精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市南岗区九年级数学复习情况调研(一)

2026年九年级复习情况调研（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 4. 由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，，若AE=5，则EC的长度为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是上一点（点与点在直径的两侧），连接，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 14. 不等式组的解集是______． 15. 公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______． 16. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 17. 定义一种新运算：，则的运算结果是______． 18. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 19. 在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______． 20. 如图，在正方形中，，是边上的一个动点，连接，在上截取，连接，分别交于点．有如下结论： ①；②；③若，则；④若为中点，连接，则的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心，连接，并直接写出的长． 23. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 25. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 26. 已知：锐角内接于，点在上，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，延长交于点，连接，若，且的面积为10，求线段的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线分别交轴、轴于点，点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，连接，点是第一象限抛物线上的一点，过点作，垂足为点．设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，点是线段上一点，连接，延长交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交轴于点，若，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级复习情况调研（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2. 如图图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. 由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的俯视图是从上面往下面看的，运用数形结合思想，作答即可． 【详解】解： 的俯视图是 故选：C． 5. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，即可求得答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验是原方程的解， 方程的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，是解题的关键． 6. 将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量），上加下减（针对常数项）”，按照题目给定的平移顺序分步计算即可求解． 【详解】∵原抛物线解析式为 ，平移规律为：上下平移改变常数项，上加下减；左右平移改变自变量，左加右减， ∴所得抛物线解析式为． 7. 如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，，若AE=5，则EC的长度为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】∵DE∥BC， ∴根据平行线分线段成比例定理可得， 又∵AE=5， ∴AC=15 ∴EC=AC-AE=15-5=10 故选：A 8. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是上一点（点与点在直径的两侧），连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用直径所对圆周角为得到，再利用同弧所对圆周角相等将和转化为的两个内角即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ． 10. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，分两种情况分别求出关于的函数图象即可：当时和时． 【详解】在中，． （Ⅰ）当时，如图所示，可知点在线段上，过点作直线的垂线，交于点． 根据题意可知，． 因为，， 所以． 所以． 所以． ． 所以，当，与的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且随的增大而增大． （Ⅱ）当时，如图所示，可知点在线段上． 根据题意可知，． 所以． 所以，当，与的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且随的增大而减小． 综上所述，选项Ａ图形符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，据此求解自变量的取值范围； 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴在函数中，分母， 解得． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键． 13. 在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：袋子中所有等可能的结果总数为， 摸出红球的结果数为， 因此从袋中任意摸出一个球为红球的概率为． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组解集的确定规则得到最终解集． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为． 15. 公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 16. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外接圆、勾股定理等知识点．如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 17. 定义一种新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算的规则，确定对应a、b的值，代入后利用整式乘法运算法则展开，合并同类项得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 18. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 19. 在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】过点作交于点，由勾股定理和等腰三角形的性质得，分类讨论：当点在点左边时，当点在点右边时，求解即可． 【详解】解：过点作交于点， ， ， ， 当点在点左边时，如图 ， ， ； 当点在点右边时，如图 ， ； 综上，的面积为或． 20. 如图，在正方形中，，是边上的一个动点，连接，在上截取，连接，分别交于点．有如下结论： ①；②；③若，则；④若为中点，连接，则的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①通过证明，得出对应角相等，利用互余关系证明垂直；②通过①和题干验证与的数量关系；③利用三角函数求出的长，进而求出的长，利用相似三角形性质求出的长，相减即可；④根据确定点的轨迹是以为直径的圆，利用点圆距离求最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 若，则， ∴， ∵题干中并未给出具体度数，故不能证明，则②错误； ∵， ， ． 在中，． 在中，， ∵， ， ， 即， ， ， ， ． ∴， ，故③正确； ∵， 点在以为直径的圆上． 设的中点为，则为圆心，半径， 为中点， ∴． 在中，， ∴， ， 点在圆外， ∴的最小值为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入特殊角的三角函数值计算，再代入求解即可． 【详解】解： , ∴原式. 22. 如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心，连接，并直接写出的长． 【答案】（1） 如图1，点即为所求． （2） 如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点M，N，连接，交于点D即可． （2）结合三角形的重心的定义，分别取的中点D，E，连接相交于点O，则点O即为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴点D是的中点； 【小问2详解】 解：∵， ∴点E是的中点， 由（1）知，点D是的中点， ∴是的中线， ∴点O是的重心． 取格点G，H， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 23. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下． 学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图 两次调查数据统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 2.8 2.9 2.8 学期末 3.5 3.6 3.6 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】（1），补全图形见解析 （2）人 （3）有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，平均数，中位数，众数的含义； （1）先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可； （2）由总人数乘以学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数的百分比即可得到答案； （3）根据平均数，中位数，众数的含义进行分析即可. 【小问1详解】 解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是人， 补全条形图如下： ； 【小问2详解】 解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有： （人）. 答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人； 【小问3详解】 解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了， ∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高. 24. 在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）或或或 【解析】 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 25. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 26. 已知：锐角内接于，点在上，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，延长交于点，连接，若，且的面积为10，求线段的长． 【答案】（1） 证明：延长交于E，连接，如图1， ∵锐角内接于， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：延长交交于点P，如图2， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． （3）6 【解析】 【分析】（1）延长交于E，连接，由圆周角定理的推论可得，，则，从而证得，即可得出结论； （2）延长交交于点P，证明垂直平分，即可由线段垂直平分线的性质得出结论； （3）过点O作于Q，证明，得，再根据，，求得，，在等腰中，求得，从而求出，在等腰中，求得，在中，求得，从而求得，在中，求得，则可由∴求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点O作于Q，如图3， 由（1）（2）知：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵是的直径， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴ 在中， ∴． 【点睛】本题属圆的综合题目，考查圆周角定理及其推论，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造直角三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线分别交轴、轴于点，点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，连接，点是第一象限抛物线上的一点，过点作，垂足为点．设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，点是线段上一点，连接，延长交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交轴于点，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）过点C作轴交的延长线于点R，根据点C的横坐标为t可知，求出直线的解析式为，则，，根据等边对等角得到，根据平行线的性质得到，根据可知； （3）连接，连接交于点，过点作，垂足为点，令与的交点为，连接．证明，得到，，证明，得到，证明，得到，根据垂直平分线的性质可知，根据勾股定理求出，则，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出，可知，根据角的和差及三角形外角的性质得到，根据等角对等边，根据等腰三角形三线合一得到，根据垂直平分线的性质得到，进而求出，根据相似三角形的判定和性质得到，即，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出，求出直线的解析式为，则，求出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， 解得； 【小问2详解】 解：如图1，过点C作轴交的延长线于点R． ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵点C为抛物线上的一点，且点C的横坐标为t， ． 设直线的解析式为， ∴， 解得， ， ， ． ，， ， ． 在中，， ； 【小问3详解】 解：如图2，连接，连接交于点，过点作，垂足为点，令与的交点为，连接． 由旋转的性质得，， ，， ． ，，， ， ，． ， ，， 又， ， ， 又， ， ∴， ， ∴， ， 在中，， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ． ，， ， ， ∴， 又， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 设直线的解析式为， ∴ 解得， ． 在直线上， ． 解得，（舍）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $