训练17 向量的投影与向量数量积的几何意义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练十七 向量的投影与向量数量积的儿何意义 :7.已知a·b=16,若a在b方向上的投影的 基储练了学考钢评 数量为4，则b1= 1.已知a=6,|b=3,a·b=一12，则向量a 8.在△ABC中，已知AB=5,BC=4,|AC= 在向量b方向上的投影的数量是( 3,求： A.-4 B.4 (1)AB·BC: C.-2 D.2 2.已知b1=3,a在b方向上的投影的数量为 (2)AC在AB方向上的投影的数量： 多则ab的值为 (3)AB在BC方向上的投影的数量. A.3 B号 C.2 3已知a=8,e为单位向量，当它们的夹角为等 时，a在e方向上的投影的数量为 A.43 B.4 9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为 C.42 D.8+3 BC边的中点，F为CD边上一点，且AF· 4.已知a=4,e为单位向量，a在e方向上的投 AE=5,求|AF. 影的数量为一2，则a与e的数量积为( A.8 B.-2 C.4 D.-4 5.已知向量a在b上的投影的数量为一6，a 12,则向量a与b的夹角a,b)等于( A.30° B.60 C.120 D.150 6.已知a=2,|b1=10,a与b的夹角为45°， 则向量b在向量a方向上的投影向量的模 为 31 ◆高中数学·必修第三册(RJB) 能力练/赶移漫周 创新练了素能骑优 10.已知两个单位向量e1,e2的夹角为0，则下：14.已知正方形ABCD的边长为1，E是边 列结论中正确的有 AB上的动点，求： ①e1在e2上的投影为cos0:②e1·e2=1: (1)DE·CB的值： ③e=e;④(e1+e2)⊥(e1-ez). (2)DE·DC的最大值. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.已知向量a,b满足a=1,b=2,则a+ b的最小值是 ,最大值是 12.若1a=4,|b=2,a和b的夹角为30°，则 a在b方向上的投影的数量为 13.如图，在△ABC中，AB=AC=4,∠BAC =90°，D是边BC的中点，求： D (1)AB在BD方向上的投影的数量： (2)BD在AB方向上的投影的数量. 328.解(1)a∥b,若a与b可向，剩0=0°， :14,解设OM=tAM,0≤1≤1， 所以a·b=abc0s0°=4×5×1=20： 若a与b反向，则0=180°， 则OB+OC=2OM=21AM, 所以a·b=a|bc0s180°=4×5×(-1)=一20. OA-OM+MA=IAM-AM-(-1)AM. (2)当a⊥b时.8=90°.所以a·b=a|b1cos90°=0. (3)当a与b的夹角为30时，a·b=alblcos30°=4× ∴OA·(0B+OC)=2(t-1)1AM=8(t-1)1=82 5x号-106 81=8-2）广-2. 9.解(1)：AB与AC的夹角为60° ∴当1=时，0A·(0B+0C)有最小值-2. AB:AC-AB1 ACo60=1X1x号-号 训练十七向量的投影与 (2),BC与AC的夹角为60°， 向量数量积的几何意义 .BC.AC-IBCHIACIcos 60-1X1X :1.解析根据投影的数量的定义，设a,b的夹角为0，可得 10.解析由条件知∠ABC=90°，所以原式=0十4× 5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cosC- 向量a在b方向上的投影的数量是acos0=a:b b 15cosA=-20×号-15×号=-16-9=-25. 一4，故远A 答案A 答案D 11,解析AB·AC=|AB1|AC1cOs∠BAC,即8=4× 2解析设a与b的夹角为0，：acos0= 2 4cOs∠BAC.于是c0s∠BAC=,周为0<∠BAC< ab=alb1oms0=3x是-是 180°，所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边 答案B 三角形.此时AB·BC=|AB1|BC1cos120°=-8. 3.解析a=8,e为单位向量，且(a,e)=号，由投影的 答案等边三角形一8 12.解析由题意知AB=4,AC=3,BC=5.∠CAB=受· 数量的定义得acos(a,0)=8×号=4，a在0方向上 的投影的数量为4. :△ABD满足勾度定里，AD1BC,Sm=号AB 答案B ·AC=BC·AD,则AD=ABAC=3X4=是 :4.解析由数量积的几何意义知a·e=ella cos0=1× BC 5 5· (-2)=-2. 12 答案B 又o∠DAB-铝-享-号店.A心-=A·五解折猴题高a1 Icx(.b)=-6ab-是 -6 dio∠DAB=4X号×号-岩 -2又0≤a.b≤180a.b=120 1 答案岩 答案C 6.解析因为{a=2,b=10,a与b的夹角为45°，所以向 13.解(1)：△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°： 量b在向童a方向上的教影向量为b1cos45日=10X xg-5y2。 乞X2=2,所以向量b在向量a方向上的投影向量 的模为5√2. 答案5、2 7.解析设a与b的夹角为0，，a·b=16,∴，abcos0 D =16.又，a在b方向上的投影的数量为4，.a·cos0 如图，延长AB至点D,使AB=BD,则AB=BD, =4,∴.b=4. ·∠DBC为向量AB与BC的夹角. 答案4 ∠DBC=120°，∴向量AB与BC的夹角为120， 8.解|AB1=5,BC1=4.AC1=3. (2),E为BC的中点，.AE⊥BC, ∴△ABC为直角三角形，且C=90 ∴.AE与EC的夹角为90. ∴osA-6-号msB=%-告 68 a)AB.BC--BA.BC=-5X4×4=-16 :14,解(1)如图所示， (2)1ACIcos(AC,-ACAB 5 ABI 5 ,BC·AB-BA·BC (3)ABlcos(AB,BC)= BCI IBC D 根据平面向量数量积的定义可得 4 DE·CB=DE·DA=|DEDAIcos 0. 9.解：正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点， 由图可知，|DE引cos8=|DA ,AE=5 因此DE·CB=1DA|-1. :AF·AE=5, (2)DE.DC=IDE DClcos a=DElcos a. ∴AF在AE上的投影的数量为5.如题困所示，连接EF, 由两个向量数量积的几何意义可知EF⊥AE. 而DElcos a就是向量DE在DC上的投彩的数量， 由E是BC中点， 当DE在DC上的投影的数量最大，即投影的数量为 易知点F是意近C点的回等分点一-昌 DC时，DE·DC取得最大值， 10,解析e在e2上的授影是一个向量，故①不正确.e· 所以DE·DC的最大值为1. e=el|ecos(e,e)=cos0,故②不正确.e=e, 训练十八向量数量积的运算律 =1,e=e=1,故③正确.如 图所示，设AB=e,AD=e,作平 1.解析如图，a·b=ab1cos(a,b)=1×1×cos120°= 行四边形ABCD,则ABCD为菱 2 形.则AC=e十e,DB=e一e: :AC⊥DB,∴.(e十e)⊥(e,-e),故④正确. 答案B 11解析：1a-b|≤a+b1≤a+b1,∴a+b =1,la+b1n=3. 答案13 12.解析a在b方向上的投影的数量为acos(a,b)=4×: b.e=1belcos(b.e)-1X1Xcos 120-. cos30°=25. ea-lellalcos(e.a)=1X1x0120 答案25 13.解如图，连接AD,周为AB=AC-4,∠BAC=90°， 所以a·b-b·c+c·a=-2 所以△ABC是等腰直角三角形.又D是边BC的中点， 答案A 所以AD⊥BC,∠ABD=45°， 2.解析因为向量a与b的夹角为60°，|b=4,(a十2b)· 所以BD=22. (a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即a 延长AB到E,则AB与BD的 -a1bcos60°-61b1=-72.所以a°-21a-24= B D 央角为 0,解得a=6或a=一4（舍），故选C. ∠DBE=180°-45=135. 答案C 3.解析因为a,b为单位向量，a十b|=1,所以a°+2a·b (1)AB在BD方向上的投影的数量为 +b-1,得2a·b=-1,所以|a-b|=√(a-b) Aic0s135=4×(-号）=-22. 、a-2a·b+b=￥3.设a-b与c的夹角为0，则(a- (2)BD在AB方向上的投影的数量为 b)·c=|a-b|lelcos0=3cos0,cos0∈[-1,1]， BDicos135'=22X(-号）=-2 (a-b)·c的取值范国为[-55]. 答案C 69