8.1 向量的数量积【10个题型归纳+知识梳理】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教B版必修第三册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.1·向量的数量积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用定义求向量的数量积】 【练方法】 知识梳理 定义：，其中是与的夹角， 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积 特殊情况：， 解题方法 1.确定两向量的模 2.确定夹角（注意是两向量起点重合时的角） 3.代入定义式计算 4.若夹角未知，先通过几何图形或已知条件求出 名师点睛 夹角必须是两向量起点重合时的角，避免把补角当成夹角 可正可负可零，对应为锐角、钝角、直角 计算时注意符号，钝角时，数量积为负 （25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______.经典例题1例题 （2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知与的夹角为，求.小试牛刀2 （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A．18 B．-18 C． D． 【题型2：求向量的模长】 【练方法】 知识梳理 核心公式：，即 展开公式： 坐标形式：若，则 解题方法 1.优先用平方开方法： 2.若已知，先平方展开，代入数量积计算，再开方 3.坐标法：直接代入坐标公式 4.若涉及多个向量，先将目标向量用已知向量线性表示，再平方求模 名师点睛 口诀：“求模先平方，开方取正根” 模长一定是非负的，开方时只取正根 复杂向量（如中线向量、高线向量）先线性表示，再求模 （2026·四川成都·二模）已知平面向量与非零向量满足，，，则________.经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ）经典例题2例题 A．10 B．100 C．11 D．121 （2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ）小试牛刀1 A． B．36 C．或6 D．3或36 （2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．2 C．8 D． （2026高三下·重庆·专题练习）已知单位向量，满足，则___________．小试牛刀3 【题型3：求向量的夹角】 【练方法】 知识梳理 核心公式：， 特殊情况： 为锐角（或同向） （） 为钝角（或反向） 解题方法 1.计算 2.计算 3.代入公式，求出 4.根据确定的值（或用反三角函数表示） 名师点睛 夹角范围是，不要超出范围 只能说明是锐角或，不能直接说“锐角” 若，则，直接判定垂直 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·湖北武汉·模拟预测）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________.经典例题2例题 （25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·月考）已知．小试牛刀2 (1)求 (2)求． （2026高一·全国·专题练习）（1）已知单位向量与夹角为，且，求与的夹角. 小试牛刀3 （2）已知，求与夹角的余弦值. 【题型4：投影与投影向量】 【练方法】 知识梳理 投影：在方向上的投影为（可正可负可零） 投影向量：在方向上的投影向量为（与同向的向量） 几何意义：投影是数量，投影向量是向量，投影是投影向量的模长（带符号） 解题方法 1.求投影：代入公式 2.求投影向量：先求投影，再乘以方向的单位向量，即 3.若已知坐标，直接用坐标计算 名师点睛 区分“投影”（数量）和“投影向量”（向量），不要混淆 投影可正可负，正号表示与同向，负号表示反向，零表示垂直 口诀：“投影是数，向量带方向，先算数量再乘单位向量” （25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________.经典例题1例题 （25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 （24-25高三上·上海·期中）已知，，则向量在方向上的数量投影为______．小试牛刀1 （24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____.小试牛刀2 （25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ）小试牛刀3 A．30° B．45° C．60° D．90° 【题型5：基底法求数量积】 【练方法】 知识梳理 基底：若是平面内一组不共线向量，则任意向量可表示为 数量积分配律： 核心：将未知向量用已知基底表示，再展开计算数量积 解题方法 1.选取已知模长和夹角的向量作为基底（如三角形两边） 2.将目标向量用基底线性表示（如中线向量） 3.展开数量积，代入基底的模长和夹角计算 4.化简得到结果 名师点睛 基底法是解决几何图形中向量数量积的通用方法 优先选择互相垂直或夹角已知的向量作为基底，简化计算 常见场景：三角形、平行四边形、多边形中的向量数量积 （河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）在中，，且为的中点，为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）．经典例题2例题 A． B． C．6 D．3 （2025高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且.小试牛刀2 (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则_______．小试牛刀3 【题型6：数量积的坐标运算】 【练方法】 知识梳理 坐标定义：若，，则 本质：将向量运算转化为代数运算，避免几何角度的复杂计算 解题方法 1.写出两向量的坐标， 2.代入公式计算 3.若向量由点坐标表示，先求向量坐标（终点减起点） 名师点睛 坐标法是高考中最常用的方法，计算直接，不易出错 先求向量坐标，再算数量积，不要直接用点坐标计算 若图形规则（如矩形、直角三角形），优先建立坐标系，用坐标法 （湖北恩施州2026届高三第二次质量监测考试数学试题）已知向量，若向量满足，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． （2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为__________.小试牛刀2 （25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）小试牛刀3    A．2 B．4 C．6 D．8 【题型7：向量坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 模长公式：若，则 夹角公式：若，，则 解题方法 1.求模长：直接代入坐标公式 2.求夹角：先算数量积，再算模长，最后代入夹角公式 3.若已知模长和夹角，可反求坐标或参数 名师点睛 坐标法将几何问题完全转化为代数计算，思路清晰 计算夹角时，先算分子（数量积），再算分母（模长乘积），最后求 注意分母不为零，即向量不能为零向量 （2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________．经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________．经典例题2例题 （2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则_________．小试牛刀1 （25-26高三上·云南昆明·月考）已知，，若，则（   ）小试牛刀2 A．3 B． C． D． （2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【题型8：向量坐标运算表示平行与垂直】 【练方法】 知识梳理 平行：（坐标交叉相乘相等） 垂直： 解题方法 1.写出向量坐标， 2.平行：列方程 3.垂直：列方程 4.解方程求参数或判断位置关系 名师点睛 平行与垂直的坐标判定是高考高频考点，必须熟练记忆 平行的判定不要写成，这是错误的 垂直判定本质是数量积为零，与定义一致 （25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________．经典例题1例题 （2026·甘肃武威·模拟预测）已知向量，若，则实数__________．经典例题2例题 （25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026高一下·全国·专题练习）设向量.若，则实数（    ）小试牛刀2 A．3 B．－3 C．2 D．－2 （25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且．小试牛刀3 (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【题型9：向量坐标运算求数量积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将数量积表示为单变量函数，利用函数值域或基本不等式求最值 常见模型： 线性函数：，转化为线性规划 二次函数：，用二次函数最值 三角函数：，用辅助角公式求值域 解题方法 1.设变量（如点坐标、角度），将向量坐标用变量表示 2.计算数量积，得到关于变量的函数 3.求函数值域： 二次函数：配方求顶点最值 三角函数：用辅助角公式 基本不等式：若满足“一正二定三相等”，用 4.验证等号成立条件 名师点睛 最值问题的关键是“变量化”，将几何问题转化为函数问题 若向量终点在圆上，可设参数坐标（如），用三角函数求最值 注意变量的范围（如角度，坐标满足图形约束） （25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．经典例题1例题 （2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______.经典例题2例题 （25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）小试牛刀3    A．9 B．10 C．11 D．12 【题型10：数量积求模长与夹角的最值】 【练方法】 知识梳理 模长最值：利用，将模长平方转化为数量积，再求最值 夹角最值：利用，将表示为函数，再求值域，进而得到的最值 核心：模长与夹角的最值都可转化为数量积的最值 解题方法 1.模长最值：先平方，将其表示为函数，求函数最值，再开方 2.夹角最值：先求的最值，再根据余弦函数单调性求的最值 3.若已知向量模长固定，可利用几何意义（如圆上点到定点的距离）求最值 名师点睛 模长最值优先“平方后求函数最值”，避免根号 夹角最值优先“先求范围”，再反推范围 几何意义法：若向量终点在圆上，模长最值为“圆心到定点距离±半径” 注意，单调递减，最大对应最小，最小对应最大 （25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.经典例题1例题 （2026高一·全国·专题练习）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______.经典例题2例题 （2026高一下·全国·专题练习）若，，，则的最大值是________．小试牛刀1 （25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．3 C．2 D．1 （25-26高三上·上海·期末）已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·山东·月考）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D．11 2．（2023·安徽马鞍山·三模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）若，向量满足，则的最大值为 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 9．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 10．（25-26高三上·河北·期中）已知，平面向量，，若，则______. 11．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是_____． 12．（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 13．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，．    (1)把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； (2)用、表示、； (3)若，，求． 16．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 17．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 18．（22-23高一下·四川绵阳·期中）如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.1·向量的数量积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用定义求向量的数量积】 【练方法】 知识梳理 定义：，其中是与的夹角， 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积 特殊情况：， 解题方法 1.确定两向量的模 2.确定夹角（注意是两向量起点重合时的角） 3.代入定义式计算 4.若夹角未知，先通过几何图形或已知条件求出 名师点睛 夹角必须是两向量起点重合时的角，避免把补角当成夹角 可正可负可零，对应为锐角、钝角、直角 计算时注意符号，钝角时，数量积为负 （25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______.经典例题1例题 【答案】 【分析】由向量的数量积运算，结合向量的运算律即可求解. 【详解】由题意得， . （2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． （24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________．小试牛刀1 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知与的夹角为，求.小试牛刀2 【答案】 【详解】 （25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知平面向量满足与的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A．18 B．-18 C． D． 【答案】A 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 【题型2：求向量的模长】 【练方法】 知识梳理 核心公式：，即 展开公式： 坐标形式：若，则 解题方法 1.优先用平方开方法： 2.若已知，先平方展开，代入数量积计算，再开方 3.坐标法：直接代入坐标公式 4.若涉及多个向量，先将目标向量用已知向量线性表示，再平方求模 名师点睛 口诀：“求模先平方，开方取正根” 模长一定是非负的，开方时只取正根 复杂向量（如中线向量、高线向量）先线性表示，再求模 （2026·四川成都·二模）已知平面向量与非零向量满足，，，则________.经典例题1例题 【答案】2 【分析】将两边平方，结合向量的数量积公式，解得关于的方程，即可求解. 【详解】， 即，解得或， 因为是非零向量，则. （25-26高一下·全国·课后作业）已知，方向相同，且，，则（   ）经典例题2例题 A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. （2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ）小试牛刀1 A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. （2026高一下·江苏南京·专题练习）已知向量，满足，且，则的值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． （2026高三下·重庆·专题练习）已知单位向量，满足，则___________．小试牛刀3 【答案】 【详解】因为， 所以， 即，整理得，而，则. 所以. 【题型3：求向量的夹角】 【练方法】 知识梳理 核心公式：， 特殊情况： 为锐角（或同向） （） 为钝角（或反向） 解题方法 1.计算 2.计算 3.代入公式，求出 4.根据确定的值（或用反三角函数表示） 名师点睛 夹角范围是，不要超出范围 只能说明是锐角或，不能直接说“锐角” 若，则，直接判定垂直 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两端平方，从而解出与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以． （2026·湖北武汉·模拟预测）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________.经典例题2例题 【答案】/ 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. （25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则， 所以. （25-26高一下·全国·月考）已知．小试牛刀2 (1)求 (2)求． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解即得. （2）由（1）的信息，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由（1）得， 因此， 而，所以. （2026高一·全国·专题练习）（1）已知单位向量与夹角为，且，求与的夹角. 小试牛刀3 （2）已知，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由平面向量数量积的定义求出，再利用数量积的运算律及向量夹角公式列式计算. （2）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）由单位向量与夹角为，得， 则， 又，， 所以，而，因此， 所以与的夹角为. （2）由，得，而，则， 因此， 所以与夹角的余弦值为. 【题型4：投影与投影向量】 【练方法】 知识梳理 投影：在方向上的投影为（可正可负可零） 投影向量：在方向上的投影向量为（与同向的向量） 几何意义：投影是数量，投影向量是向量，投影是投影向量的模长（带符号） 解题方法 1.求投影：代入公式 2.求投影向量：先求投影，再乘以方向的单位向量，即 3.若已知坐标，直接用坐标计算 名师点睛 区分“投影”（数量）和“投影向量”（向量），不要混淆 投影可正可负，正号表示与同向，负号表示反向，零表示垂直 口诀：“投影是数，向量带方向，先算数量再乘单位向量” （25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为_____________.经典例题1例题 【答案】2 【分析】利用投影向量的定义可得答案. 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 （25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据投影数量的定义求解即可. 【详解】在上的投影的数量为． 故选：B. （24-25高三上·上海·期中）已知，，则向量在方向上的数量投影为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用数量投影定义公式计算. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. （24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. （25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ）小试牛刀3 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为. 因为，所以. 因为在上的投影向量为，所以①. 在上的投影向量为，所以，即②. 将①代入②中，，即， 所以，因为，所以，所以. 【题型5：基底法求数量积】 【练方法】 知识梳理 基底：若是平面内一组不共线向量，则任意向量可表示为 数量积分配律： 核心：将未知向量用已知基底表示，再展开计算数量积 解题方法 1.选取已知模长和夹角的向量作为基底（如三角形两边） 2.将目标向量用基底线性表示（如中线向量） 3.展开数量积，代入基底的模长和夹角计算 4.化简得到结果 名师点睛 基底法是解决几何图形中向量数量积的通用方法 优先选择互相垂直或夹角已知的向量作为基底，简化计算 常见场景：三角形、平行四边形、多边形中的向量数量积 （河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）在中，，且为的中点，为的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，利用平面向量基本定理表示，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由题意得： ， 又， 所以 . （2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）．经典例题2例题 A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以， ， 所以. （2025高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． （25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，在中，为线段上一点，且.小试牛刀2 (1)若，求的值； (2)若，且与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【详解】（1）若，则， 即， 故. （2）若，则， 即， 所以 . （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则_______．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 【题型6：数量积的坐标运算】 【练方法】 知识梳理 坐标定义：若，，则 本质：将向量运算转化为代数运算，避免几何角度的复杂计算 解题方法 1.写出两向量的坐标， 2.代入公式计算 3.若向量由点坐标表示，先求向量坐标（终点减起点） 名师点睛 坐标法是高考中最常用的方法，计算直接，不易出错 先求向量坐标，再算数量积，不要直接用点坐标计算 若图形规则（如矩形、直角三角形），优先建立坐标系，用坐标法 （湖北恩施州2026届高三第二次质量监测考试数学试题）已知向量，若向量满足，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意得：， 解得，所以. （2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . （2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义及计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D. （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为__________.小试牛刀2 【答案】或者写为 【分析】利用向量的数量积坐标运算，结合投影向量的定义来进行求解即可. 【详解】由可得， 又因为，所以， 则在上的投影向量为， 或者表示为： 故答案为：或者写为 （25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）小试牛刀3    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由 ，又，所以. 所以 . 故选：B 【题型7：向量坐标运算求模长与夹角】 【练方法】 知识梳理 模长公式：若，则 夹角公式：若，，则 解题方法 1.求模长：直接代入坐标公式 2.求夹角：先算数量积，再算模长，最后代入夹角公式 3.若已知模长和夹角，可反求坐标或参数 名师点睛 坐标法将几何问题完全转化为代数计算，思路清晰 计算夹角时，先算分子（数量积），再算分母（模长乘积），最后求 注意分母不为零，即向量不能为零向量 （2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又， 所以 ， 因此. （25-26高一下·全国·课后作业）已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用向量的模长公式得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质求出的最小值以及对应的值，可得出结果. 【详解】， ． 当时，有最小值． 故答案为：， （2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： （25-26高三上·云南昆明·月考）已知，，若，则（   ）小试牛刀2 A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，后利用向量垂直推出数量积为零求出的值，再求出的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】由，，得 故， 由得，解得或， 当时，，则， 故； 当时，，则， 故. 综上，. 故选：C （2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 【题型8：向量坐标运算表示平行与垂直】 【练方法】 知识梳理 平行：（坐标交叉相乘相等） 垂直： 解题方法 1.写出向量坐标， 2.平行：列方程 3.垂直：列方程 4.解方程求参数或判断位置关系 名师点睛 平行与垂直的坐标判定是高考高频考点，必须熟练记忆 平行的判定不要写成，这是错误的 垂直判定本质是数量积为零，与定义一致 （25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________．经典例题1例题 【答案】 【分析】由向量平行和垂直的坐标表示列代数式即可求解. 【详解】，则， 又，①， 又，，②， 由①②解得，． 故答案为：； （2026·甘肃武威·模拟预测）已知向量，若，则实数__________．经典例题2例题 【答案】4 【分析】由题意可知，则求解即可. 【详解】由题意得，因为，所以，解得 故答案为：4. （25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 因为，所以， 即，解得． 【多选题】（2026高一下·全国·专题练习）设向量.若，则实数（    ）小试牛刀2 A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】AB 【分析】先根据向量的坐标线性运算得出向量坐标，再应用向量垂直的坐标公式计算求解参数. 【详解】因为， 又， 所以， 解得. 故选：AB. （25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且．小试牛刀3 (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义和向量垂直进行求解； （2）利用平面向量夹角公式求解. 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则； （2）， 设与的夹角为， 则， 与的夹角的余弦值为. 【题型9：向量坐标运算求数量积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 核心：将数量积表示为单变量函数，利用函数值域或基本不等式求最值 常见模型： 线性函数：，转化为线性规划 二次函数：，用二次函数最值 三角函数：，用辅助角公式求值域 解题方法 1.设变量（如点坐标、角度），将向量坐标用变量表示 2.计算数量积，得到关于变量的函数 3.求函数值域： 二次函数：配方求顶点最值 三角函数：用辅助角公式 基本不等式：若满足“一正二定三相等”，用 4.验证等号成立条件 名师点睛 最值问题的关键是“变量化”，将几何问题转化为函数问题 若向量终点在圆上，可设参数坐标（如），用三角函数求最值 注意变量的范围（如角度，坐标满足图形约束） （25-26高一下·安徽六安·月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． （2026高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______.经典例题2例题 【答案】 【分析】可设（），利用表示出，再利用二次函数值域的求法求解. 【详解】如图： 设（）， 则 ， 又， 所以 . 所以 ，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. （25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，确定相关点的坐标，设，则可根据向量的坐标运算求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. （25-26高三上·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，利用坐标法表示出，结合的范围，即可得解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A    （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）小试牛刀3    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 【题型10：数量积求模长与夹角的最值】 【练方法】 知识梳理 模长最值：利用，将模长平方转化为数量积，再求最值 夹角最值：利用，将表示为函数，再求值域，进而得到的最值 核心：模长与夹角的最值都可转化为数量积的最值 解题方法 1.模长最值：先平方，将其表示为函数，求函数最值，再开方 2.夹角最值：先求的最值，再根据余弦函数单调性求的最值 3.若已知向量模长固定，可利用几何意义（如圆上点到定点的距离）求最值 名师点睛 模长最值优先“平方后求函数最值”，避免根号 夹角最值优先“先求范围”，再反推范围 几何意义法：若向量终点在圆上，模长最值为“圆心到定点距离±半径” 注意，单调递减，最大对应最小，最小对应最大 （25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.经典例题1例题 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. （2026高一·全国·专题练习）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则_______.经典例题2例题 【答案】2 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求，即可求出. 【详解】，， ，即， 在上的投影向量为， 则，整理得：，化简得：， ，， 由可得， 因，则， 由 ， 令， 时，，， ，解得：. （2026高一下·全国·专题练习）若，，，则的最大值是________．小试牛刀1 【答案】2 【分析】解法1：化简，令，可得配方即可求解； 解法2：作出示意图，结合正弦定理求解即可. 【详解】解法1：由，，， 得．令， 则，所以． 故所求最大值为2． 解法2：如图，设,,则，易知，故所求最大值为2． 故答案为： （25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ）小试牛刀2 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用数量积的定义得，根据数量积的运算律可得，进而求出最小值. 【详解】由，得，而，则，， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：C （25-26高三上·上海·期末）已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______．小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取， 因为与的夹角不超过，所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是. 