精品解析：吉林省长春市解放大路学校2021-2022学年九年级下学期数学周测十试卷

吉林省长春市解放大路学校2021-2022学年九年级下学期数学周测十试卷 2022.5.10 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中年光明日报出版社出版的《红楼梦》有万字，则“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体都是由个大小相同小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（　　） A. 17.5m B. 17m C. 16.5m D. 18m 6. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 8. 如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 10. 某班有名女生，其中男生人数比女生人数的2倍少人，则男生有_________名． 11. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________． 12. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______． 13. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______． 14. 已知二次函数的图象的顶点为C，与y轴交于点A，过点A作轴，与该二次函数图象的另一个交点为B，连接，则a的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图： （1）在图①中的边上找到点，使； （2）在图①中的边上找到点，使； （3）在图②中的边上找到点，使，并连接． 17. 在2020年初，我国发生了新型冠状病毒感染肺炎疫情，疫情的实时动态牵动着全国人民的心，2020年2月12日﹣2月21日，根据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告情况制成如图统计图表： 2020年2月12日一2月21日全国新冠肺炎疫情相关数据统计表 日期 全国累计确诊病例 新增确诊病例 新增疑似病例 新增出院人数 2月12日 59804 15152 2807 1171 2月13日 63851 4047 2450 1081 2月14日 66492 2641 2277 1373 2月15日 68500 2008 1918 1323 2月16日 70548 2048 1563 1425 2月17日 72436 1888 1432 1701 2月18日 74185 1749 1185 1824 2月19日 75002 817 1277 1779 2月20日 75891 889 1614 2109 2月21日 76288 397 1361 2393 （数据来源：国家卫生健康委员会官方网站） 根据上述数据回答下列问题： （1）2月19日新增疑似病例为　 　例． （2）与前一日相比，2月　 日的新增确诊病例减少量最大． （3）在这10天中，新增确诊病例的中位数是　 　例． （4）根据图中数据，小林计算出每日新增确诊病例的平均数约为3164例，他认为平均数能准确地反映出2月12日一2月21日新增确诊病例的日常情况．小静不同意他的看法，她认为中位数更能准确地反映出新增确诊病例的日常情况．你同意谁的看法？请说明理由． 18. 近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示． （1）两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米． （2）求出AB所在直线的函数关系式． （3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为______千米/时． 19. 【问题原型】 在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至位置（点落在点处）． （1）【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． （2）【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． （3）【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 20. 如图，在中，，点从点A出发，沿折线运动，在边上以每秒3个单位的速度运动，在边上以每秒4个单位的速度向终点运动，当点与顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为． （1）AB的长是__________； （2）用含的代数式表示点到边的距离； （3）用的一条直角边平分的腰时，求的值； （4）当点在上运动时，若点落在的平分线上时，直接写出的值． 21. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴交于定点P． （1）直接写出点P的坐标． （2）当函数图象经过点时，求函数的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标． （3）当时，若函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求m的值． （4）矩形四个顶点的坐标分别为．当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市解放大路学校2021-2022学年九年级下学期数学周测十试卷 2022.5.10 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中年光明日报出版社出版的《红楼梦》有万字，则“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法的形式为，要求，为整数，只需确定和的值即可求解． 【详解】解： 万． 3. 下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法． 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立； B、由x＜y可得：，故选项不成立； C、由x＜y可得：，故选项不成立； D、由x＜y可得：，故选项不成立； 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（　　） A. 17.5m B. 17m C. 16.5m D. 18m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EBDC， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ， ∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m， ∴ ， 解得，DC＝17.5（m）， 即建筑物CD的高是17.5m， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 6. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，连接OB， ∵是的内接三角形， ∴OB垂直平分AC， ∴，， 又∵， ∴， ∴, 又∵AD=8， ∴AO=4， ∴， 解得：， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键． 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 8. 如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设A的坐标为，根据勾股定理求出，根据面积公式求出的值，即可得出B的坐标，代入求出即可． 【详解】解：过于， ∵直线经过点， ∴设的坐标为， 在 中，由勾股定理得：， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， ∵菱形的面积等于， ∴菱形的面积 =， ∴， 解得：， ∵在第一象限， ∴， ∵点的坐标为 ， 代入 得：. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 10. 某班有名女生，其中男生人数比女生人数的2倍少人，则男生有_________名． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出男生人数与女生人数等量关系，代入女生人数即可得到男生人数的代数式． 【详解】解：由题意可得等量关系：男生人数女生人数，将女生人数代入关系式，得名． 11. 若关于一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． 【详解】∵，，， 由题意知，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 12. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解． 【详解】如图，连接AO,BO， ∴∠AOB=2∠ADB=36° ∴这个正多边形的边数为=10 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 13. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接OD， ∵AB是切线，则OD⊥AB， 在菱形中， ∴， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=∠A=60°， ∴OD=， ∴， ∴扇形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积． 14. 已知二次函数的图象的顶点为C，与y轴交于点A，过点A作轴，与该二次函数图象的另一个交点为B，连接，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，通过可得，用含代数式表示，进而求解．本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握相似三角形的性质． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线对称轴为直线， 作轴于点，则， 轴，抛物线对称轴为直线， ， 轴，， ， ， 把代入得， 点坐标为，即， ， ， ． 故答案：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：       ， 当时，原式． 16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③给定的网格中按要求作图： （1）在图①中的边上找到点，使； （2）在图①中的边上找到点，使； （3）在图②中的边上找到点，使，并连接． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； 【解析】 【小问1详解】 解：如图①，点即为所求作； 取点，连接、、，与的交点为点． ， ， ，， ， ， ， 和是等高三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图②，点即为所求作； 取点、，连接、，与的交点即为点． 由网格可知，，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图③即为所求作； 取点、，与网格的交点为，则，连接与的交点为点，取格点，连接、， ，， ， ， ， ， ， ． 17. 在2020年初，我国发生了新型冠状病毒感染的肺炎疫情，疫情的实时动态牵动着全国人民的心，2020年2月12日﹣2月21日，根据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告情况制成如图统计图表： 2020年2月12日一2月21日全国新冠肺炎疫情相关数据统计表 日期 全国累计确诊病例 新增确诊病例 新增疑似病例 新增出院人数 2月12日 59804 15152 2807 1171 2月13日 63851 4047 2450 1081 2月14日 66492 2641 2277 1373 2月15日 68500 2008 1918 1323 2月16日 70548 2048 1563 1425 2月17日 72436 1888 1432 1701 2月18日 74185 1749 1185 1824 2月19日 75002 817 1277 1779 2月20日 75891 889 1614 2109 2月21日 76288 397 1361 2393 （数据来源：国家卫生健康委员会官方网站） 根据上述数据回答下列问题： （1）2月19日新增疑似病例为　 　例． （2）与前一日相比，2月　 日的新增确诊病例减少量最大． （3）在这10天中，新增确诊病例的中位数是　 　例． （4）根据图中数据，小林计算出每日新增确诊病例的平均数约为3164例，他认为平均数能准确地反映出2月12日一2月21日新增确诊病例的日常情况．小静不同意他的看法，她认为中位数更能准确地反映出新增确诊病例的日常情况．你同意谁的看法？请说明理由． 【答案】（1）1277；（2）13；（3）1948；（4）同意小静的看法，因为平均数受极端值15152的影响较大，而中位数不受极端值的影响，所以中位数更能准确的反映出2月12日一2月21日新增确诊病例的日常情况 【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可得到结论； （2）根据表中数据即可得到结论； （3）根据中位数的定义即可得到结论； （4）根据平均数和中位数的意义即可得到结论． 【详解】解：（1）2月19日新增疑似病例为1277例． （2）与前一日相比，2月13日的新增确诊病例减少量最大． （3）在这10天中，新增确诊病例从小到大排列为：397，817，889，1749，1888，2008，2048，2641，4047，15152， ∴新增确诊病例的中位数是＝1948（例）； （4）同意小静的看法， 因为平均数受极端值15152的影响较大，而中位数不受极端值的影响，所以中位数更能准确的反映出2月12日一2月21日新增确诊病例的日常情况． 【点睛】本题考查了中位数，用样本估计总体，平均数，准确的理解题意是解题的关键． 18. 近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示． （1）两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米． （2）求出AB所在直线的函数关系式． （3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为______千米/时． 【答案】（1）1，20 （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）观察图象，两个图象交点即为两人相遇，由图象即可得相遇的时间；由图象可求得爸爸到达终点的速度及时间，从而可求得全程； （2）由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，用待定系数法即可求得解析式； （3）由（2）中的函数解析式可知行驶1.5小时后，小明所行驶的路程及离终点的距离，从而可求得小明应调整的速度． 【小问1详解】 观察图象知，两人1小时后相遇，此时两人都行驶了10千米，则爸爸的速度为10÷1=10（千米/时），由图象知，爸爸全程行驶了2小时，则全程长为：10×2=20（千米） 故答案为：1，20 【小问2详解】 设直线AB解析式为 由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，把这两点的坐标分别代入得： 解方程组得： ∴直线AB的解析式为 小问3详解】 当x=1.5时， ∴当小明1.5小时后行驶了12千米，此时离终点还有：20−12=8（千米） 由题意知，小明还要行驶2−1.5=0.5小时，才能和爸爸同时到达终点 ∴小明的速度应为：8÷0.5=16（千米/时） 故答案为：16 【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求一次函数解析式，正确理解题意，并从函数图象中获取信息是解题的关键． 19. 【问题原型】 在矩形中，．点为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． （1）【问题解决】如图①，当点落在边上时，求的长． （2）【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点，且，直接写出的长__________． （3）【拓展提升】如图③，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，直接写出的长__________． 【答案】（1）4 （2） （3）1或9 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理求解即可； （2）利用翻折的性质可得：，设，则，再证得，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分两种情况：①点Q在线段上时，证，再由勾股定理得，则；②点Q在延长线上时，由勾股定理得，设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，， ∴， 如图1由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 解：如图2，由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即． 【小问3详解】 解：分两种情况： ①点Q在线段上时，如图3所示： 由翻折的性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点Q在延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即． 综上所述，的长为1或9． 【点睛】灵活利用分类讨论思想和勾股定理构造方程是解题的关键． 20. 如图，在中，，点从点A出发，沿折线运动，在边上以每秒3个单位的速度运动，在边上以每秒4个单位的速度向终点运动，当点与顶点不重合时，过点作其所在直角边的垂线，交边于点，以为底边作等腰三角形，使，设点的运动时间为． （1）AB的长是__________； （2）用含的代数式表示点到边的距离； （3）用的一条直角边平分的腰时，求的值； （4）当点在上运动时，若点落在的平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1）25 （2）当时，点到边的距离；当时，点到边的距离； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分点P在上和上两种情况，分别作辅助线构造相似三角形和等腰三角形，再利用相似三角形、等腰三角形的性质以及矩形的判定与性质求解即可； （3）分平分和平分两种情况，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可； （4）分点落在的平分线上、点落在的平分线上，点落在的平分线上三种情况，分别利用正方形的判定与性质、矩形的判定与性质以及利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，当点P在上运动，即时， ，， ∴， ， ∴， ∴； 如图，过点D作于E， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ， 又， ， ∴， ∴； 如图，当P在上运动，即时， 同理可证， ∴， ∴； 如图，过点D作于E， 同理可得， 同理可证， ∴， ∴． 综上，当时，点到边的距离；当时，点到边的距离； 【小问3详解】 解：如图，当平分时， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 如图，当平分时，即，过点D作，交于E，交于G， ∴ ，， ∴， ， ∴， ∵， ， 又， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，解得， 综上所述，当或时，的一条直角边平分的腰． 【小问4详解】 解：①如图，当点落在的平分线上时，过点D作于M，于N，延长交于H，则 ∵点D落在的平分线上， ， ，，，， 四边形是正方形，    ， ∵，， ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴由（2）得 ，， ∴ ∴，解得； ②如图，当点落在的平分线上时，过点D作于J，于I，延长交于H， 过点D作于K，连接， 由（2）可得：，， ∵，，，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点落在的平分线上时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 在中，； ∴，解得：； ③如图，当点落在的平分线上时，过点D作于J，于I，延长交于H， 过点D作于K，连接， 由（2）可得：，， ∵，，，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点落在的平分线上时， 于J， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 在中，； ∴，解得：（不合题意，舍弃）； 综上，点在上运动时，若点落在的平分线上时，t的值为或． 【点睛】灵活利用分类讨论思想是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴交于定点P． （1）直接写出点P的坐标． （2）当函数图象经过点时，求函数的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标． （3）当时，若函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求m的值． （4）矩形的四个顶点的坐标分别为．当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的表达式为，顶点坐标为 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）令，求解即可； （2）将点代入函数，求出的值，即可得到解析式，再根据函数解析式即可得到顶点坐标； （3）先求出函数与x轴的交点坐标，分两种情况讨论，利用抛物线图象的性质即可解答； （4）先求出矩形也关于对称，再分函数（m为常数）的图象过点D时，同时过点C，函数（m为常数）图象与（除）各一个交点，函数（m为常数）图象与（除）有个交点，三种情况，画出示意图，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：令， 解得：， ∴函数（m为常数）的图象与x轴交于定点， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意：， 解得：， ∴函数的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：令， 解得：， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象关于对称， ∵， ∴函数的图象开口向下， ∵， 当时，则，函数有最大值为， ∵函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1， ∴，即， 解得：或（舍去）或或（舍去）， 当时，则，函数有最大值为， ∵函数（m为常数）的图象最高点到直线的距离为1， ∴，即， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，m的值为或； 【小问4详解】 解：由（3）知函数的图象与x轴的交点坐标为，且当，函数有最大值为， ∴函数（m为常数）的图象关于对称， 矩形的四个顶点的坐标分别为， ∵矩形中边的中点横坐标为：， ∴矩形也关于对称， 如图，当函数（m为常数）的图象过点D时，同时过点C，此时矩形有两个交点， 则， 解得：； 如图，当函数（m为常数）图象与（除）各一个交点时， 则，且， ∴，且， 令， 解得：或， ∵， ∴， ∴； 如图，当函数（m为常数）图象与（除）有个交点时， 则，且， ∴，且， 令， 解得：或， ∵， ∴或， ∴； 综上，当函数（m为常数）的图象与矩形的边有两个交点时，m的取值范围为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、矩形的性质、解一元二次方程、二次函数与不等式，分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $