第八章 整式乘法重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第八章 整式乘法重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：整式乘法全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2025·陕西西安·二模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法．单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．根据单项式乘以多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若满足关系式，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，并且灵活运用换元法是解题的关键． 设，，则可得，，根据完全平方公式即可求出的值，即的值，进而即可解答． 【详解】解：设，， 则， ． ∵， ， ， ∴ ∴． 故选：D 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键． 根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 5．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． ①设，通过比较系数得，，所以，即可判断正误； ②求出中项得系数，并令其等于0，可求得，即可判断正误； ③将A化简得，比较系数得，解得，即可判断正误． 【详解】解：①当B能被整除时， 设， 则，， ， 故①错误； ②当乘积不含项时： 中项为， ， 解得， 故②正确； ③ ， ， 解得， ， 故③错误； 综上，正确的只有①． 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行： ； 的系数行： ； 对于含项的系数是从左向右第个数，即； 故选：A． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） ①②③④        A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了用图形面积解释相应的代数恒等式，根据图形用两种不同的方法表示同一个图形的面积即可求解． 【详解】解：①大正方形的面积为：， 大正方形由四个小图形组成面积为：， 故，正确； ②大正方形的面积为：， 大正方形由三个小图形组成面积为：， ∴ 故，正确； ③上方大长方形的面积为：， 将上方右侧小长方形拼到下方，得到面积为：， 故，正确； ④大正方形的面积为：， 大正方形有五个小图形组成面积为： 故，正确； 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 8．（24-25七年级上·山东烟台·期中）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 （　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再利用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x， ∴矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形面积为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，运用了整体代入的思想，求出小正方形的边长是解题的关键． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 10．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在括号内填入相应的单项式使等式成立，_________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘除．根据乘法与除法是互逆运算，计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 11．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如果（其中，都是整数），那么可取的值共有_____个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．直接利用多项式乘以多项式分析得出答案． 【详解】解：， ∴，又a、b为整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值共6个． 故答案为：6． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期中）小明同学在学习了“多项式的乘法”、“乘法公式”知识后，发现学习内容是逐步特殊化的过程．图中“▲”所代表的代数式为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，分析题意，结合题干图的信息，当时，则，即可作答． 【详解】解：观察题干图的信息，得出， 当时，则， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 14．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当即或0时，的值均为3．故给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．若关于的多项式关于对称，则_______；当时，多项式的值为5，则______． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了完全平方式的应用，对多项式进行变形，利用完全平方公式，结合新定义求解即可． 【详解】解：， ∵关于的多项式关于对称， ， ∴，此时多项式为， ∴时，， ∴， 故答案为：1，2． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，    利用上述规律计算：_____． 【答案】 【分析】根据前面的变化规律，计算后解答即可． 本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设． （1）________；（用含、、的代数式表示） （2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值________，________． 【答案】 3 1 【分析】（1）分别表示出矩形中和的长度，根据，代入字母即可求得的长度； （2）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差始终保持不变，即可求出与的关系式，写出满足条件的一组，即可． 【详解】解：（1）由图可得，矩形中宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ， 即； （2）由（1）可得：阴影部分面积之差为 ， 阴影部分的面积差保持不变， ，即， 则满足条件的一组数据为：3，1． 故答案为：；3，1． 【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，根据图形和题意，找出各边的等量关系是解答本题的关键． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（2025七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． （2）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． （3）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题． 【详解】（1）解：原式= ； （2）原式= ； （3）原式= ． 【点睛】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同． 18．（2025·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·四川巴中·月考）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 【答案】(1)6 (2)m，n的值分别是6，5． 【分析】（1）将进行计算得，根据题意得，进行计算即可得； （2）设另一个因式是，则，进行计算即可得，进行计算即可得． 【详解】（1）解： = = ∵既不含二次项，也不含一次项， ∴， 解得，， ∴； （2）解：设另一个因式是，则 = = =， ∴，， 即， 解得，， ∴m，n的值分别是6，5． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． 20．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【答案】任务一：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号；任务二：见解析 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握其运算法则． 任务一：根据运算过程即可求解； 任务二：按去括号法则，合并同类项法则，正确运算即可求解． 【详解】解：任务一：小智的解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号， 故答案为：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号； 任务二：解：原式 ， 当时， 原式． 21．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______； (2)已知，求a，b的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)，详见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． （1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解． （2）先配凑完全平方公式求出a，b值即可． （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【答案】(1)， (2)这个活动小组有5个人 【分析】本题考查了等式的性质、整式的混合运算，熟练掌握等式的性质及整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据即可求解； （2）根据题意求出，再结合的结果都能被这个活动小组的人数整除即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴ ∴，解得： （2）解：由（1）得： ∴， ∴ ∵的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴这个活动小组有5个人 23．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 24．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b（）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①，则 ②计算：． 【答案】（1）；（2）①2；② 【分析】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． （1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答；②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 【详解】解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式； （2）①∵，， 又， ∴， ∴； ② ． 25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ； （2）配方： ； 【知识运用】： （3）已知，求m，n的值． 【答案】（1）；（2）10；（3）， 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． （1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解值即可． 【详解】解：（1）多项式是一个完全平方公式， ， ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， ，， ∴，． 26．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）根据提供的素材完成下列问题： 素材1：我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《讲解九章算法》一书中引用了以下图表（图1），人们称之为“杨辉三角”．此图揭示了的展开式的系数规律．                                                                                                     素材2：城市街道一般都是网格布局，部分街道图抽象成一个纵横各有5条道路的图形（如图2，每个小方格都是一个正方形），某人要从处到处（只能由北向南、由西向东走），有多少种走法呢？将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来，请你观察、分析、比较和归纳． （Ⅰ）当街道是两纵两横时，从处到处只有两种走法（如图3）． （Ⅱ）当街道是三纵三横时，从处到处只有六种走法（如图4）． 根据素材1解答以下问题：                                    （1）的展开式为____________________________________________； （2） 的展开式第3项的系数为_____；的展开式中项的系数为______； （3）若，求下列式子的值： ①；      ②． 根据素材2解答以下问题：   （4）①图2五纵五横从A到B处共有_______种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，从A到B处共有________种走法． 【答案】（1）；（2）10，40；（3）①63，②0；（4）①70，②35 【分析】本题考查多项式乘法的规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）先得出的展开式，即可得出的展开式第3项的系数，利用的展开式得出，其中展开式中是项的是，即可求解； （3）①求出当时，，当时，，即可求解； ②求出当时，，与相减，即可求解； （4）①观察可知可以看作杨辉三角的方法，交叉点处的走法是左边上一步走法和上边上一步走法的和，五纵五横时，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来即可求解； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）由题意知的展开式共6项， 各项系数分别为， 即， 则， 则的展开式第3项的系数为10， 则， 其中展开式中是项的是，系数是40， 故答案为：10，40； （3）①∵， 当时，， 当时，， ∴； ②当时，， 与相减， 得， ∴； （4）①观察可知可以看作杨辉三角的方法，交叉点处的走法是左边上一步走法和上边上一步走法的和， 五纵五横时，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来如下： 故五纵五横从A到B处共有70种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来如下： 则从A到B处共有35种走法． 27．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知有若干张如图1所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）将1张A型卡片，9张B型卡片，6张C型卡片拼成如图2所示的正方形，请用两种方法表示图2中拼成的正方形的面积，方法一：　 　，方法二：　 　，由此可以得到一个等式：　 　； （2）选取1张A型卡片，若干张B型卡片，若干张C型卡片无缝无叠合拼成如图3所示的边长为a+nb的正方形，则需要选取B型卡片 　 　张（用含n的式子表示），C型卡片 　 　张（用含n的式子表示）； （3）将2张C型卡片沿如图4所示虚线剪开后，拼成如图5所示的正方形；将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中（如图6所示）．若图5中阴影部分的面积为4，图6中阴影部分面积为30，记一张A型卡片的面积为SA，一张B型卡片的面积为SB，一张C型卡片的面积为SC，求SA+SB+SC的值． 【答案】（1）（a+3b）²，a²+6ab+9b²，（a+3b）²＝a²+6ab+9b²；（2）n²，2n；（3）22 【分析】（1）利用整体法和分割法：将正方形看成整体，面积是边长的平方；将正方形分成A、B、C三种图形面积的和，建立等量关系求解； （2）正方形的边长为a+nb时，则有一个A型，横方向和纵方向分别有B型图形n个，C型为n×n； （3）利用三种图形的面积分别表示图5和图6的阴影部分的面积，利用整体代入法，进而求得答案． 【详解】解：（1）图2，正方形边长（a+3b），面积（a+3b）²，正方形中有一个A，六个B，九个C，面积（a²+6ab+9b²）．所得等式（a+3b）²＝a²+6ab+9b²， 故答案为：（a+3b）²，a²+6ab+9b²，（a+3b）²＝a²+6ab+9b²； （2）正方形边长为（a+nb），横、纵各有n个C型，故C型数量2n，B型数量为n×n＝n²， 故答案为：n²，2n； （3）∵图5中阴影部分的面积为4， ∴， ∴， ∵图6中阴影部分面积为30， ∴， 化简得， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查：利用面积相等建立等量关系，解决本题的关键是能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量．善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：整式乘法全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2025·陕西西安·二模）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·月考）若满足关系式，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 7．（24-25八年级上·河南南阳·期中）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） ①②③④        A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 8．（24-25七年级上·山东烟台·期中）利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 （　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______． 10．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在括号内填入相应的单项式使等式成立，_________． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）如果（其中，都是整数），那么可取的值共有_____个． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期中）小明同学在学习了“多项式的乘法”、“乘法公式”知识后，发现学习内容是逐步特殊化的过程．图中“▲”所代表的代数式为____________． 13．（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 14．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当即或0时，的值均为3．故给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．若关于的多项式关于对称，则_______；当时，多项式的值为5，则______． 15．（24-25八年级上·四川巴中·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，    利用上述规律计算：_____． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设． （1）________；（用含、、的代数式表示） （2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值________，________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（2025七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（2025·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 19．（24-25八年级上·四川巴中·月考）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 20．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 21．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______； (2)已知，求a，b的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 23．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 24．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为b（）的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①，则 ②计算：． 25．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ； （2）配方： ； 【知识运用】： （3）已知，求m，n的值． 26．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）根据提供的素材完成下列问题： 素材1：我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《讲解九章算法》一书中引用了以下图表（图1），人们称之为“杨辉三角”．此图揭示了的展开式的系数规律．                                                                                                     素材2：城市街道一般都是网格布局，部分街道图抽象成一个纵横各有5条道路的图形（如图2，每个小方格都是一个正方形），某人要从处到处（只能由北向南、由西向东走），有多少种走法呢？将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来，请你观察、分析、比较和归纳． （Ⅰ）当街道是两纵两横时，从处到处只有两种走法（如图3）． （Ⅱ）当街道是三纵三横时，从处到处只有六种走法（如图4）． 根据素材1解答以下问题：                                    （1）的展开式为____________________________________________； （2） 的展开式第3项的系数为_____；的展开式中项的系数为______； （3）若，求下列式子的值： ①；      ②． 根据素材2解答以下问题：   （4）①图2五纵五横从A到B处共有_______种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，从A到B处共有________种走法． 27．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知有若干张如图1所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）将1张A型卡片，9张B型卡片，6张C型卡片拼成如图2所示的正方形，请用两种方法表示图2中拼成的正方形的面积，方法一：　 　，方法二：　 　，由此可以得到一个等式：　 　； （2）选取1张A型卡片，若干张B型卡片，若干张C型卡片无缝无叠合拼成如图3所示的边长为a+nb的正方形，则需要选取B型卡片 　 　张（用含n的式子表示），C型卡片 　 　张（用含n的式子表示）； （3）将2张C型卡片沿如图4所示虚线剪开后，拼成如图5所示的正方形；将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中（如图6所示）．若图5中阴影部分的面积为4，图6中阴影部分面积为30，记一张A型卡片的面积为SA，一张B型卡片的面积为SB，一张C型卡片的面积为SC，求SA+SB+SC的值． 学科网（北京）股份有限公司 $