专题02 乘法公式重难点题型专训（4个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 乘法公式重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 运用完全平方公式进行运算 题型三 通过对完全平方公式变形求值 题型四 求完全平方式中的字母系数 题型五 平方差公式与几何图形 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型八 整式的混合运算 拓展训练一 利用乘法公式化简求值 拓展训练二 乘法公式在实际中综合应用 知识点一：平方差公式 公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 文字描述:两数之和与这两数之差的积，等于它们的平方差。 结构特征： 左边:两个二项式相乘，其中一项完全相同(a)，另一项互为相反数(+b和-b）； 右边:相同项的平方减去相反项的平方（a²-b²） 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东德州·月考）定义一种新的运算：规定，则__________． 知识点二：完全平方公式 公式1:(a+b)² = a²+2ab+b² 公式2:(a-b)²=a²- 2ab+b² 文字描述:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的 2倍。 结构特征： 左边:一个二项式的完全平方((a±b)² 右边:首平方(a²)、尾平方(b²)、首0 尾乘积的 2倍(±2ab) 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么______． 知识点三：公式的几何意义 平方差公式：可通过边长分别为a和b的大正方形与小正方形拼接后剪拼成长方形，直 观验证a²-b=(a +b)(a -b). 完全平方公式： 用面积法解释，例如(a+b)²表示边长为a+b的正方形面积，可 拆分为 a²(左上角)、b²(右下角)、2ab(两个长方形)。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（    ）                A．数形结合思想 B．整体思想 C．公理化思想 D．方程思想 2．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为_______．    知识点四：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，则括号里应填的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）请在括号里填上合适的式子：( )( ) 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）乘积应等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是______________． 1．（25-26八年级上·四川乐山·期末）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（i和n表示正整数，），例如：，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____； （2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【经典例题二 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为________． 3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【经典例题三 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26八年级上·全国·周测）设是实数，定义的一种运算：．则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则且 C．若，则或 D． 【例2】 （24-25七年级下·四川巴中·月考）若，则______． 1．（24-25八年级上·北京·期中）小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（    ） A． B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有______． 3．（25-26八年级上·北京西城·月考）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； ； … (1)将写成两个整数平方差的形式： ． (2)用含有字母（，且为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差是的倍数吗？请说说你的理由． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是_________． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·山西太原·月考）下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若关于x的方程解为负数，则m的取值范围为；⑤若为完全平方式，则．其中正确的结论是________．（填写序号．） 3．（25-26七年级下·四川巴中·期末）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【经典例题五 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】 （25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为_____． 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是_______________． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）【探究】（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示） 【应用】（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为______ ②计算： 【拓展】（3）计算 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为_______________． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 3．（24-25八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，有两个正方形，．若将放在的内部，则得到图②．若将，并列放置后构成新的正方形，则得到图③．若图②中阴影部分的面积为5，正方形，的面积之和为17，则图③中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 【例2】（24-25八年级上·全国·月考）如下图所示正方形是由边长为，的两个正方形和两个长与宽分别为，的长方形组成．参照下图，可获得等式：．那么，个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个小长方形，无重叠、无缝隙拼成另一个大的正方形，则可获得等式__________． 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为______． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【经典例题八 整式的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，两个正方形的边长分别为a，b（），如果，，则图中阴影部分的面积是________． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第五个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【拓展训练一 利用乘法公式化简求值 】 【例1】 （24-25八年级上·广东梅州·月考）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是_________． 1．（2025·贵州·模拟预测）（1）化简：； （2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 第二步 ．第三步 ①小丽的化简过程从第________步开始出现错误，出错的原因是________________________； ②请对原式进行化简，并求当，时原式的值． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【拓展训练二 乘法公式在实际中综合应用】 【例1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·月考）在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，如图1，把余下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是_____． 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【实践操作】 在数学社团的实践活动中，同学们准备利用一张大长方形纸板设计一个拼图模型．他们按照设计图将纸板裁剪成9块，其中包括2块边长为的大正方形、2块边长为的小正方形以及5块长为、宽为的相同小长方形，且满足．同学们希望通过观察图形，探究代数式与几何图形面积之间的关系，并解决以下问题． 【问题解决】 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________________； (2)若图中阴影部分的面积为34，大长方形纸板的周长为30． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． A基础训练 1．（2026七年级下·全国·专题练习）代数式的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为、的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25六年级下·山东淄博·期末）定义：若多项式，，满足（其中，m，n是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数n叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”．已知，，为“和谐多项式群”，p，q满足且（p，q为常数），“和谐值”为，则p，q的值为（    ） A．2， B．2， C．， D．， 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26八年级上·山东·期末）________． 7．（24-25八年级上·四川内江·期中）设为正整数，，，，…，…，已知，则_______． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）① ② ③ …… 题：猜想__________． 题：当，代数式___________． 9．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到______； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 13．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 14．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 15．（25-26八年级上·广东惠州·期末）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 乘法公式重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 运用完全平方公式进行运算 题型三 通过对完全平方公式变形求值 题型四 求完全平方式中的字母系数 题型五 平方差公式与几何图形 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型八 整式的混合运算 拓展训练一 利用乘法公式化简求值 拓展训练二 乘法公式在实际中综合应用 知识点一：平方差公式 公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 文字描述:两数之和与这两数之差的积，等于它们的平方差。 结构特征： 左边:两个二项式相乘，其中一项完全相同(a)，另一项互为相反数(+b和-b）； 右边:相同项的平方减去相反项的平方（a²-b²） 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东德州·月考）定义一种新的运算：规定，则__________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算，进而根据平方差公式进行简便运算，即可求出值． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点二：完全平方公式 公式1:(a+b)² = a²+2ab+b² 公式2:(a-b)²=a²- 2ab+b² 文字描述:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的 2倍。 结构特征： 左边:一个二项式的完全平方((a±b)² 右边:首平方(a²)、尾平方(b²)、首0 尾乘积的 2倍(±2ab) 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么______． 【答案】/ 【分析】此题考查了完全平方公式．根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 知识点三：公式的几何意义 平方差公式：可通过边长分别为a和b的大正方形与小正方形拼接后剪拼成长方形，直 观验证a²-b=(a +b)(a -b). 完全平方公式： 用面积法解释，例如(a+b)²表示边长为a+b的正方形面积，可 拆分为 a²(左上角)、b²(右下角)、2ab(两个长方形)。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（    ）                A．数形结合思想 B．整体思想 C．公理化思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】根据题意确定用到的数学思想即可．此题考查了数学思想，掌握常见的数学思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意，用到的数学思想是数形结合思想， 故选：A 2．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为_______．    【答案】 【分析】由图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可得出等式． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式．利用数形结合的思想是解题关键． 知识点四：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，则括号里应填的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）请在括号里填上合适的式子：( )( ) 【答案】 / 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，根据平方差公式的特点填空即可． 【详解】解：， 故答案为：， 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）乘积应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是利用平方差公式对每个括号内的式子进行因式分解，然后通过约分计算出结果． 利用平方差公式将每个分解为，然后展开式子，通过约分计算出最终的乘积． 【详解】解：根据平方差公式，对进行因式分解可得：．那么原式可转化为： ． 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是______________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把写成后，利用平方差公式化简，归纳总结得到一般性规律，即可确定出的个位数字． 【详解】解： ． 观察已知等式，个位数字以循环，且，能整除， 所以的个位数字是． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川乐山·期末）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（i和n表示正整数，），例如：，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值．根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到和的值，本题得以解决． 【详解】解：∵， , , ∴， ， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____； （2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”． 【答案】 7 49 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据“智慧数”的定义，利用平方差公式推导出智慧数的表达式，进而求解第3个智慧数和小于100的智慧数个数。 【详解】解：设满足条件的两个正整数为 和 ，且 ， 则智慧数为 ． 又 ，代入得智慧数 ，其中 为正整数． 因此，智慧数为从 3 开始的奇正整数． （1）第 3 个智慧数对应，即 ， 故答案为：7. （2）根据题意可知，解得， 由于n为正整数， 故n取49， 故答案为：49． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 【经典例题二 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握利用配方法将二次三项式化为完全平方式是解题的关键． 利用配方法将二次多项式化为完全平方的形式，再根据非负数的性质求出多项式取得最小值时的值． 【详解】解： ， 由可知，当，即时，多项式取得最小值． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法的系数问题，熟练掌握利用特殊值法求系数和是解题的关键．本题可通过代入特殊值、、来分别求出、各项系数和、奇数项与偶数项系数和，再通过联立方程求出，从而逐一判断各结论的正确性． 【详解】解：（1）令，， ， ，故（1）正确． （2）令，， ， ，故（2）正确． （3）令，得， 即， 两边同乘得，即， 故（3）正确． （4）由（2）得， 由可得， 得，即， 又，代入得， 所以，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，S是完美数，见解析； (3)的最小值等于． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键． （1）根据13是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， （3）由得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴13是“完美数”； （2）解：，是完美数， 理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是“完美数”，且是大于等于2的最小“完美数”， 当时，可由解得符合题意， 故的最小值等于 【经典例题三 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26八年级上·全国·周测）设是实数，定义的一种运算：．则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则且 C．若，则或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据新定义运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断． 考查完全平方公式的特点和应用，新定义运算关键是转化为常见的运算进行计算即可． 【详解】解：，故选项正确，不符合题意； ，则或，故选项错误，符合题意； 即：，则 或，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项正确，不符合题意． 故选：． 【例2】 （24-25七年级下·四川巴中·月考）若，则______． 【答案】2001 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形进行计算即可，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故答案为：2001． 1．（24-25八年级上·北京·期中）小新以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，四个正方形面积之和为26，则长方形的面积为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式是关键．设，根据已知易得：，从而可得：，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴长方形的面积为6． 故选：D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有______． 【答案】①② 【分析】本题考查了利用代数式的变形及完全平方公式的应用，通过代入具体的a的值，应用完全平方公式，不等式等知识验证结论是否正确． ①将代入求出的值故①正确；②利用平方的非负性，即；可得，故②正确，③若，等式两边同时除以，再两边同时平方，即可得，故③错误，④根据完全平方公式可知，若为完全平方式，则，或，或，或，得到的值故④错误． 【详解】解：①当时，故①正确； ②， ， 恒成立，故②正确； ③若，则， 可得， ， ，即，但是两个非负数之和不可能是，故③错误； ④∵若为完全平方式， 则，或，或，或， ∴或或或，故④错误； 故答案为：①②． 3．（25-26八年级上·北京西城·月考）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； ； … (1)将写成两个整数平方差的形式： ． (2)用含有字母（，且为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差是的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)， (2)（且为整数），证明见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式： （1）根据题意可知，； （2）根据题意可知（且为整数），将上述等式右边展开，即可证明； （3）设相邻的两个整数为和（为整数），当这两个整数的平方差为时，，当这两个整数的平方差为时，． 【详解】（1）根据题意可知，． 故答案为：， （2）根据题意可知（且为整数）． 将上述等式右边展开： （3）设相邻的两个整数为和（为整数）． 当这两个整数的平方差为时，． 当这两个整数的平方差为时，． 因为和是奇数，而的倍数是偶数， 所以，相邻两个整数的平方差不是的倍数． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·月考）若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是_________． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山西太原·月考）下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若关于x的方程解为负数，则m的取值范围为；⑤若为完全平方式，则．其中正确的结论是________．（填写序号．） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查幂的乘方性质，多项式乘法求参数，再计算代数式的值，完全平方公式变形，解分式方程并分析解为负数的条件，完全平方式的判别条件．根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：①由，得，正确； ②由等号右边展开得， 比较系数得，解得， 代入得， 则，错误； ③由，两边平方得， 所以，正确； ④解方程得， 解为负数则，即，解得， 当时，方程的解为增根，原方程无解，错误； ⑤为完全平方式，则，即， 所以，正确． 故答案为①③⑤． 3．（25-26七年级下·四川巴中·期末）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 【经典例题五 通过对完全平方公式变形求值】 【例1】 （25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为_____． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，可得，再由阴影部分的面积为9，可得，然后整理即可解答． 【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、， ∴， ∵阴影部分的面积为9， ∴，即， ∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18． 故答案为18． 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京·期末）把一个边长为的正方形按图1的方式叠放在边长为的正方形中（），我们既可以利用图1计算阴影部分面积；也可以将图1剪接成图2后计算阴影部分面积．这个过程验证了一个我们熟悉的乘法公式，它是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．图1中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；图2中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，根据这两个图形的阴影部分的面积相等，即可获得答案． 【详解】解：图1中， ∵大正方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积， ∴阴影部分面积可表示为； 图2中， ∵拼接后阴影部分是个长方形，长为，宽为， ∴阴影部分面积可表示为， 由阴影部分面积相等，得． 答案：． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）【探究】（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示） 【应用】（2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为______ ②计算： 【拓展】（3）计算 【答案】（1）（2）①35②（3） 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）应用平方差公式进行计算即可； （3）将算式转化为，进行计算即可． 【详解】解：（1）由图①可知：阴影部分的面积为；由图②可知：阴影部分的面积为； ∴； （2）①∵，， ∴； ②； （3） ． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设AB=x，AD=y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2， ∴x+y=6，x2+y2=20， ∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20， ∴62−2xy=20， ∴xy=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为_______________． 【答案】（a﹣b）2 【分析】由第1个图得，一个小长方形的长为a，宽为b，由第2个图得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算． 【详解】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ＝（a+b）2﹣4ab， ＝a2+2ab+b2﹣4ab， ＝（a﹣b）2； 故答案：（a﹣b）2． 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确， （x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确， （x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判断各个选项是否正确． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则______________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)代数式的最大值为，对应x的值为1 (3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答； （3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴代数式的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，代数式的最大值为． （3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米， 则小型宠物围栏的面积为， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为4． ∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，有两个正方形，．若将放在的内部，则得到图②．若将，并列放置后构成新的正方形，则得到图③．若图②中阴影部分的面积为5，正方形，的面积之和为17，则图③中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形，的边长分别是，，由题意可得，，根据，可求出，由图③可得，代入即可． 【详解】解：设正方形，的边长分别是，，则正方形，的面积之和是． 根据题意，得图②中阴影部分的图形是正方形，边长为， 图③中新正方形的边长为， 图③中阴影部分的面积为． ∵图②中阴影部分的面积为5，正方形，的面积之和为， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴图③中阴影部分的面积是． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·全国·月考）如下图所示正方形是由边长为，的两个正方形和两个长与宽分别为，的长方形组成．参照下图，可获得等式：．那么，个边长为的正方形、个边长为的正方形以及个小长方形，无重叠、无缝隙拼成另一个大的正方形，则可获得等式__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据两种方式得到的面积相等，列出等式，即可求解． 【详解】根据题意可画图如下： 由图知，． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·月考）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为______． 【答案】27 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设甲的边长为a，乙的边长为b，则，，进而根据完全平方公式推出，再根据图1的阴影部分面积，据此计算求解即可． 【详解】解：设甲的边长为a，乙的边长为b， ∴， ∴， ∵图2的阴影部分面积为4， ∴， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积 ， 故答案为：27． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 【经典例题八 整式的混合运算】 【例1】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，观察式子规律通过引入中间变量进行简化计算是解题的关键．设 ，将原式进行变形，然后简化计算，即可得解． 【详解】解：设 ，则原式可表示为： ， ， 故选： D． 【例2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 【答案】－2 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据题意可得，，从而得出，求得． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：. 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用，用大正方形的面积减去小正方形的面积求出长方形的面积，再除以即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解： ， ∴另一边长是， 故选：． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，两个正方形的边长分别为a，b（），如果，，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求出的值，再根据，列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，用代数式表示图形中各个部分的面积是正确解答的前提． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第五个等式：______________________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，探索规律，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据前三个找出规律，写出第五个等式； （2）用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：根据前面算式的规律，可得第五个等式为：． 故答案为：； （2）解：第个等式为：， 证明：． ． 【拓展训练一 利用乘法公式化简求值 】 【例1】 （24-25八年级上·广东梅州·月考）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，原式由两个平方差公式组成，因此利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式的运用，字母较多，计算时要小心谨慎． 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如果多项式是多项式乘法利用完全平方公式化简后的结果，那么b的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键． 多项式的首项和末项分别是和3的平方，那么中间一项是加上或减去与3积的2倍，由此得到答案． 【详解】解：解：∵关于x的多项式是一个完全平方式，，， ∴． 在中， 即， ∴． 故答案为：． 1．（2025·贵州·模拟预测）（1）化简：； （2）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第一步 第二步 ．第三步 ①小丽的化简过程从第________步开始出现错误，出错的原因是________________________； ②请对原式进行化简，并求当，时原式的值． 【答案】（1） （2）①二，去括号后符号错误；②， 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算． （1）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案； （2）①根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案； ②先对原式化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式 ． （4）①第二步有错误，原因是去括号后符号错误， ②原式 ， 当，时， 原式 ． 故答案为：二，去括号后符号错误． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 【答案】不正确，正确结果为 ，当， 时，值为 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值． 小丽的化简过程中，展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确．由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 【详解】解：展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确； ； 当时，原式． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以、后，运用平方差公式． （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘，反复运用平方差公式，得出结果； （2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘后，运用平方差公式，计算出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练二 乘法公式在实际中综合应用】 【例1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 【详解】解：由题意可知， 矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差， S矩形= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键． 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·月考）在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，如图1，把余下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积为； 如图2，阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 【答案】11 【分析】本题主要考查完全平方公式，多项式乘多项式，结合完全平方公式求得关于的等式是解题的关键． 设，，则，再利用完全平方公式可得，即可求解的值，进而可求解． 【详解】解：设，， 则，， 所以， 所以， 解得， 即． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【实践操作】 在数学社团的实践活动中，同学们准备利用一张大长方形纸板设计一个拼图模型．他们按照设计图将纸板裁剪成9块，其中包括2块边长为的大正方形、2块边长为的小正方形以及5块长为、宽为的相同小长方形，且满足．同学们希望通过观察图形，探究代数式与几何图形面积之间的关系，并解决以下问题． 【问题解决】 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________________； (2)若图中阴影部分的面积为34，大长方形纸板的周长为30． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）长方形图形的面积的两种不同算法可得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值；②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； A基础训练 1．（2026七年级下·全国·专题练习）代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，用四个完全一样的长、宽分别为、的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可． 【详解】解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误； ④根据①知， 根据②知，则，正确； ⑤，正确． 所以正确的有①②④⑤，共有个． 故选：C． 4．（24-25六年级下·山东淄博·期末）定义：若多项式，，满足（其中，m，n是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数n叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”．已知，，为“和谐多项式群”，p，q满足且（p，q为常数），“和谐值”为，则p，q的值为（    ） A．2， B．2， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与完全平方公式等知识，解题关键是理解定义，正确计算．本题涉及到了分类讨论的思想方法，本题可以分当时和当时进行讨论，列出方程，根据定义解方程即可． 【详解】解：当时， ∴ ∴ ∴， ∵，故该情况不成立； 当时， ∴ ∴，， ∴，符合题意； 故选：D ． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的面积问题． 先根据题意求出，，，，的值，进而求出的值，判断即可． 【详解】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴ ， 故只需要知道的值， 故选：A B 提高训练 6．（25-26八年级上·山东·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川内江·期中）设为正整数，，，，…，…，已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化的规律，整式的乘法，完全平方公式，寻找出变化的规律是解题的关键． 根据运算法则找出规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）① ② ③ …… 题：猜想__________． 题：当，代数式___________． 【答案】 / 或/或 【分析】题：根据材料提供的信息，即可求解； 题：根据题的结论，可知，可求出，，代入即可求解． 【详解】解：题：， 故答案为：； 题：∵， ， ∴，， 当时，； 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，多项式乘以多项式的运算法则，掌握乘方的运算法则，整式的混合运算法则是解题的关键． 9．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到______； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为______． 【答案】 1 29 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． （1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积； （2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；． 【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：， 为正方形边长，， ， ， 故答案为：； （2）图乙中阴影部分面积可以表示为：， ， 图丙中阴影部分面积为： ， ，， ， ， ，（舍去）， ． 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 13．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”，理由见解析 （3） 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）解： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件的一个值为13． （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． 14．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 【答案】(1) (2)①9996；② (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． (1)用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可； (2)①写成，利用平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行计算即可； (3)配上因数，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ； 故答案为：； （2）①解： ； ②解： ； （3）解： ． 15．（25-26八年级上·广东惠州·期末）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：． 现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）在图3中，根据图中条件，直接写出与之间的关系：_______（用含a，b的代数式表示出来）； 【解决问题】 （2）①若，，_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】（1）；（2）①的值为或；②的值为；（3） 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可； ②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】解：（1）观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）假设，，则，，， ∵， 得， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $