5.3 分式方程 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分式与分式方程 第3课 分式方程 第2课时 分式方程的解法 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过类比一元一次方程的解法,经历解分式方程的探究过程,掌握解分式方程的完整步骤. 2.通过对比两个分式方程的求解结果,探究增根产生的本质原因,理解分式方程必须检验的必要性,能正确判断方程的根与增根. 3.能运用分式方程解决生活中的实际应用问题,体会转化的数学思想. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 咱们班的文创小队已经准备好了手绘书签、定制钥匙扣,打算把所有义卖收入捐给山区的小伙伴建图书角. 不过要拿到市集的出摊资格证,小队需要连闯4道筹备关卡,每一关都藏着数学小挑战.今天这节课,咱们就一起化身数学后援团,帮文创小队闯关通关,好不好？ 4 问题构建 第一关:订单难题・初识新方程 文创小队接到了开市前的第一个大订单:学校的老师们集体预定220张手绘爱心书签.小队加班赶制,实际每天比原计划多做2张,结果提前1天完成了订单.现在小队需要算出:原计划每天做多少张书签,才能复盘制作进度,接下更多订单. 问题1:咱们设原计划每天做张书签,原计划多少天能完成订单？实际每天做多少张？实际用了多少天？ 原计划天数：；实际每天张；实际天数： 追问1:根据“提前1天完成”这个条件,你能列出对应的方程吗？ - 5 问题构建 追问2:显然这是一个分式方程,分式有意义的核心前提是什么？这个方程里的不能取哪些值？ - 有意义前提是分母不为0,不能取0和-2. 追问3:我们之前解一元一次方程,核心是用等式的基本性质变形.你还记得等式的基本性质2的具体内容吗？ 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数）,所得结果仍是等式. 恭喜大家！我们成功帮小队列出了方程,拿到了市集的入场资格！但想要解决订单问题,我们得先学会解这种全新的分式方程,接下来进入第二关——定价密码解锁关！ 问题构建 第二关:解法解锁・转化破难题 要给文创产品定价,小队遇到了新问题:空白书签和带图案的书签,单张价格相差2元.他们发现:用1元能买到的空白书签数量,和用3元能买到的带图案书签数量完全相等.想要给书签定出合理的价格.就得先解开这个方程： (其中是带图案书签的单价） 问题2:结合咱们解一元一次方程的经验,想要解开它,我们第一步要做什么？ 去分母,把分式方程转化成我们会解的整式方程 追问1:我们需要给方程两边同时乘一个什么样的式子？这个式子我们叫什么？ 最简公分母 问题构建 追问2:这个方程的最简公分母是什么？给方程两边同时乘这个公分母，你能得到什么样的整式方程？ ；最简公分母：；得到： 追问3:回到我们第一关强调的等式性质前提,这里我们给方程两边乘的,必须满足什么条件？为什么？ 且,去分母的变形不是无条件成立的 追问4:刚才得到的一元一次方程的解是多少？ 追问5:算出的,满足分母不为0的前提吗？怎么确认它就是原方程的正确解？ 满足前提,代入原方程检验,验证左右两边相等. 问题构建 太棒了！我们成功解锁了书签的定价,带图案的书签3元一张,空白书签1元一张,定价完全合理！但就在小队开心备货的时候,他们在核算钥匙扣成本时,踩了一个大坑——咱们赶紧进入第三关:踩坑避雷・探秘增根源 文创小队在核算亚克力钥匙扣的成本时,列出了这样一个成本方程：（是单个钥匙扣的成本价） 问题3:队员小亮照着咱们刚才的方法算了一遍,算出=2,可他把这个答案代入方程,却发现式子完全不成立.小队慌了:明明是按步骤算的,怎么答案不对？ 协作破冰 追问1:观察这个方程,两个分母有什么关系？这个方程的最简公分母是什么？ 互为相反数,可以选作为公分母 追问2:照着小亮的步骤,给方程两边同时乘最简公分得到的整式方程是什么？ 1− =−1−2(−2) 追问3:解这个整式方程,我们得到的解是什么？ 追问4:把=2代入原分式方程,你发现了什么？ =2让原方程的分母为0,分式无意义,因此=2根本不是原方程的解. 协作破冰 追问5:我们严格按等式性质变形、解方程,为什么得到的解却不是原方程的解？问题到底出在哪一步？ 去分母时乘的,在时等于0,导致变形前后的方程不是恒等变形. 