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·山东·月考）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D．11 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 2．（2023·安徽马鞍山·三模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的规则求出x，再根据向量的坐标运算求解. 【详解】因为向量，且， 则，即，可得， 则，所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 而，， 所以在上的投影向量为. 4．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 5．（25-26高三上·河北·期中）某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 【答案】B 【分析】设向量，根据题意，列出方程组，求得或，分类讨论，分别求得的值，结合附表中的数据，进而得到答案. 【详解】设向量，因为向量与垂直，且， 可得，解得或，所以或， 当时，， 所以，因为，所以属于高效； 当时，， 所以，因为，所以属于停滞， 因为“停滞”属于无效配送，排除此种情况， 所以此时配送的效率等级为高效. 故选：B. 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）若，向量满足，则的最大值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知根据数量积的运算律得，设，则，从而求得，利用列不等式，解不等式即可得解． 【详解】因为，即． 又，则，设， 则，故． 由为与的夹角， 则，解得． 因为，即，解得， 故的最大值为． 故选：B 7．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件并根据平面向量的模以及数量积公式化简可得，利用可得，分别解不等式并取交集即可得出结论. 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 9．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的模的计算公式分析判断选项A、B，利用向量垂直时数量积为0判断选项C，利用投影向量公式分析判断选项D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ， 选项A：，， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， ，故C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 10．（25-26高三上·河北·期中）已知，平面向量，，若，则______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性坐标运算求得，，然后利用垂直的坐标运算列式计算求解即可. 【详解】由，可得，， 由可得， 所以，解得. 故答案为：4 11．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先求解出向量的模长，然后设，即得：，最后根据向量三角不等式求解的取值范围即可. 【详解】因为，所以． 设，则，且． 因为，所以，即的取值范围是． 故答案为： 12．（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【答案】 【分析】由是正方形，则以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为，写出各点坐标，求出，利用数量积的坐标公式求解. 【详解】是正方形，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为， ， 是的中点，， 是边上靠近的三等分点，， ，. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可． 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 四、解答题 15．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，．    (1)把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； (2)用、表示、； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值，即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）设点，由得， 即，解得，，即点. （2），. （3）由已知，，所以， 所以. 16．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，可求出，又，根据条件，代入计算，即可得答案. （2）设，则，根据线性运算法则，可得、表达式，根据数量积公式，可得的值，代入所求，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为，所以， 所以均为等边三角形， 所以四边形为菱形. 所以， 因为， 所以. （2）设，则， 所以， ， 因为扇形所在圆的半径为1，， 所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值， 当或1时，取得最大值， 所以的取值范围为. 17．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因 则 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 18．（22-23高一下·四川绵阳·期中）如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，由中点可得，再由数量积的运算律及夹角公式求解即可； （2）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由及三点共线得解即可. 【详解】（1）设，， 、分别为、的中点， ，， ，， ， ， 又 ， ， 即的余弦值为. （2）设， 则 ， 所以当即时，取最小值，即， ， ，， ， 三点共线， ，解得， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $