专题05 整式乘法章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

该初中数学整式乘法单元复习讲义通过8大题型框架系统梳理知识体系，涵盖整式乘法计算、乘法公式应用、规律探究、几何图形关联等核心内容，以题型分类呈现知识脉络，突出公式变形、综合应用等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于56道典型题的分层设计，如“乘法公式与几何图形问题”通过图形面积验证平方差公式，培养几何直观；“多项式乘法规律探究”结合数阵、杨辉三角发展推理意识。一题多解法和新定义运算题助力学生提升思维，基础题夯实运算能力，提高题培养创新意识，支持教师实施精准分层教学。

专题05 整式乘法章末56道题型专训（8大题型） 题型一 整式乘法计算问题 题型二 乘法公式计算问题 题型三 多项式乘法中的规律性问题 题型四 乘法公式与几何图形问题 题型五 乘法公式中的最值问题 题型六 整式乘法中的新定义运算 题型七 完全平方公式的变形化简问题 题型八 乘法公式的综合应用 【经典例题一 整式乘法计算问题】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，长方形长为，宽为，现从四个角割去四个边长为的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体． （1）求长方体的体积（用含有m的代数式表示） （2）当时，求此时长方体体积． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 5．（25-26七年级上·广东佛山·期末）观察以下三角形数阵： 上面数阵中，第m行第n列的数表示为． (1)计算：________，________； (2)探究如何用含有m、n的式子表示； (3)探究第m行所有数字之和的规律； (4)结合上述过程及本学期所学，你对“用字母表示数”有什么认识？写一篇不少于100字的小短文． 6．（24-25八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 7．（24-25七年级下·广东茂名·期末）观察： ； ； … 探究： （1）_______（直接写答案）； （2）求的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【经典例题二 整式乘法计算问题】 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 10．（25-26八年级上·山东滨州·月考）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含（为正整数）的等式表示第个等式，并证明这个结论是正确的． 12．（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）请你补充条件并解答．观察下列算式的规律，回答问题. ①； ②； ③ ； ④ ； ··· (1)请在横线上写出⑤和⑳的式子； ⑤ ； ⑳ ； (2)嘉嘉猜测：若两个整数的差是3，则较大整数与较小整数的平方差能被3整除．请你判断嘉嘉的猜测正确吗，并说明理由． 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【经典例题三 多项式乘法中的规律性问题】 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律：； ； ； … (1)______； (2)猜想：______（其中n为正整数，且）； (3)利用（2）中的猜想的结论计算：． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列一组等式： ； ； ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①__________； ②（__________）； ③（__________）； (2)利用你的发现计算：． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 19．（2025八年级上·全国·专题练习）探究活动 【探究规律】 （1）； ； ； ______； …… 【猜想规律】 （2）______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数表示此两位数的平方）；（结果化为最简） 【知识迁移】 （3）“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”，即，其中，会不会也有类似规律？如果有，请探索找出规律并证明；如果没有，请说明理由． 20．（24-25七年级下·海南三亚·月考）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数： ． (2)观察杨辉三角，第6行的数字之和是 ． (3)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，显然再过7天还是星期一，那么再过天是星期_____，为什么？ 21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如： ， 小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式” 小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像” 小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ (1)能否用字母表示你所发现的规律？ (2)你能利用上面的规律来计算吗？ 【经典例题四 乘法公式与几何图形问题】 22．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 23．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）某室内体育训练场地如图①所示，其平面图四边形为正方形，内场（白色区域）是边长为的正方形，外圈设计两条宽为的直角塑胶跑道（阴影区域）． (1)若采用如图②所示的长为，宽为的长方形材料铺跑道（可进行裁剪与拼接），试用公式证明，无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； (2)若，，求的值． 24．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 25．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 26．（25-26八年级上·北京·期中）学习整式乘法时，小明制作了三种型号的卡片若干张进行探究学习，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．小明进行了一系列探究，请你和小明一起解决下面的问题． (1)选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________，通过不同方式表示大正方形的面积，可以得到等式________________________； (2)选取1张A型卡片和1张B型卡片按照图3的方式叠合摆放，用剪刀沿B型卡片的边缘剪开，再沿虚线剪开，得到了两个全等的直角梯形，如图3所示，再将它们重新拼成了一个长方形，通过图3中的图形面积关系可以得到等式________________________； (3)请你选取适当数量的三种型号卡片拼出一个面积为的长方形，在下面的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标出长方形的长与宽． 27．（25-26八年级上·广东惠州·期末）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【经典例题五 乘法公式中的最值问题】 29．（25-26八年级上·四川广安·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 30．（24-25七年级下·河南南阳·期中）〖我阅读〗阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4． 〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答． (1)直接写出代数式的最小值． (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 31．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）[阅读理解]根据完全平方公式，可将多项式转化为的形式，然后由完全平方式的非负性，可求出多项式的最小值． 例题：求的最大值． 解：， ， ，即当时，有最大值0， 该式的最大值为12． 根据上述内容，完成下列任务： [学以致用] （1）求多项式的最小值； （2）已知代数式，，证明：对于任意x的值，代数式的值为正数； [拓展应用] 已知，，求abc的值． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 33．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为________； (2)求多项式有最大值． 34．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）综合阅读与实践．我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是3； ②． ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： (1)知识再现：当____________时，代数式的最小值是____________； (2)知识运用：若，求当为何值时，有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最大值． 35．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【经典例题六 整式乘法中的新定义运算】 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：，例如，．求的值． 37．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”． (1)若，，求，的“青宁数”； (2)若，，求、的“青宁数”； (3)已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示) 38．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． (1)48是“神秘数”吗？若是，请写出是哪两个连续奇数的平方差，若不是，请说明理由； (2)猜想“神秘数”有何特征，并说明理由； (3)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 39．（24-25八年级上·吉林·期末）将四个数a，b，c，d排列成2行，2列，记作，定义=ad-bc，上述记号就叫2阶行列式． （1）根据定义，化简； （2）请将（1）中的化简结果因式分解； （3）请直接写出（1）中化简结果有最 值（填“大”或“小”），是 ． 40．（24-25七年级下·重庆·期末）对于实数a，b，c定义一种新运算，规定 例如： （1）求； （2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积； （3）若，求的值． 41．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 42．（24-25六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【经典例题七 完全平方公式的变形化简问题】 43．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 44．（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 45．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题． 例：计算（a﹣2b＋3）（a＋2b﹣3） ＝[a﹣（2b﹣3）][a＋（2b﹣3）]…………① ＝a2﹣（2b﹣3）2…………② ＝a2﹣4b2＋12b﹣9…………③ （1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是 　 　，②→③的变形依据是 　 　．（填整式乘法公式的名称） （2）用此方法计算：（a＋2x﹣y﹣b）（a﹣2x＋y﹣b）． 46．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我们将进行变形，如：，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，，则 ． (2)若满足，求的值． (3)如图，四边形是梯形，，，，，连结，若，则图中阴影部分的面积为 ． 47．（24-25七年级下·湖南永州·月考）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 48．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 49．（24-25八年级上·四川内江·月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 【经典例题八 乘法公式的综合应用】 50．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 51．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①；②；③；④． (1)请用上面的拆分方法拆分__________； (2)用含有字母（是正整数）的等式表示这一规律：__________；并借助运算证明这个结论是正确的； 52．（25-26八年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 53．（25-26八年级上·河北张家口·期末）我们通常用“作差法”比较代数式的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算的值．若，则；若，则；若，则． (1)图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中的正方形边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含a的代数式分别表示和（结果需要化简）； ②请用作差法比较与的大小； (2)已知，，则A与B的大小关系为________． 54．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 55．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将变形为或等． 【应用】 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知，，则_____． （2）若满足，求的值． 【拓展】 （3）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，四边形是梯形，，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 56．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）综合实践 探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成． 计算发现   （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ． 尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明． 发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式乘法章末56道题型专训（8大题型） 题型一 整式乘法计算问题 题型二 乘法公式计算问题 题型三 多项式乘法中的规律性问题 题型四 乘法公式与几何图形问题 题型五 乘法公式中的最值问题 题型六 整式乘法中的新定义运算 题型七 完全平方公式的变形化简问题 题型八 乘法公式的综合应用 【经典例题一 整式乘法计算问题】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，长方形长为，宽为，现从四个角割去四个边长为的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体． （1）求长方体的体积（用含有m的代数式表示） （2）当时，求此时长方体体积． 【答案】（1）      （2）2 【分析】（1）先求出长方体的长、宽、高，然后由体积公式即可求出答案； （2）把代入计算，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意， 长方体的长为：， 长方体的宽为：， 长方体的高为：， ∴长方体的体积为：； （2）根据题意， 当时，则 此时长方体体积为：． 【点睛】本题考查了用代数式表示长方体的体积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答． （2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：； 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：． 故答案为：，，； （2）解： 当，时，原式． 5．（25-26七年级上·广东佛山·期末）观察以下三角形数阵： 上面数阵中，第m行第n列的数表示为． (1)计算：________，________； (2)探究如何用含有m、n的式子表示； (3)探究第m行所有数字之和的规律； (4)结合上述过程及本学期所学，你对“用字母表示数”有什么认识？写一篇不少于100字的小短文． 【答案】(1)17；57 (2)； (3)； (4)见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探究． （1）先求得，再推导出，据此求解即可； （2）由（1）的结论可得； （3）根据前三行的所有数字之和，得到规律即可； （4）言之有理即可． 【详解】（1）解：先看奇数总数到某一行末的个数： 第1行末是第1个奇数1； 第2行末是第个奇数（依次是 1，3，5）； 第3行末是第个奇数（1，3，5，7，9，11）； 第4行末是第个奇数（1，3，5，7，9，11，13，15，17，19）； 所以第m行的第一个数是整个奇数序列中的第个奇数． 即， ∴； ∴；； 故答案为：17；57； （2）解：由（1）得； （3）解：第1行：和为； 第2行：； 第3行：； ； ∴第m行所有数字之和为； （4）解：“用字母表示数”是代数的基本思想，把具体数字推广到一般情况．本次探究中，我通过观察三角形数阵中具体的几行数字，发现每行都是连续奇数，于是想找出第m行第n列的一般规律．我先从特殊到一般，用m表示每行的首项，发现首项公式．再利用每行相邻差2，推导出通项公式．接着用这个公式计算第m行和时，字母运算让我很快得到了简洁的结论：行和等于，无需逐行相加． 这让我体会到，字母表示数能将复杂数字规律抽象成简单公式，便于推理、验证和推广，从特殊中发现普遍规律，这正是代数的力量．本学期学习的代数式、公式推导，都是这一思想的体现，它让数学更具一般性和应用性． 6．（24-25八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 7．（24-25七年级下·广东茂名·期末）观察： ； ； … 探究： （1）_______（直接写答案）； （2）求的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】（1）36；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了数字图形的规律题，准确计算是解题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据规律计算即可； （3）根据圆的面积公式和规律计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 ， 故答案为：36； （2）根据题意，得； （3）所有阴影部分的面积和为： ． 【经典例题二 整式乘法计算问题】 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键． （1）先利用积的乘方化简，然后完全平方公式进行计算即可； （2）先对第二个括号利用完全平方公式进行化简，然后利用积的乘方化简，最后平方差公式及完全平方公式进行计算即可； （3）先对第一个括号利用完全平方公式进行计算，第二个括号利用平方差公式进行计算，最后合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式及合并同类项对中括号进行化简，再利用平方差公式进行计算即可； （5）先利用完全平方公式及合并同类项对中括号进行化简，再利用平方差公式进行计算即可； （6）先利用平方差公式以及完全平方公式对括号进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值． (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)20 (2)18 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出xy的值； （2）由计算可得，把和看作整体，根据完全平方公式可得，再根据，即可计算出的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 10．（25-26八年级上·山东滨州·月考）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 【答案】(1)；；， (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算即可； （2）归纳总结得到规律，写出结果即可； （3）原式乘以，变形后，即可利用得出的规律计算得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）； （3）． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分______； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含（为正整数）的等式表示第个等式，并证明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含n的等式，并进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，第个等式是： 理由：右边 ， 左边， 左边右边， 成立． 12．（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以、后，运用平方差公式． （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘，反复运用平方差公式，得出结果； （2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘后，运用平方差公式，计算出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）请你补充条件并解答．观察下列算式的规律，回答问题. ①； ②； ③ ； ④ ； ··· (1)请在横线上写出⑤和⑳的式子； ⑤ ； ⑳ ； (2)嘉嘉猜测：若两个整数的差是3，则较大整数与较小整数的平方差能被3整除．请你判断嘉嘉的猜测正确吗，并说明理由． 【答案】(1)； (2)嘉嘉的猜测正确；理由见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式； （1）根据已知数式子的规律写出⑤和⑳的式子； （2）设较小整数为，则较大整数为，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：⑤的式子； ⑳的式子； 故答案为：；． （2）解：嘉嘉的猜测正确； 理由：设较小整数为，则较大整数为，则 为整数， 为整数， 能被整除 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是 （填序号）． ① ② ③ (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则 ． ②计算： 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的验证与应用． (1)根据拼接前后阴影的面积不变，可以验证平方差公式； (2)①把，代入即可求出的值； ②把转化为，用平方差公式展开进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为， 如下图所示，图中平行四边形的高为，底为， 平行四边形的面积为， 拼接前后阴影部分的面积没有变化， ， 能验证的公式是②， 故答案为②； （2）①解：，，， ∴ ， 故答案为：； ②解： ． 【经典例题三 多项式乘法中的规律性问题】 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律：； ； ； … (1)______； (2)猜想：______（其中n为正整数，且）； (3)利用（2）中的猜想的结论计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，由特殊归纳出一般结论是解题的关键． （1）根据题中条件归纳即可求解； （2）根据题中条件归纳即可求解； （3）根据（2）归纳可知，进而即可解答； 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴； （2）解：∵， ， ， …… ∴； （3）解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列一组等式： ； ； ． (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ①__________； ②（__________）； ③（__________）； (2)利用你的发现计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）把一四、二三因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2）原式 ． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）观察下列各式： …… (1)根据规律可得______（其中为正整数） (2)运用规律计算： (3)运用规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，得到相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，抽象概括出相应的规律即可； （2）利用（1）中规律解题即可； （3）将式子乘以，利用规律解题即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； 故答案为：； （2）； （3） ． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）探究活动 【探究规律】 （1）； ； ； ______； …… 【猜想规律】 （2）______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数表示此两位数的平方）；（结果化为最简） 【知识迁移】 （3）“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”，即，其中，会不会也有类似规律？如果有，请探索找出规律并证明；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有，，见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据题意，对所给算式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为； ； ； ． 故答案为：； （2）由（1）知，． 故答案为：； （3）也有类似规律，． 证明： ． 因为， 所以原式， 所以找出的规律成立． 20．（24-25七年级下·海南三亚·月考）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数： ． (2)观察杨辉三角，第6行的数字之和是 ． (3)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，显然再过7天还是星期一，那么再过天是星期_____，为什么？ 【答案】(1)6，4 (2) (3)二 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，理解题中所给“杨辉三角”与展开式中各项系数的对应关系是解题的关键． （1）根据题意，求出接下来一行中的数，据此即可解决问题． （2）取代入即可计算出（即第6行）的展开式中的各项系数之和． （3）将改写为，据此即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 接下来一行的数字分别为：1，4，6，4，1， 所以． 故答案为：6，4． （2）解：当时，第6行对应：， ∴第6行的数字之和为. 故答案为： （3）解：∵， 显然此式除以7的余数为1， 所以再过天是星期二． 故答案为：二． 21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如： ， 小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式” 小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像” 小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ (1)能否用字母表示你所发现的规律？ (2)你能利用上面的规律来计算吗？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，根据整式乘法结果的特点总结出规律是解题的关键．根据两个等式可知：两个数的和乘这两个数的平方和减去它们乘积的差的积，等于这两个数的立方和；两个数的差乘这两个数的平方和加上它们乘积的和的积，等于这两个数的立方差． （1）根据两个整式乘法结果的特点求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：用字母表示发现的规律为；． （2）解：． 【经典例题四 乘法公式与几何图形问题】 22．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． (1)请用含a，b的代数式表示________，________； (2)写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； (3)利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 【详解】（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 23．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）某室内体育训练场地如图①所示，其平面图四边形为正方形，内场（白色区域）是边长为的正方形，外圈设计两条宽为的直角塑胶跑道（阴影区域）． (1)若采用如图②所示的长为，宽为的长方形材料铺跑道（可进行裁剪与拼接），试用公式证明，无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式的变形，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）求出的长，列代数式表示直角塑胶跑道的面积，然后根据平方差公式计算解答即可； （2）根据完全平方公式的变形可得，然后整体代入即可解答． 【详解】（1）解：如图，， ∴直角塑胶跑道的面积为， 又∵长方形材料面积为， ∴无论取何值，都需要4块图②所示的长方形材料铺满跑道； （2）解：∵，， ∴， 24．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 25．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 26．（25-26八年级上·北京·期中）学习整式乘法时，小明制作了三种型号的卡片若干张进行探究学习，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．小明进行了一系列探究，请你和小明一起解决下面的问题． (1)选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________，通过不同方式表示大正方形的面积，可以得到等式________________________； (2)选取1张A型卡片和1张B型卡片按照图3的方式叠合摆放，用剪刀沿B型卡片的边缘剪开，再沿虚线剪开，得到了两个全等的直角梯形，如图3所示，再将它们重新拼成了一个长方形，通过图3中的图形面积关系可以得到等式________________________； (3)请你选取适当数量的三种型号卡片拼出一个面积为的长方形，在下面的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标出长方形的长与宽． 【答案】(1)； (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、平方差公式的几何背景等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）分别表示左右两个图形的面积得出结论即可； （3）结合，根据面积为的长方形由1个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，3个长和宽分别为a，b的长方形完成作图即可． 【详解】（1）解：选取1张A型卡片，1张B型卡片和2张C型卡片在纸上按照图2的方式拼成了一个大正方形，则这个大正方形的边长为， 通过不同方式表示大正方形的面积，则可以表示为或， 可以得到等式； （2）解：由图3中的左边图形面积为，右边图形面积为， 则可以得到等式； （3）解：∵面积为的长方形由1个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，3个长和宽分别为a，b的长方形构成， 又∵， 如下图即为所求作． 27．（25-26八年级上·广东惠州·期末）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】（1）；（2）①的值为或；②的值为；（3） 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可； ②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】解：（1）观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）假设，，则，，， ∵， 得， 故． 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 【经典例题五 乘法公式中的最值问题】 29．（25-26八年级上·四川广安·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】最小值是3，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 30．（24-25七年级下·河南南阳·期中）〖我阅读〗阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4． 〖我解答〗爱思考的聪聪同学分别编制了如下两个习题，请你对以上聪聪同学所编制的两个习题进行解答． (1)直接写出代数式的最小值． (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1) (2)代数式有最大值，最大值为32 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 由，得：； ∴代数式的最小值是； （2）∵， 又∵， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为32． 31．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）[阅读理解]根据完全平方公式，可将多项式转化为的形式，然后由完全平方式的非负性，可求出多项式的最小值． 例题：求的最大值． 解：， ， ，即当时，有最大值0， 该式的最大值为12． 根据上述内容，完成下列任务： [学以致用] （1）求多项式的最小值； （2）已知代数式，，证明：对于任意x的值，代数式的值为正数； [拓展应用] 已知，，求abc的值． 【答案】（1）；（2）见解析；拓展应用： 【分析】本题考查了完全平方式，非负数的性质，整式的加减混合运算，灵活运用完全平方公式是解题关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先计算出，再根据完全平方式的非负性证明即可； 拓展应用：由题意可得，将其代入中，化简结果为，进而求出、、的值计算即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，有最小值0， 多项式的最小值为； （2）证明：，， ， ， ，即， 对于任意x的值，代数式的值为正数； 拓展应用：， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 32．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． （2）解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； （3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 33．（24-25七年级下·四川达州·期末）阅读下面的材料并解答后面的问题： 【阅读】 小亮：你能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)将变形为的形式________，则的最小值为________； (2)求多项式有最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将多项式变形，再根据完全平方式的非负性求解最值． （1）把变为，再写成完全平方式的形式即可； （2）先提系数，再配方，然后利用非负数的性质，结合不等式的性质求解即可； 【详解】（1）将进行配方变形： 因为， 所以当，即时，的值最小，最小值是2． 故答案为：，2． （2）解：对进行配方： 因为， 所以， 当，即时，的值最大，最大值是11． 所以多项式的最大值为11． 34．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）综合阅读与实践．我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是3； ②． ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： (1)知识再现：当____________时，代数式的最小值是____________； (2)知识运用：若，求当为何值时，有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最大值． 【答案】(1)2，2 (2)当时，y有最大值5 (3)5 【分析】本题考查利用配方法求代数式的最值．通过将代数式配方成完全平方形式，利用平方项的非负性确定最值及对应的变量值． （1）根据题目中的配方法求解即可． （2）根据题目中的配方法求解即可． （3）从方程中整理出y的表达式，然后代入得到新代数式，对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ∵是非负数，即 ∴， 则当时，有最小值2． 故答案为：2，2． （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴， 则当时，有最大值5． （3）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 则当时，有最大值5． 35．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如，求代数式的最小值． 可知，当时，有最小值，最小值是－4． 再例如，求代数式的最大值． ． 可知，当时，有最大值，最大值是15． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)请比较多项式与的大小，并说明理由； (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值4 (3)2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）计算得，可知，即可比较大小； （2）由变形得，再根据，，可得答案； （3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，即：， ∴； （2） ， ∵，， ∴ ∴当，时，多项式有最小值4； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题六 整式乘法中的新定义运算】 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：，例如，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴的值为． 37．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”． (1)若，，求，的“青宁数”； (2)若，，求、的“青宁数”； (3)已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示) 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将，代入，即可求解． （2）根据完全平方公式求得，然后结合已知条件，得出的值，即可求解； （3）根据题意将已知条件代入化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ 或 （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，完全平方公式变形求值，等式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 38．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． (1)48是“神秘数”吗？若是，请写出是哪两个连续奇数的平方差，若不是，请说明理由； (2)猜想“神秘数”有何特征，并说明理由； (3)若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 【答案】(1)48是“神秘数”， (2)猜想“神秘数”都是8的倍数，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）将48写成两个连续奇数的平方差即可，根据列举出的“神秘数”的规律得出结论； （2）根据“神秘数”可以表示为两个连续奇数的平方差的特征和都是8的倍数； （3）设出长方形的边长，求出周长，再根据“神秘数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：48是“神秘数”， ， 是“神秘数”； （2）解：猜想“神秘数”都是8的倍数；理由如下： 由于；；； 所以“神秘数”都是8的倍数，即； （3）解：设长方形的两条相邻的边分别为，， 所以周长为：，而是神秘数，即周长为神秘数． 【点睛】本题考查平方差公式，理解“神秘数”的定义是正确解答的前提． 39．（24-25八年级上·吉林·期末）将四个数a，b，c，d排列成2行，2列，记作，定义=ad-bc，上述记号就叫2阶行列式． （1）根据定义，化简； （2）请将（1）中的化简结果因式分解； （3）请直接写出（1）中化简结果有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】（1）；（2）；（3）小， 【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）根据中，=0时有最值可得结论． 【详解】解：（1）原式=（3x+2）2-（x+2）（x+10） = 9x2+12x+4-（x2+12x+20） = 8x2-16； （2）8x2-16 =8（x2-2）； （3）由（1）得8x2-16，当8x2=0时有最小值，是-16． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 40．（24-25七年级下·重庆·期末）对于实数a，b，c定义一种新运算，规定 例如： （1）求； （2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得； （3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得． 【详解】（1）= 故答案为：15 （2） 又 （3） ， 【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键． 41．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)13， (2)18 (3) 【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可； （2）将变形为，代入计算即可； （3）根据已知得到，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； ； （2）∵，， ∴ ； （3）∵，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形． 42．（24-25六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 【经典例题七 完全平方公式的变形化简问题】 43．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 【答案】不正确，正确结果为 ，当， 时，值为 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值． 小丽的化简过程中，展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确．由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 【详解】解：展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确； ； 当时，原式． 44．（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【答案】(1)1 (2)45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可； （2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）由题意得：， ∴，，，， ∴． 45．（24-25七年级下·山东聊城·期末）阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题． 例：计算（a﹣2b＋3）（a＋2b﹣3） ＝[a﹣（2b﹣3）][a＋（2b﹣3）]…………① ＝a2﹣（2b﹣3）2…………② ＝a2﹣4b2＋12b﹣9…………③ （1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是 　 　，②→③的变形依据是 　 　．（填整式乘法公式的名称） （2）用此方法计算：（a＋2x﹣y﹣b）（a﹣2x＋y﹣b）． 【答案】（1）平方差公式，完全平方公式；（2） 【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式进行判断即可得到答案； (2)先将原式变形再，利用平方差公式展开，最后利用完全平方公式展开即可. 【详解】解：（1） 由①到②是平方差公式，由②到③是完全平方公式 故答案为：平方差公式，完全平方公式； （2） 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握这两个知识进行求解. 46．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我们将进行变形，如：，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，，则 ． (2)若满足，求的值． (3)如图，四边形是梯形，，，，，连结，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的变式应用能力，解题的关键是能数形结合应用完全平方公式． （1）将，代入题干中的推导公式就可求得结果； （2）设，，则，再代入计算即可； （3）设，，则阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：6； （2）解：设，． ∵， ∴ ． （3）解：设，，则， 则阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 47．（24-25七年级下·湖南永州·月考）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 【答案】（1）4，是；（2）2；（3）；（4）4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据题意可得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，，，，， ∴小于10的“和美数”有：0或1或2或4或5或8或9（写出一个即可）； ∵， ∴是“和美数” 故答案为：4（答案不唯一）；是； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵，，， ∴要使S为“和美数”， 则； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是4， 故答案为：4． 48．（25-26八年级上·全国·单元测试）我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，9，，9 (2) (3)存在，最大值为227 【分析】本题考查了完全平方公式和配方法． （1）根据材料中的方法，利用完全平方公式配方即可； （2）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得答案； （3）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：9，9，，9； （2）解：， ， ， 多项式的最小值是； （3）解：存在． ， ， ， ， 多项式存在最大值，最大值为227． 49．（24-25八年级上·四川内江·月考）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 【答案】(1) (2)当时，p的最大值为6 (3)是等边三角形，理由见解析 (4)3 【分析】（1）根据材料步骤配方即可； （2）先配方成顶点式即可解题； （3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题； （4）先配方成几个平方的和的形式，整体代入即可解题． 【详解】（1） （2）∵ ∴当时，p的最大值为6 （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形 （4）∵，， ∴，， 原式 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键． 【经典例题八 乘法公式的综合应用】 50．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 51．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）请观察下列关于正整数的平方拆分等式： ①；②；③；④． (1)请用上面的拆分方法拆分__________； (2)用含有字母（是正整数）的等式表示这一规律：__________；并借助运算证明这个结论是正确的； 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含的等式证明成立即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④； ∴； （2）解：∵①；②；③；④； ∴． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， 成立． 52．（25-26八年级上·山西忻州·期末）阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：   第一步   第二步   第三步 ．  第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 【答案】(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 53．（25-26八年级上·河北张家口·期末）我们通常用“作差法”比较代数式的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算的值．若，则；若，则；若，则． (1)图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中的正方形边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为． ①用含a的代数式分别表示和（结果需要化简）； ②请用作差法比较与的大小； (2)已知，，则A与B的大小关系为________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值；②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可； （2）计算，根据结果进行判断即可． 【详解】（1）解：①， ， ②∵ ∴； （2）∵，， ∴ ， ∴ 54．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 55．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将变形为或等． 【应用】 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知，，则_____． （2）若满足，求的值． 【拓展】 （3）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，四边形是梯形，，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）17；（2）63；（3）5 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）通过对完全平方公式变形即可求值； （2）设，，则，根据题意可得，再通过对完全平方公式变形即可求值； （3）根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：17； （2）设，，则， ∵， ∴， ∴， 即； （3）阴影部分的面积 ． 56．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）综合实践 探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成． 计算发现   （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ． 尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明． 发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值． 【答案】（），，；（）的结果是定值，说明见解析；（）的值分别为． 【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，列代数式，解二元一次方程组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图所示的四个小正方形框住月历中的四个数关系即可求解； （）设，则，，，然后代入即可求解； （）由，，则，从而求得，然后联立，解得即可． 【详解】解：（）根据题意可得：，， ∴， 故答案为：， ，； （）设，则，，， ， ∴的结果是定值； （）∵，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， 联立，解得：， ∴，， 答：的值分别为． 学科网（北京）股份有限公司 $