追问6:我们把这种“满足去分母后的整式方程,但不满足原分式方程、让原方程分母为0的解”,叫做增根.结合刚才的思考过程,谁能说说,增根到底是怎么产生的？ 去分母时,方程两边同时乘了一个使原方程分母为0的整式,破坏了等式变形的等价性. 追问7:现在大家明白了,为什么我们第二关解完方程,一定要做检验？检验的核心目的是什么？ 解分式方程必须检验,检验是为了排除增根,这是分式方程解法中绝对不能省略的步骤. 11 协作破冰 追问8:检验的时候,一定要代入原方程算一遍左右两边吗？结合增根的特征,有没有更简便的检验方法？ 只需把解代入最简公分母,若公分母为0,则是增根;若不为0,则是原方程的解,规范验根操作. 例1.解方程： 解:方程两边都乘最简公分母,得 解这个一元一次方程,得=－3. 检验：把=－3代入原方程的左边和右边,得 因此=－3是原方程的解． 协作破冰 例2.解方程： 解： 方程两边乘(-1)(𝑥+2),得 𝑥(𝑥+2)-(𝑥-1)(𝑥+2)=3. 解得 𝑥=1. 检验：当𝑥=1时， (𝑥-1)(𝑥+2) =0, 因此𝑥=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 教师示范 太厉害啦！我们不仅帮小队找到了踩坑的原因,还摸清了增根的真面目,拿到了市集的「避雷指南」！现在,我们要把今天学到的方法整理成一份标准出摊操作手册,确保后续所有计算都不出错 进入最终的第四关:规范通关・手册定标准 《分式方程解法操作手册》 问题4:结合四关的挑战,谁能完整总结出,解分式方程一共有几步？每一步的核心操作是什么？ ① 定：确定最简公分母； ② 转：去分母,转化为整式方程； ③ 解：解整式方程； ④ 验：检验解的有效性； ⑤ 答：写出原方程的解. 巩固拓展 追问1:每一步操作里,有什么需要注意的「避雷提示」？ ①去分母不要漏乘常数项 ②注意分母变号的符号问题 ③检验步骤绝对不能省略 追问2:现在,用我们这份标准手册,解出第一关里的订单方程-,看看原计划每天要做多少张书签？ 解:方程两边都乘最简公分母,得 -220= 借助十字相乘法求解,得=-22（舍去）或=20. 检验：把=20代入原方程的左边和右边,得 因此=20是原方程的解． 恭喜大家！四关全通！我们不仅帮文创小队顺利拿到了市集的出摊资格证,还完整学会了分式方程的解法,摸清了增根的秘密. 下周市集开市,文创小队一定会带着我们的数学智慧,顺利完成义卖,给山区的小伙伴送去满满的爱心.而我们今天学到的,不仅是解分式方程的方法,更是“把未知转化为已知” 的数学思想,还有“步步严谨、及时核验” 的数学思维,这会是我们未来数学学习里，最珍贵的通关秘籍！ 15 当堂检测 1.解 . 解：方程两边都乘 ，得 ， 解得 . 检验：当时， . 原分式方程的根为 . 当堂检测 2.在解分式方程 时,小李的解法如下：#1 第一步： . 第二步： . 第三步： . 第四步： . 第五步：检验：当时， . 第六步： 原分式方程的解为 . 17 当堂检测 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解 答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.#1.1.1 解：小李的解法中，第一步是去分母. 去分母的依据是等式的基本性质. 小李的解答过程不正确.正确的解答过程如下： 方程两边都乘，得 ， 解得 . 经检验， 是原方程的增根. 原分式方程无解. 当堂检测 3.解方程： . 解：方程两边都乘 ，得 . 解得 . 检验：当时， . 是原方程的增根，原方程无解. 反思总结 1.我们解分式方程用到的核心数学思想是什么？为什么要把分式方程转化为整式方程来解？ 2.增根是整式方程的解吗？是原分式方程的解吗？为什么解整式方程不会产生增根,而解分式方程会产生增根？ 3.结合今天的学习,用分式方程解决生活中的实际问题,和整式方程相比有什么优势？解决实际问题时,除了检验根是不是增根，还要检验什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第145页 第1题 二、素养类作业 课本第146页 第2题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $