点为格点； （2）在图②中，画，使，且点，点均为格点； （3）在图③中，画，使，且点，点均为格点． 18. 某中学为了创设“书香校园”，号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是本，八年级捐书人数比七年级多人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的倍，求七年级捐书人数是多少． 19. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则的值为 ． 20. 图①表示的是某书店去年1~5月的各月营业总额的情况，图②表示的是该书店“党史“类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店去年1~5月的营业总额一共是万元，观察图①、图②，解答下列问题： 某书店各月营业总额条形统计图“党史”类书籍的各月营业额占书店 （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）这5个月中___________月份“党史”类书籍的营业额最低，最低金额为___________万元． 21. 如图是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图所示，根据图像解答下列问题： （1）图中折线表示_________（填甲或乙）槽中水的深度与注水时间之间的关系，铁块的高度为_________； （2）求乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数关系； （3）当甲、乙两个水槽中水的深度相差时，直接写出注水时间的值． 22. 如图①，在等腰直角中，，，点D为的中点，，． （1）操作感知：线段与的数量关系及位置关系_________； （2）猜想论证：如图②，将绕点C顺时针旋转，旋转角度为，与分别交于点F、点G，以上结论是否成立，并说明理由； （3）拓展应用：如图③，当时，取的中点F，连接，若，则四边形的面积为_________． 23. 如图①，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、点B重合时，过点P作的垂线交于点N，连结，以、为邻边作平行四边形，当点Q停止运动时，点P继续运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求线段 的长；（用含t的代数式表示） （2）平行四边形为矩形时，求t的值； （3）当将平行四边形的面积分为1：3两部分时，求t的值； （4）如图②，点D为的中点，连结，当直线与的边平行时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线 (为常数，)的顶点坐标为点． （1）若抛物线经过点时， ①求点的坐标； ②当时，求的取值范围； （2）点和点为抛物线上两点，当时，求m的取值范围； （3）点P坐标为，点坐标为，以为直角边作等腰直角，使点与点位于轴两侧，，抛物线与边交于点，连结，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $